50 Ondas: superposición e interferencia
Principio de superposición
Cuando dos o más ondas coinciden en un mismo punto del medio, la perturbación resultante es la suma de las perturbaciones que produciría cada onda por separado.
Es el principio de superposición:
Este principio es consecuencia de la linealidad de la ecuación de ondas:
si \(y_1\ \text{e}\ y_2\) son soluciones, su suma también lo es, porque las derivadas de una suma son la suma de las derivadas.
Vale en los medios lineales, es decir, cuando las perturbaciones son pequeñas y la respuesta del medio es proporcional a la perturbación.
Las ondas se cruzan sin alterarse mutuamente: después de coincidir, cada una sigue su camino como si la otra no hubiera existido.
Hay que tener cuidado con la energía: lo que se suma son las elongaciones, no las energías.
Como la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud, la energía de la superposición no es la suma de las energías de cada onda: pueden producirse redistribuciones de energía, con zonas donde se concentra y zonas donde se cancela.
Dos pulsos idénticos que viajan en sentidos contrarios por una cuerda se cruzan: en el instante en que coinciden exactamente, la elongación en cada punto es el doble, y un instante después cada pulso sigue su camino sin haberse deformado.
Interferencia de dos ondas coherentes
Dos ondas son coherentes si mantienen una diferencia de fase constante en el tiempo, lo que en la práctica significa que tienen la misma frecuencia.
Sean dos ondas armónicas de igual amplitud \(A\) y frecuencia que en un punto presentan una diferencia de fase \(\Delta\phi\):
La perturbación resultante es la suma.
Aplicando la identidad trigonométrica $$\text{sen}\,P + \text{sen}\,Q = 2\,\text{sen}\frac{P+Q}{2}\cos\frac{P-Q}{2} $$ con \(P = kx - \omega t + \Delta\phi\) y \(Q = kx - \omega t\):
El resultado es otra onda armónica de la misma frecuencia cuya amplitud resultante es:
y depende de la diferencia de fase con que llegan las dos ondas.
La interferencia es constructiva cuando las ondas llegan en fase, es decir, con \(\Delta\phi = 2\pi n \) con \(n\) entero: entonces \(\cos(\Delta\phi/2) = \pm 1\) y la amplitud resultante es máxima, \(A_r = 2A\). La interferencia es destructiva cuando llegan en oposición de fase, \(\Delta\phi = (2n+1)\pi \): entonces \(\cos(\Delta\phi/2) = 0\) y la amplitud resultante se anula, \(A_r = 0\)
Dos ondas de amplitud \(A = 0,1 \text{ m}\) llegan a un punto con diferencia de fase \(\Delta\phi = \pi/3\). La amplitud resultante es $$A_r = 2\cdot 0,1\cdot\cos(\pi/6) = 0,2\cdot 0,866 = 0,173 \text{ m} $$: una interferencia parcialmente constructiva.
Diferencia de camino
Cuando las dos ondas coherentes proceden de dos focos en fase separados en el espacio, la diferencia de fase en un punto se debe a la diferencia de caminos recorridos.
Si \(r_1\) y \(r_2\) son las distancias del punto a cada foco, las fases son \(\phi_1 = kr_1 - \omega t\) y \(\phi_2 = kr_2 - \omega t\), y su diferencia es:
donde \(\Delta r = |r_2 - r_1|\) es la diferencia de camino.
La condición de interferencia constructiva \(\Delta\phi = 2\pi n\) equivale a
y la de interferencia destructiva \(\Delta\phi = (2n+1)\pi\) equivale a
con \(n\) entero.
Así, conociendo la diferencia de caminos se sabe si en un punto hay un máximo o un mínimo de la perturbación.
Dos altavoces emiten en fase un sonido de \(f = 680 \text{ Hz}\) con \(c = 340 \text{ m/s}\): \(\lambda = 0,5 \text{ m}\). En un punto con \(\Delta r = 1,75 \text{ m}\), $$\Delta\phi = \frac{2\pi\cdot 1,75}{0,5} = 7\pi = (2\cdot 3+1)\pi$$: interferencia destructiva, mínimo de sonido.
Ondas estacionarias: deducción
Un caso especial de superposición es el de dos ondas armónicas idénticas que se propagan en sentidos contrarios, como ocurre cuando una onda se refleja en un extremo fijo y se superpone con la onda incidente:
La suma se calcula con la misma identidad trigonométrica del apartado 2, ahora con \(P = kx + \omega t\) y \(Q = kx - \omega t\). La semisuma es \(\frac{P+Q}{2} = kx\) y la semidiferencia es \(\frac{P-Q}{2} = \omega t\), luego
Esta es la ecuación de una onda estacionaria.
No se propaga: cada punto del medio oscila con un movimiento armónico simple de frecuencia \(\omega\), pero con una amplitud \(2A\,|\text{sen}(kx)|\) que depende de la posición del punto.
El perfil de la onda no avanza: oscila entre dos envolventes fijas, \(+2A\,\text{sen}(kx)\) y \(-2A\,\text{sen}(kx)\)
Los nodos son los puntos que no vibran nunca: cumplen \(\text{sen}(kx) = 0\), es decir, \(kx = n\pi\), de donde
con \(n\) entero.
Los vientres son los puntos donde la oscilación es máxima: cumplen \(|\text{sen}(kx)| = 1\), es decir, \(kx = (2n+1)\frac{\pi}{2}\), de donde
La distancia entre dos nodos consecutivos es \(\lambda/2\), y entre un nodo y el vientre siguiente es \(\lambda/4\). En una onda estacionaria no hay transporte neto de energía a lo largo del medio: la energía queda localizada, oscilando entre energía cinética y potencial en cada tramo entre nodos.
La onda estacionaria $$y(x, t) = 0,4\,\text{sen}(0,5\pi x)\cos(20\pi t) $$, en unidades del Sistema Internacional, tiene \(k = 0,5\pi \text{ rad/m}\), de donde \(\lambda = \frac{2\pi}{k} = 4 \text{ m}\). Sus nodos están en \(x = 2n\) metros y sus vientres en \(x = 2n+1\) metros, con \(n\) entero.
Modos normales de una cuerda fija por ambos extremos
Cuando una cuerda está fija por sus dos extremos, en \(x = 0\) y en \(x = L\), esos puntos tienen que ser nodos de la onda estacionaria, porque están sujetos y no pueden vibrar.
La condición de nodo en \(x = L\) exige \(kL = n\pi\), es decir, \(L = n\frac{\lambda}{2}\): en la cuerda solo caben las ondas estacionarias cuya longitud de onda cumple
con \(n = 1, 2, 3, \ldots\) Son los modos normales de vibración de la cuerda.
Como \(v = \lambda f\), las frecuencias permitidas son:
El modo \(n = 1\) es el modo fundamental o primer armónico, de frecuencia \(f_1 = v/(2L)\); los modos \(n = 2, 3, \ldots\) son los armónicos superiores, cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la fundamental.
El timbre de un instrumento de cuerda lo determina la mezcla de estos armónicos.
Una cuerda de \(L = 0,6 \text{ m}\) fija por sus extremos, con \(v = 240 \text{ m/s}\), vibra en su tercer armónico: $$\lambda_3 = \frac{2\cdot 0,6}{3} = 0,4 \text{ m} $$ \( y \)f_3 = 3\cdot\frac{240}{1,2} = 600 \text{ Hz} \(. Tiene nodos en \)x = 0\(, \)0,2\(, \)0,4\( y \)0,6 \text{ m}\(\)
Deduce la ecuación de la onda estacionaria que resulta de superponer $$y_1 = A\,\text{sen}(kx - \omega t) \ \text{e}\ y_2 = A\,\text{sen}(kx + \omega t) $$
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir las dos ondas contrapropagantes.
A continuación aplicaremos la identidad trigonométrica de la suma de senos.
Para terminar identificaremos la forma de onda estacionaria.
Aplicación del principio de superposición.
La perturbación resultante es la suma: $$y = y_1 + y_2 = A\,\text{sen}(kx - \omega t) + A\,\text{sen}(kx + \omega t) $$
Identidad trigonométrica de la suma de senos.
La fórmula general es $$\text{sen}\,P + \text{sen}\,Q = 2\,\text{sen}\frac{P+Q}{2}\cos\frac{P-Q}{2} $$. Tomando \(P = kx + \omega t\) y \(Q = kx - \omega t\): \(\frac{P+Q}{2} = \frac{2kx}{2} = kx\) y $$\frac{P-Q}{2} = \frac{2\omega t}{2} = \omega t$$
Resultado de la suma.
Sustituyendo en la identidad y sacando factor común \(A\):
La superposición de las dos ondas contrapropagantes es \(y(x, t) = 2A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)\), una onda estacionaria que no se propaga: cada punto oscila con amplitud \(2A\,|\text{sen}(kx)|\) dependiente de su posición.
La función $$y(x, t) = 0,3\,\text{sen}(4\pi x)\cos(60\pi t) $$, en unidades del Sistema Internacional, describe una onda estacionaria.
Halla la longitud de onda, la frecuencia de vibración, la amplitud máxima de oscilación y las posiciones de los nodos y los vientres.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar los parámetros de la onda estacionaria dada.
A continuación calcularemos la longitud de onda.
Para terminar localizaremos los nodos y los vientres.
Identificación de los parámetros.
Comparando con la forma general \(y(x, t) = 2A\,\text{sen}(kx)\cos(\omega t)\): \(2A = 0,3 \text{ m}\), \(k = 4\pi \text{ rad/m} \) y \(\omega = 60\pi \text{ rad/s} \)
Longitud de onda y frecuencia.
La amplitud máxima de oscilación, en los vientres, es \(2A = 0,3 \text{ m}\)
Posiciones de los nodos.
La fórmula general de los nodos es \(x = n\lambda/2\). Sustituyendo \(\lambda = 0,5 \text{ m}\):
con \(n\) entero: \(\ldots, -0,25, 0, 0,25, 0,5, 0,75, \ldots\) metros.
Posiciones de los vientres.
La fórmula general de los vientres es \(x = (2n+1)\lambda/4\). Sustituyendo:
con \(n\) entero: \(\ldots, -0,125, 0,125, 0,375, 0,625, \ldots\) metros.
\(\lambda = 0,5 \text{ m}\), \(f = 30 \text{ Hz}\), amplitud máxima \(0,3 \text{ m}\); nodos en múltiplos de \(0,25 \text{ m}\) y vientres en \(0,125 \text{ m}\) más múltiplos de \(0,25 \text{ m}\)
Una cuerda de longitud \(L = 0,9 \text{ m} \) fija por sus extremos transmite las ondas con velocidad \(v = 180 \text{ m/s} \). Halla las frecuencias de los tres primeros armónicos, la longitud de onda del segundo armónico y la posición de sus nodos.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la fórmula general de las frecuencias de los modos normales.
A continuación calcularemos las tres primeras frecuencias y la longitud de onda del segundo armónico.
Para terminar localizaremos sus nodos.
Fórmula general de los modos normales.
Al estar fija por ambos extremos, los extremos son nodos y \(L = n\lambda/2\), de donde las frecuencias permitidas son \(f_n = n\,\frac{v}{2L} \) con \(n = 1, 2, 3, \ldots\)
Las tres primeras frecuencias.
Sustituyendo \(v = 180 \text{ m/s}\) y \(L = 0,9 \text{ m}\): $$\frac{v}{2L} = \frac{180}{1,8} = 100 \text{ Hz}$$
Longitud de onda del segundo armónico.
Nodos del segundo armónico.
Los nodos están en \(x = n\lambda_2/2 = n\cdot 0,45 \text{ m}\) con \(n = 0, 1, 2\) dentro de la cuerda: \(x = 0\), \(x = 0,45 \text{ m}\) y \(x = 0,9 \text{ m}\), incluyendo los extremos fijos como exige la sujeción.
\(f_1 = 100 \text{ Hz}\), \(f_2 = 200 \text{ Hz}\), \(f_3 = 300 \text{ Hz}\); el segundo armónico tiene \(\lambda_2 = 0,9 \text{ m}\) con nodos en \(0\), \(0,45\) y \(0,9 \text{ m}\)
Dos altavoces emiten en fase un sonido de frecuencia \(f = 500 \text{ Hz} \) y la velocidad del sonido es \(c = 340 \text{ m/s} \). En un punto cuyas distancias a los altavoces difieren en \(\Delta r = 1,02 \text{ m} \), ¿la interferencia es constructiva o destructiva? ¿Y si la diferencia de caminos fuera \(\Delta r = 0,85 \text{ m}\)?
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la longitud de onda del sonido.
A continuación hallaremos el desfase asociado a la diferencia de caminos.
Para terminar decidiremos el tipo de interferencia.
Longitud de onda del sonido.
La fórmula general es \(\lambda = c/f\). Sustituyendo:
Desfase para diferencia de camino 1,02 m.
La fórmula general es \(\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta r \). Sustituyendo:
Como \(3\pi = (2\cdot 1 + 1)\pi\), las ondas llegan en oposición de fase: interferencia destructiva.
Desfase para diferencia de camino 0,85 m.
No es múltiplo entero de \(\pi\): la interferencia es intermedia, con amplitud resultante $$A_r = 2A|\cos(2,5\pi/2)| = 2A\cos(1,25\pi) = 2A\cdot 0,707 = 1,414A$$
Con \(\Delta r = 1,02 \text{ m}\) hay interferencia destructiva, mínimo de sonido; con \(\Delta r = 0,85 \text{ m}\) la interferencia es parcialmente constructiva con amplitud \(1,414A\)
Dos ondas armónicas de amplitud \(A = 0,1 \text{ m} \), número de onda \(k = 2\pi \text{ rad/m}\) y frecuencia angular \(\omega = 20\pi \text{ rad/s}\) llegan a un punto con una diferencia de fase \(\Delta\phi = \pi/3\). Halla la amplitud de la onda resultante y escribe su expresión.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la fórmula general de la amplitud resultante de dos ondas coherentes.
A continuación sustituiremos los datos.
Para terminar escribiremos la onda resultante completa.
Fórmula general de la amplitud resultante.
Para dos ondas coherentes de igual amplitud, $$A_r = 2A\left|\cos\frac{\Delta\phi}{2}\right| $$
Sustitución de los datos.
Con \(A = 0,1 \text{ m}\) y \(\Delta\phi = \pi/3\):
Onda resultante.
La suma es $$y = A_r\,\text{sen}\left(kx - \omega t + \frac{\Delta\phi}{2}\right)$$, es decir:
en unidades del Sistema Internacional.
La interferencia es parcialmente constructiva, con amplitud resultante \(0,173 \text{ m}\); la onda suma tiene la misma frecuencia y una fase intermedia entre las dos componentes.