44 Oscilaciones: composición de oscilaciones
Composición de dos MAS de la misma dirección y frecuencia
Cuando una partícula está sometida simultáneamente a dos movimientos armónicos simples de la misma dirección y la misma frecuencia angular \(\omega \),
su elongación resultante es la suma algebraica de ambas, \(x = x_1 + x_2 \). El resultado es también un movimiento armónico simple de la misma frecuencia,
como se demuestra desarrollando el seno de la suma.
En efecto, usando $$\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \operatorname{sen}\ alpha\cos\beta + \cos\alpha\operatorname{sen}\beta $$ con \(\alpha = \omega t \) y \(\beta = \varphi \), la suma queda
Agrupando los términos en \(\operatorname{sen}\omega t \) y en \(\cos\omega t \) se obtiene
Comparando con el desarrollo de $$x = A\operatorname{sen}(\omega t + \varphi) = A\cos\varphi\operatorname{sen}\omega t + A\operatorname{sen}\varphi\cos\omega t $$ se identifican las componentes:
Elevando al cuadrado y sumando ambas igualdades, y usando \(\operatorname{sen}^2 + \cos^2 = 1 \), se obtiene la amplitud resultante
y dividiendo la segunda igualdad por la primera se obtiene la fase inicial resultante
La amplitud resultante depende del desfase \(\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 \) entre las dos oscilaciones: el desfase decide si se refuerzan o se debilitan mutuamente.
Casos particulares: interferencia constructiva y destructiva
La fórmula de la amplitud resultante se simplifica notablemente en tres casos de desfase.
Si las oscilaciones están en fase, es decir, \(\varphi_2 - \varphi_1 = 0 \), entonces \(\cos(\varphi_2 - \varphi_1) = 1 \) y la amplitud es:
las amplitudes se suman: es la interferencia constructiva, el refuerzo máximo.
Si están en oposición de fase, \(\varphi_2 - \varphi_1 = \pi \), entonces \(\cos(\varphi_2 - \varphi_1) = -1 \) y
las amplitudes se restan: es la interferencia destructiva;
si además \(A_1 = A_2 \), la amplitud resultante es cero y los dos movimientos se anulan mutuamente en todo instante.
Si el desfase es de un cuarto de periodo, \(\varphi_2 - \varphi_1 = \pi/2 \), llamada cuadratura, entonces \(\cos(\varphi_2 - \varphi_1) = 0 \) y \(A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2} \), como los catetos de un triángulo rectángulo.
Dos MAS de la misma dirección y frecuencia tienen amplitudes \(A_1 = 0,03 \text{ m} \) y \(A_2 = 0,04 \text{ m} \). Calcula la amplitud resultante si
a) están en fase,
b) están en oposición de fase.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fórmula general de la amplitud resultante en función del desfase.
A continuación aplicaremos el caso de interferencia constructiva.
Para terminar aplicaremos el caso de interferencia destructiva.
Fórmula general.
La amplitud de la composición de dos MAS de igual dirección y frecuencia es $$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)} $$, donde \(\varphi_2 - \varphi_1 \) es el desfase entre ambas.
Oscilaciones en fase.
En fase el desfase es cero y \(\cos 0 = 1 \), luego \(A = A_1 + A_2 \). Con los datos \(A = 0,03 + 0,04 = 0,07 \text{ m} \)
Oscilaciones en oposición de fase.
En oposición de fase el desfase es \(\pi \) y \(\cos\pi = -1 \), luego \(A = |A_1 - A_2| \). Con los datos \(A = |0,03 - 0,04| = 0,01 \text{ m} \)
en fase la amplitud resultante es \(0,07 \text{ m} \) y en oposición de fase es \(0,01 \text{ m} \)
Pulsaciones: dos frecuencias próximas
Cuando las dos oscilaciones tienen la misma dirección pero frecuencias ligeramente distintas, el movimiento resultante ya no es un MAS, pero presenta un fenómeno característico llamado pulsación o batido.
Para deducirlo se considera el caso sencillo de dos oscilaciones de igual amplitud \(A_0 \) y fases iniciales nulas,
La suma se calcula con la identidad $$\operatorname{sen}p + \operatorname{sen}q = 2\operatorname{sen}\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2} ,\ \text{con}\ p = \omega_1 t $$ y \(q = \omega_2 t \):
El resultado se interpreta como una oscilación de frecuencia angular media \(\omega_m = (\omega_1 + \omega_2)/2 \) cuya amplitud no es constante, sino que está modulada por la envolvente $$2A_0\cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right) $$, que varía lentamente porque \(|\omega_1 - \omega_2| \) es pequeño.
La amplitud de la oscilación crece y decrece periódicamente: se oyen pulsaciones de sonido cuando dos diapasones de frecuencias próximas suenan a la vez.
La envolvente completa un ciclo cuando su argumento aumenta en \(2\pi \), pero como lo que se percibe es el valor absoluto de la amplitud, hay dos máximos por cada ciclo de la envolvente; la frecuencia de pulsación, número de máximos por segundo, es:
y el periodo de pulsación, tiempo entre dos máximos consecutivos, es \(T_p = 1/f_p \)
Oscilaciones perpendiculares: figuras de Lissajous
Si las dos oscilaciones son perpendiculares entre sí y tienen la misma frecuencia angular \(\omega \),
la partícula describe una trayectoria en el plano que se obtiene eliminando el tiempo entre ambas ecuaciones.
Para simplificar se toma \(\varphi_1 = 0 \) y se llama \(\delta = \varphi_2 - \varphi_1 \) al desfase.
Desarrollando el seno de la suma en la segunda ecuación,
y usando que \(\operatorname{sen}(\omega t) = x/A_1 \) y que \(\cos(\omega t) = \pm\sqrt{1 - x^2/A_1^2} \), tras reordenar y elevar al cuadrado se llega a la ecuación de la trayectoria
que es la ecuación general de una elipse.
Los casos particulares son muy ilustrativos:
si \(\delta = \pi/2 \), entonces \(\cos\delta = 0 \) y \(\operatorname{sen}^2\delta = 1 \), y la trayectoria es la elipse de ejes coordenados
que es una circunferencia si además \(A_1 = A_2 \). Si \(\delta = 0 \), la ecuación se reduce a \((x/A_1 - y/A_2)^2 = 0 \), es decir, al segmento de recta \(y = (A_2/A_1)x \); y si \(\delta = \pi \), al segmento \(y = -(A_2/A_1)x \). Cuando las frecuencias son distintas pero conmensurables, es decir, su cociente es un número racional, la trayectoria es una curva cerrada más compleja llamada figura de Lissajous, cuya forma depende del cociente de frecuencias y del desfase; estas figuras se usan para comparar frecuencias con el osciloscopio.
Una partícula está sometida a dos MAS de la misma dirección y frecuencia angular $$\omega = 10 \text{ rad/s} ,\ \text{con}\ x_1 = 0,03\operatorname{sen}(10t) $$ y \(x_2 = 0,04\operatorname{sen}(10t + \pi/2) \), con las elongaciones en metros y el tiempo en segundos.
Halla la ecuación del movimiento resultante.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir las fórmulas generales de la amplitud y de la fase del movimiento resultante.
A continuación sustituiremos los datos, teniendo en cuenta que el desfase es de pi medios.
Para terminar escribiremos la ecuación horaria resultante.
Fórmulas generales de la composición.
La amplitud resultante es $$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)} $$ y la fase inicial cumple $$\tan\varphi = \frac{A_1\operatorname{sen}\varphi_1 + A_2\operatorname{sen}\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2} $$
Cálculo de la amplitud resultante.
Los datos son \(A_1 = 0,03 \text{ m} \), \(A_2 = 0,04 \text{ m} \), \(\varphi_1 = 0 \) y \(\varphi_2 = \pi/2 \), luego el desfase es \(\varphi_2 - \varphi_1 = \pi/2 \) y \(\cos(\pi/2) = 0 \). Sustituyendo, $$A = \sqrt{0,03^2 + 0,04^2 + 0} = \sqrt{0,0009 + 0,0016} = \sqrt{0,0025} = 0,05 \text{ m} $$
Cálculo de la fase inicial resultante.
Sustituyendo en la fórmula de la tangente, con \(\operatorname{sen}\varphi_1 = 0 \), \(\cos\varphi_1 = 1 \), \(\operatorname{sen}\varphi_2 = 1 \) y \(\cos\varphi_2 = 0 \), se obtiene $$\tan\varphi = \frac{0,03 \cdot 0 + 0,04 \cdot 1}{0,03 \cdot 1 + 0,04 \cdot 0} = \frac{0,04}{0,03} = 1,3333 $$. El numerador y el denominador son positivos, luego \(\varphi \) está en el primer cuadrante y $$\varphi = \arctan(1,3333) = 0,9273 \text{ rad} $$
Ecuación del movimiento resultante.
El movimiento resultante es \(x = A\operatorname{sen}(\omega t + \varphi) \), es decir, $$x(t) = 0,05\operatorname{sen}(10t + 0,9273) ,\ \text{con}\ x $$ en metros y \(t \) en segundos.
la composición es un MAS de amplitud \(0,05 \text{ m} \), frecuencia angular \(10 \text{ rad/s} \) y fase inicial \(0,9273 \text{ rad} \)
Dos MAS de la misma dirección, frecuencia y amplitud \(A_0 = 0,06 \text{ m} \) interfieren en oposición de fase. ¿Cuál es la amplitud del movimiento resultante? ¿Y si el desfase fuera de \(\pi/3 \)?
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el caso particular de la oposición de fase a la fórmula general de la amplitud.
A continuación aplicaremos la fórmula general al desfase de pi tercios.
Para terminar interpretaremos ambos resultados.
Oposición de fase con igual amplitud.
La fórmula general es $$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)} $$. Con \(A_1 = A_2 = A_0 \) y desfase \(\pi \), \(\cos\pi = -1 \), resulta $$A = \sqrt{A_0^2 + A_0^2 - 2A_0^2} = \sqrt{0} = 0 $$: los dos movimientos se anulan mutuamente en todo instante, interferencia destructiva total.
Desfase de pi tercios.
Con desfase \(\pi/3 \), \(\cos(\pi/3) = 0,5 \), y $$A = \sqrt{A_0^2 + A_0^2 + 2A_0^2 \cdot 0,5} = \sqrt{3A_0^2} = A_0\sqrt{3} $$. Con \(A_0 = 0,06 \text{ m} \) se obtiene \(A = 0,06 \cdot 1,7321 = 0,104 \text{ m} \)
en oposición de fase con igual amplitud el movimiento resultante es nulo; con desfase de pi tercios la amplitud resultante es \(0,104 \text{ m} \)
Dos diapasones emiten sonidos de frecuencias \(f_1 = 440 \text{ Hz} \) y \(f_2 = 442 \text{ Hz} \). Calcula la frecuencia de pulsación y el periodo de pulsación que percibe un oyente, y escribe la expresión de la onda resultante suponiendo igual amplitud \(A_0 \) en ambos.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fórmula general de la frecuencia de pulsación en función de las frecuencias componentes.
A continuación calcularemos la frecuencia y el periodo de pulsación con los datos.
Para terminar deduciremos la expresión de la onda resultante como producto de la oscilación media por la envolvente.
Frecuencia y periodo de pulsación.
La fórmula general de la frecuencia de pulsación es \(f_p = |f_1 - f_2| \). Con los datos \(f_p = |440 - 442| = 2 \text{ Hz} \): el oyente percibe dos máximos de intensidad por segundo.
El periodo de pulsación es \(T_p = 1/f_p = 1/2 = 0,5 \text{ s} \)
Expresión de la onda resultante.
Las frecuencias angulares son \(\omega_1 = 2\pi f_1 = 880\pi \text{ rad/s} \) \( y \)\omega_2 = 2\pi f_2 = 884\pi \text{ rad/s} \(. La suma \)x = A_0\operatorname{sen}(\omega_1 t) + A_0\operatorname{sen}(\omega_2 t) $$ se escribe, con la identidad de la suma de senos, como $$x = 2A_0\operatorname{sen}\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t\right)\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right) = 2A_0\operatorname{sen}(882\pi t)\cos(2\pi t) $$. Se trata de una oscilación de frecuencia media $$441 \text{ Hz} $$ cuya amplitud está modulada por la envolvente $$2A_0\cos(2\pi t) \(, de periodo \)1 \text{ s} $$, que produce dos máximos de intensidad por segundo.$$
la frecuencia de pulsación es \(2 \text{ Hz} \), el periodo de pulsación \(0,5 \text{ s} \) y la onda resultante es dos a sub cero por el seno de ochocientos ochenta y dos pi por te, por el coseno de dos pi por te.
Una partícula está sometida a dos oscilaciones perpendiculares de la misma frecuencia angular \(\omega = 10 \text{ rad/s} \): $$x = 0,05\operatorname{sen}(10t) \ \text{e}\ y = 0,03\operatorname{sen}(10t + \pi/2) ,\ \text{con}\ x $$ e \(y \) en metros y \(t \) en segundos.
Halla la ecuación de la trayectoria, indica de qué curva se trata y determina el sentido de recorrido.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el desfase entre las dos oscilaciones y escribir la ecuación general de la trayectoria.
A continuación aplicaremos el caso particular del desfase de pi medios.
Para terminar determinaremos el sentido de recorrido evaluando la posición y la velocidad en dos instantes.
Identificación del desfase y ecuación de la trayectoria.
El desfase es \(\delta = \pi/2 \). La ecuación general de la trayectoria de dos oscilaciones perpendiculares de igual frecuencia es $$\frac{x^2}{A_1^2} + \frac{y^2}{A_2^2} - \frac{2xy}{A_1A_2}\cos\delta = \operatorname{sen}^2\delta $$. Con \(\delta = \pi/2 \) se tiene \(\cos\delta = 0 \) y \(\operatorname{sen}^2\delta = 1 \), luego la ecuación se reduce a \(\frac{x^2}{A_1^2} + \frac{y^2}{A_2^2} = 1 \), la ecuación de una elipse de semiejes \(A_1 \) y \(A_2 \)
Sustitución de los datos numéricos.
Con \(A_1 = 0,05 \text{ m} \) y \(A_2 = 0,03 \text{ m} \) la trayectoria es la elipse \(\frac{x^2}{0,05^2} + \frac{y^2}{0,03^2} = 1 \)
Sentido de recorrido.
En \(t = 0 \) la partícula está en \(x = 0 \), $$y = 0,03\operatorname{sen}(\pi/2) = 0,03 \text{ m} $$, es decir, en el extremo superior del eje vertical.
La velocidad en ese instante es $$v_x = dx/dt = 0,05 \cdot 10\cos(0) = 0,5 \text{ m/s} > 0 $$ y \(v_y = dy/dt = 0,03 \cdot 10\cos(\pi/2) = 0 \). La partícula parte del punto más alto moviéndose hacia la derecha, es decir, recorre la elipse en sentido horario.
El periodo del recorrido es \(T = 2\pi/\omega = 2\pi/10 = 0,628 \text{ s} \)
la trayectoria es la elipse equis al cuadrado partido por cero coma cero cinco al cuadrado más i griega al cuadrado partido por cero coma cero tres al cuadrado igual a uno, recorrida en sentido horario con periodo \(0,628 \text{ s} \)
Una partícula está sometida a dos oscilaciones perpendiculares de igual frecuencia: $$x = A_1\operatorname{sen}(\omega t) \ \text{e}\ y = A_2\operatorname{sen}(\omega t) $$, es decir, en fase.
Deduce la ecuación de la trayectoria y explica qué ocurre si el desfase pasa a ser \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por eliminar el tiempo entre las dos ecuaciones despejando el seno de la fase en la primera.
A continuación sustituiremos en la segunda para obtener la trayectoria.
Para terminar analizaremos el caso del desfase pi.
Eliminación del tiempo.
De la primera ecuación se despeja \(\operatorname{sen}(\omega t) = x/A_1 \). Sustituyendo en la segunda ecuación, \(y = A_2 \cdot \frac{x}{A_1} \), es decir,
Interpretación de la trayectoria.
La ecuación obtenida es la de una recta que pasa por el origen con pendiente \(A_2/A_1 \). Como \(x \) oscila entre \(-A_1 \ \text{e}\ y \) entre \(-A_2 \), la partícula recorre el segmento de dicha recta comprendido entre los puntos \((-A_1, -A_2) \) y \((A_1, A_2) \), pasando por el origen dos veces en cada periodo.
Es el caso límite de la elipse cuando el desfase se anula.
Desfase de pi.
Si el desfase es \(\pi \), la segunda oscilación es $$y = A_2\operatorname{sen}(\omega t + \pi) = -A_2\operatorname{sen}(\omega t) $$. Sustituyendo \(\operatorname{sen}(\omega t) = x/A_1 \) se obtiene \(y = -\frac{A_2}{A_1}x \): la partícula recorre el segmento de la recta de pendiente negativa entre \((-A_1, A_2) \) y \((A_1, -A_2) \)
con desfase nulo la trayectoria es el segmento de la recta i griega igual a a sub dos partido por a sub uno por equis; con desfase pi es el segmento de la recta de pendiente opuesta.