📘 2º Bachillerato · Matemáticas II

1.3.4 Método de los determinantes para hallar el rango de una matriz

Aprende el método de los menores y orlado para calcular el rango de una matriz mediante determinantes paso a paso.

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1. Menores y Teorema del Rango por Determinantes

El cálculo del rango mediante determinantes proporciona un criterio algebraico estricto y analítico, especialmente útil en problemas de examen donde intervienen parámetros reales o matrices cuadradas.

Definición: Menor de Orden $$k$$

Dada una matriz $$A \in \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R})$$, se denomina menor de orden $$k$$ ($$k \leq \min(m, n)$$) al determinante de cualquier submatriz cuadrada de orden $$k \times k$$ obtenida al seleccionar $$k$$ filas y $$k$$ columnas de $$A$$.

Teorema del Rango por Menores

El rango de una matriz $$A$$ es igual a $$r$$ si y solo si:

Existe al menos un menor de orden $$r$$ distinto de cero: $$\exists M_r \neq 0$$.
Todos los posibles menores de orden $$r + 1$$ son nulos (o no existen).

\text{rg}(A) = r \iff (\exists M_r \neq 0 \quad \text{y} \quad \forall M_{r+1} = 0)

📌 Ejemplo Concreto de Menor de una Matriz:

Consideremos la matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$.

Un menor de orden 2 se obtiene seleccionando las columnas 1 y 2:

M_{12} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 2(0) - 1(3) = -3 \neq 0

Como existe un menor de orden 2 no nulo y no existen menores de orden 3, concluimos inmediatamente que $$\text{rg}(A) = 2$$.

2. Técnica del Menor Orlado

Calcular todos los posibles menores de orden superior resulta inviable por explosión combinatoria. Para optimizar el cálculo se utiliza el método de orlado:

Se localiza un menor no nulo de orden 2: $$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \neq 0 \implies \text{rg}(A) \geq 2$$.
Se orla este menor añadiendo sucesivamente una fila y una columna de las restantes.
Si se encuentra un orlado no nulo, se ha probado que $$\text{rg}(A) \geq 3$$ y se repite el proceso desde ese nuevo menor.
Si todos los menores orlados son nulos, el rango es definitivamente el orden del menor de partida.

📌 Ejemplo Concreto del Menor Orlado:

Dada la matriz $$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 5 & 2 \end{pmatrix}$$, tomamos el menor base de orden 2 en la esquina superior izquierda:

M_2 = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3 \neq 0 \implies \text{rg}(M) \ge 2

Orlamos con la fila 3 y la columna 3 para evaluar el menor de orden 3:

|M| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 5 & 2 \end{vmatrix} = 1(6 - 5) - 2(0 - 1) + 1(0 - 3) = 1 + 2 - 3 = 0

Al ser el único orlado nulo, el rango no puede aumentar a 3 y queda fijado en $$\text{rg}(M) = 2$$.

3. Ejemplos Prácticos Resueltos

Ejemplo 1: Matriz Cuadrada de Orden 3

Enunciado: Determinar el rango de la matriz $$A$$ utilizando menores:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \end{pmatrix}

Paso 1: Localizar un menor no nulo de orden 2

Elegimos la submatriz formada por las filas 1, 2 y columnas 1, 2:

M_2 = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) \geq 2

Paso 2: Orlar con la fila 3 y columna 3

El único menor orlado de orden 3 es el propio determinante $$|A|$$:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \end{vmatrix} = 1(50 - 49) - 2(20 - 21) + 3(14 - 15) = 1 + 2 - 3 = 0

Conclusión: Al ser $$|A| = 0$$ y existir un menor de orden 2 no nulo, $$\mathbf{\text{rg}(A) = 2}$$.

Ejemplo 2: Matriz Rectangular de Dimensión 3x4 por Orlado

Enunciado: Hallar el rango de la matriz rectangular $$B$$:

B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Paso 1: Menor base de orden 2

M_2 = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(B) \geq 2

Paso 2: Orlado con la fila 3 y columna 3

M_3^{(1)} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 + 3) + 2(-2 - 0) = 4 - 4 = 0

Paso 3: Orlado con la fila 3 y columna 4

M_3^{(2)} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1(2 - 0) + 1(-2 - 0) = 2 - 2 = 0

Conclusión: Todos los posibles menores de orden 3 que orlan a $$M_2$$ son nulos, por lo que $$\mathbf{\text{rg}(B) = 2}$$.

Ejemplo 3: Discusión con Parámetro Real (Tipo EBAU)

Enunciado: Discutir el rango de la matriz $$C$$ en función de $$m \in \mathbb{R}$$:

C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & m \end{pmatrix}

Paso 1: Calcular el determinante de orden máximo

Desarrollamos por la primera columna:

|C| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & m \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (m - 9) + 2(6 - 1) = m - 9 + 10 = m + 1

Paso 2: Resolver la ecuación $$|C| = 0$$

$$m + 1 = 0 \iff m = -1$$

Paso 3: Conclusiones según el valor del parámetro

• Si $$\mathbf{m \neq -1}$$: $$|C| \neq 0$$, existe un menor de orden 3 no nulo $$\implies \mathbf{\text{rg}(C) = 3}$$.
• Si $$\mathbf{m = -1}$$: $$|C| = 0$$, luego $$\text{rg}(C) < 3$$. Evaluamos el menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \mathbf{\text{rg}(C) = 2}$$.

Conclusión: El rango de $$C$$ es 3 para todo $$m \neq -1$$, y es 2 cuando $$m = -1$$.

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