1.6 Indeterminaciones sin L'Hôpital
Qué es una indeterminación
Al calcular el límite de una función en un punto o en el infinito, a veces la simple sustitución directa conduce a una expresión sin sentido aritmético, como \(\frac{0}{0} \) o \(\frac{\infty}{\infty} \)
Estas expresiones se llaman indeterminaciones porque el valor del límite no está determinado por la forma: según la función concreta, el límite puede valer cualquier número real, puede ser infinito o puede no existir.
Por ejemplo, los tres límites \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} \), \(\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} \) y \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} \) presentan todos la forma \(\frac{0}{0} \), pero valen \(1 \), \(2 \) y \(0 \) respectivamente.
La tarea, por tanto, es transformar la expresión en otra equivalente cuyo límite sí pueda calcularse directamente.
El límite \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) da la indeterminación \(\frac{0}{0} \) por sustitución directa.
Sin embargo, factorizando el numerador se obtiene \(\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} \), y simplificando el factor común queda \(x + 2 \), cuyo límite en \(x = 2 \) es \(4 \)
Los siete tipos de indeterminación
Existen siete formas indeterminadas, que conviene memorizar para reconocerlas al instante.
Son: \(\frac{0}{0} \), \(\frac{\infty}{\infty} \), \(0 \cdot \infty \), \(\infty - \infty \), \(0^0 \), \(1^{\infty} \ \text{y}\\\infty^0 \)
Cualquier otra forma tiene su límite determinado: por ejemplo \(\frac{1}{0} \) es infinito (con el signo según los límites laterales), \(\frac{0}{\infty} \) es cero e \(\infty \cdot \infty \) es infinito.
La razón por la que estas siete son indeterminadas es que en ellas compiten dos tendencias opuestas: una que empuja el resultado hacia un valor y otra que lo empuja hacia otro.
En \(\frac{0}{0} \), por ejemplo, el numerador tiende a hacer el cociente pequeño y el denominador tiende a hacerlo grande; el resultado depende de cuál de los dos tienda a cero más deprisa.
La expresión \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \) presenta la forma \(1^{\infty} \): la base tiende a \(1 \) (lo que empujaría la potencia hacia \(1 \)) y el exponente tiende a infinito (lo que empujaría el resultado hacia infinito si la base fuese mayor que \(1 \)).
El límite existe y vale el número \(e \), como se verá en el apartado 6, pero no podía saberse solo con la forma.
Indeterminación cero partido por cero: factorización
La indeterminación \(\frac{0}{0} \) aparece típicamente con cocientes de polinomios o con raíces.
Si \(P \) y \(Q \) son polinomios con \(P(a) = 0 \) y \(Q(a) = 0 \), entonces \(x = a \) es raíz de ambos, y por el teorema del factor se puede escribir \(P(x) = (x - a) \cdot P_1(x) \) y \(Q(x) = (x - a) \cdot Q_1(x) \)
Al simplificar el factor común \((x - a) \), la indeterminación desaparece (o se reduce el grado del problema).
Esta simplificación es lícita porque en el límite \(x \to a \) se considera \(x \ne a \), de modo que el factor \((x - a) \) no es cero y puede cancelarse.
Si tras simplificar persiste la indeterminación, se repite el proceso.
Calcular \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} \)
Por sustitución directa se obtiene \(\frac{0}{0} \)
Se factoriza el numerador como diferencia de cubos: \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \)
Se factoriza el denominador como diferencia de cuadrados: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \)
Simplificando el factor común \((x - 1) \) queda \(\frac{x^2 + x + 1}{x + 1} \), cuyo límite en \(x = 1 \) es \(\frac{3}{2} \)
Indeterminación cero partido por cero: el conjugado
Cuando aparecen raíces cuadradas, la factorización directa no es posible, pero se puede usar el conjugado.
El conjugado de una expresión \(A + B \) es \(A - B \), y cumple \((A + B)(A - B) = A^2 - B^2 \), que elimina las raíces cuadradas.
La técnica consiste en multiplicar numerador y denominador por el conjugado de la parte que contiene la raíz, de modo que las raíces desaparecen al desarrollar el producto notable.
Como se multiplica por \(\frac{\text{conjugado}}{\text{conjugado}} \), que vale \(1 \), la expresión no cambia.
Calcular \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} \)
Por sustitución directa se obtiene \(\frac{0}{0} \)
Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del numerador, \(\sqrt{x + 1} + 1 \):
Simplificando queda \(\frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1} \), cuyo límite en \(x = 0 \) es \(\frac{1}{2} \)
Indeterminación infinito partido por infinito: comparación de grados
La indeterminación \(\frac{\infty}{\infty} \) aparece típicamente con cocientes de polinomios en el infinito.
Si \(P \) es un polinomio de grado \(n \) con coeficiente principal \(a_n \) y \(Q \) es un polinomio de grado \(m \) con coeficiente principal \(b_m \), el comportamiento en el infinito lo dominan los términos de mayor grado.
Dividiendo numerador y denominador por \(x^m \) (el mayor grado del denominador), todos los términos tienden a cero excepto los principales.
El resultado depende solo de la comparación de grados:
si \(n < m \) el límite es \(0 \);
si \(n = m \) el límite es \(\frac{a_n}{b_m} \);
si \(n > m \) el límite es infinito (con el signo según los coeficientes principales).
Esta regla se justifica porque \(\frac{1}{x^k} \to 0 \) cuando \(x \to \pm\infty \) para todo \(k > 0 \)
Calcular $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5} $$
Ambos polinomios tienen grado \(2 \), con coeficientes principales \(3 \) y \(1 \)
Dividiendo por \(x^2 \) queda \(\frac{3 - 2/x + 1/x^2}{1 + 5/x^2} \)
Cuando \(x \to +\infty \), los términos con \(x \) en el denominador tienden a cero, y el límite es \(\frac{3}{1} = 3 \)
El número e y los límites notables
El número \(e \) se define como el límite $$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $$, que presenta la indeterminación \(1^{\infty} \)
Su valor aproximado es \(e \approx 2,71828 \)
De esta definición se deducen dos límites notables fundamentales, que resuelven muchas indeterminaciones sin necesidad de L'Hôpital.
El primero es $$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x} = 1 $$, que expresa que para ángulos pequeños el seno se comporta como el propio ángulo.
El segundo es $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $$
Además, tomando logaritmos en la definición de \(e \) se obtiene \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \)
Calcular $$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(3x)}{x} $$
Por sustitución directa se obtiene \(\frac{0}{0} \)
Se multiplica y divide por \(3 \) para que el argumento del seno coincida con el denominador: $$\frac{\operatorname{sen}(3x)}{x} = 3 \cdot \frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x} $$
Haciendo el cambio de variable \(u = 3x \), cuando \(x \to 0 \) también \(u \to 0 \), y \(\frac{\operatorname{sen} u}{u} \to 1 \) por el límite notable.
Por tanto el límite vale \(3 \cdot 1 = 3 \)
Indeterminaciones cero por infinito e infinito menos infinito
La indeterminación \(0 \cdot \infty \) se reduce a \(\frac{0}{0} \) o a \(\frac{\infty}{\infty} \) escribiendo uno de los factores como cociente.
En efecto, \(f \cdot g \) con \(f \to 0 \) y \(g \to \infty \) puede escribirse como \(\frac{f}{1/g} \) (forma \(\frac{0}{0} \)) o como \(\frac{g}{1/f} \) (forma \(\frac{\infty}{\infty} \)).
La elección entre una u otra forma depende de cuál conduzca a cálculos más sencillos.
La indeterminación \(\infty - \infty \) se reduce a \(\frac{0}{0} \) o \(\frac{\infty}{\infty} \) mediante el común denominador o el conjugado, según la expresión.
Con raíces cuadradas, el conjugado es la herramienta adecuada; con fracciones, el común denominador.
Calcular $$\lim_{x \to +\infty} x \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) $$
Se trata de la forma \(\infty \cdot 0 \)
Escribiendo \(x \) como \(\frac{1}{1/x} \) queda \(\frac{\operatorname{sen}(1/x)}{1/x} \), de la forma \(\frac{0}{0} \)
Con el cambio \(u = 1/x \), cuando \(x \to +\infty \) se tiene \(u \to 0^+ \), y por el límite notable \(\frac{\operatorname{sen} u}{u} \to 1 \)
El límite vale \(1 \)
Indeterminaciones exponenciales: cero elevado a cero, uno elevado a infinito e infinito elevado a cero
Las indeterminaciones \(0^0 \), \(1^{\infty} \ \text{y}\\\infty^0 \) tienen en común que la base y el exponente varían simultáneamente.
La técnica general consiste en tomar logaritmos neperianos:
si \(L = \lim f^g \), entonces \(\ln L = \lim (g \cdot \ln f) \), por la continuidad del logaritmo.
El nuevo límite es de la forma \(0 \cdot \infty \) (en los tres casos), que ya se sabe reducir a \(\frac{0}{0} \) o \(\frac{\infty}{\infty} \)
Una vez calculado \(\lim (g \cdot \ln f) = M \), el límite original es \(L = e^M \)
Este método es válido porque la función exponencial es continua.
Calcular \(\lim_{x \to 0^+} x^x \), de la forma \(0^0 \)
Se toma logaritmos: \(\ln L = \lim_{x \to 0^+} x \ln x \)
Es la forma \(0 \cdot (-\infty) \), que se escribe como \(\frac{\ln x}{1/x} \), de la forma \(\frac{-\infty}{\infty} \)
Aplicando las técnicas de cocientes (o L'Hôpital, sección 1.7), este límite vale \(0 \)
Por tanto \(\ln L = 0 \) y \(L = e^0 = 1 \)
Límites laterales
Cuando la función no está definida en el punto o tiene un comportamiento distinto a cada lado, hay que calcular los límites laterales por separado.
El límite por la derecha se denota \(\lim_{x \to a^+} f(x) \) y considera valores \(x > a \) próximos a \(a \)
El límite por la izquierda se denota \(\lim_{x \to a^-} f(x) \) y considera valores \(x < a \) próximos a \(a \)
El límite (bilateral) \(\lim_{x \to a} f(x) \) existe si y solo si existen los dos límites laterales y coinciden.
Esta distinción es esencial en las indeterminaciones con valor absoluto, con raíces de índice par o con cocientes cuyo denominador se anula, porque el signo puede cambiar el resultado.
Calcular \(\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x} \)
Por la derecha:
si \(x > 0 \), entonces \(|x| = x \) y el cociente vale \(1 \)
Por la izquierda:
si \(x < 0 \), entonces \(|x| = -x \) y el cociente vale \(-1 \)
Como los límites laterales son distintos (\(1 \ne -1 \)), el límite bilateral no existe.
Calcular \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9} \)
Por sustitución directa se obtiene la indeterminación \(\frac{0}{0} \), que se resuelve factorizando numerador y denominador.
Factorizar el numerador.
Factorizar el denominador.
\(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \), por diferencia de cuadrados.
Simplificar y calcular el límite.
Sustituyendo \(x = 3 \): \(\frac{3 - 2}{3 + 3} = \frac{1}{6} \)
El límite vale \(\frac{1}{6} \)
Calcular $$\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right) $$
Se trata de la indeterminación \(\infty - \infty \), que con raíces se resuelve multiplicando por el conjugado.
Multiplicar por el conjugado.
Simplificar el numerador.
Dividir por \(x \) para resolver la indeterminación \(\frac{\infty}{\infty} \)
Cuando \(x \to +\infty \), \(1/x \to 0 \)
El límite vale \(\frac{1}{2} \)
Calcular \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} \)
Indeterminación \(\frac{0}{0} \) que se resuelve con el límite notable \(\frac{1 - \cos u}{u^2} \to \frac{1}{2} \)
Adaptar el argumento.
Se escribe $$\frac{1 - \cos(2x)}{x^2} = 4 \cdot \frac{1 - \cos(2x)}{(2x)^2} $$
Aplicar el límite notable con \(u = 2x \)
Cuando \(x \to 0 \), también \(u \to 0 \), luego \(\frac{1 - \cos u}{u^2} \to \frac{1}{2} \)
Multiplicar por la constante.
El límite vale \(2 \)