38 Rotación: momento angular

Momento angular de una partícula

El momento angular de una partícula respecto a un punto O se define como el producto vectorial de su vector de posición por su cantidad de movimiento:

$$\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p} $$

donde $\vec{p} = m\vec{v} $ es la cantidad de movimiento lineal de la partícula.

Su módulo es:

$$L = rp\sen\varphi $$

siendo $\varphi $ el ángulo entre $\vec{r} $ y $\vec{p} $

Se mide en kilogramos por metro cuadrado por segundo, $\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} $, o equivalentemente en julios por segundo.

La dirección de $\vec{L} $ es perpendicular al plano formado por $\vec{r} $ y $\vec{p} $, con el sentido dado por la regla de la mano derecha.

Partícula en órbita con el vector momento angular L = r x p

Obsérvese que el momento angular depende del punto O elegido: la misma partícula tiene distinto momento angular respecto a puntos distintos.

Una partícula que se mueve en línea recta también puede tener momento angular no nulo respecto a un punto fuera de su trayectoria:

si la recta pasa a distancia $b $ del punto, $L = mvb $, constante durante todo el movimiento.

Momento angular del sólido rígido

Consideremos un sólido que gira con velocidad angular $\omega $ alrededor de un eje fijo.

Cada partícula de masa $m_i $ describe una circunferencia de radio $r_i $ con velocidad $v_i = r_i\omega $ perpendicular a $\vec{r}_i $

Su momento angular respecto a un punto del eje tiene módulo:

$$L_i = r_i m_i v_i = m_i r_i^2\omega $$

y dirección a lo largo del eje de giro para todas las partículas.

Sumando sobre todo el sólido:

$$L = \sum_i L_i = \left(\sum_i m_i r_i^2\right)\omega $$

El paréntesis es el momento de inercia $I $ respecto al eje, luego:

$$L = I\omega $$

Esta es la análoga rotacional de $p = mv $: el momento de inercia juega el papel de la masa y la velocidad angular el de la velocidad lineal.

Variación temporal del momento angular

Derivemos respecto al tiempo la definición $\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p} $, aplicando la regla de derivación del producto:

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p} + \vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt} $$

Analizamos cada sumando por separado.

En el primero, $\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v} $, luego es $\vec{v}\times\vec{p} $

Como $\vec{p} = m\vec{v} $, ambos vectores son paralelos y su producto vectorial es nulo: $\vec{v}\times\vec{p} = \vec{0} $

el segundo, $\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F} $ por la segunda ley de Newton, luego es $\vec{r}\times\vec{F} $, que es el momento de la fuerza, $\vec{\tau} $

Por tanto, para una partícula:

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau} $$

Sumando sobre todas las partículas de un sistema, los momentos de las fuerzas internas se cancelan por parejas, como vimos en la sección anterior, y queda:

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \sum \vec{\tau}_{ext} $$

El momento angular de un sistema solo puede cambiar si actúan momentos de fuerzas externas: es la análoga rotacional de $\frac{d\vec{p}}{dt} = \sum\vec{F}_{ext} $

Conservación del momento angular

Si el momento total de las fuerzas externas respecto al punto O es nulo, la derivada del momento angular es nula y el momento angular se conserva:

$$\sum \vec{\tau}_{ext} = \vec{0} \rightarrow \vec{L} = \text{constante} $$

Para un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo, con $L = I\omega $, la conservación se escribe:

$$I_1\omega_1 = I_2\omega_2 $$

Si el cuerpo redistribuye su masa acercándola al eje, su momento de inercia disminuye y su velocidad angular aumenta en la misma proporción, y viceversa.

Es lo que hace una patinadora al recoger los brazos para girar más deprisa, o una estrella que se contrae y acelera su rotación.

La conservación se aplica también a sistemas de partículas: en el choque de una bala contra una barra pivotada, el momento angular respecto al pivote se conserva durante el impacto porque el impacto es tan breve que los momentos externos (el peso y la reacción del pivote) no tienen tiempo de modificarlo apreciablemente, y el momento de la reacción del pivote respecto a sí mismo es nulo.

Una consecuencia celeste de la conservación es la segunda ley de Kepler: un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales porque su momento angular respecto al Sol se conserva al ser la gravedad una fuerza central, cuyo momento respecto al Sol es nulo.

Momento angular orbital y de espín

Conviene distinguir dos contribuciones al momento angular de un cuerpo extenso.

El momento angular orbital es el asociado al movimiento del centro de masas respecto al

punto O: $$\vec{L}_{orb} = \vec{R}_{CM}\times M\vec{v}_{CM} $$

El momento angular de espín o intrínseco es el asociado a la rotación del cuerpo alrededor de su propio centro de masas: $\vec{L}_{espin} = I_{CM}\vec{\omega} $

El momento angular total respecto a O es la suma de ambos, en coherencia con la descomposición de la energía cinética vista en la sección anterior.

📝 Ejemplo:

Una patinadora gira con los brazos extendidos con $I_1 = 4 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $ y $\omega_1 = 2 \text{ rad/s} $

Al recoger los brazos, su momento de inercia se reduce a $I_2 = 2,5 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $

Calcula su nueva velocidad angular.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el momento angular inicial de la patinadora.

A continuación aplicaremos la conservación del momento angular, ya que al recoger los brazos no actúa ningún momento externo respecto al eje vertical.

Para terminar despejaremos la velocidad angular final.

👉 PASO 1

Momento angular inicial.

El momento angular inicial es:

$$L_1 = I_1\omega_1 = 4\cdot 2 = 8 \text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} $$ $$$$

👉 PASO 2

Conservación del momento angular.

Al recoger los brazos, las fuerzas que intervienen son internas (musculares) y el peso y la reacción del hielo actúan sobre el eje vertical, con momento nulo respecto a él.

Luego $L_2 = L_1 $, es decir:

$$I_2\omega_2 = 8 $$

Despejando con $I_2 = 2,5 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $:

$$\omega_2 = \frac{8}{2,5} = 3,2 \text{ rad/s} $$ $$$$

✅ Conclusión

Al recoger los brazos la velocidad angular aumenta de dos a $3,2 \text{ rad/s} $; la energía cinética aumenta porque la patinadora realiza trabajo interno al recogerlos.

📝 Ejemplo 1:

Una plataforma giratoria en forma de disco de masa $M = 100 \text{ kg} $ y radio $R = 2 \text{ m} $ gira sin rozamiento alrededor de un eje vertical con $\omega_0 = 0,5 \text{ rad/s} $ mientras un hombre de $m = 70 \text{ kg} $ está de pie en su borde.

Calcula la velocidad angular cuando el hombre camina hasta el centro de la plataforma.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el momento de inercia total del sistema con el hombre en el borde.

A continuación aplicaremos la conservación del momento angular, ya que no hay momentos de fuerzas externas respecto al eje vertical.

Para terminar calcularemos el nuevo momento de inercia con el hombre en el centro y despejaremos la velocidad angular final.

👉 PASO 1

Momento de inercia inicial.

El disco aporta:

$$I_{disco} = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2}\cdot 100\cdot 2^2 = 200 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

El hombre, tratado como partícula a distancia $R $ del eje, aporta:

$$I_{hombre} = mR^2 = 70\cdot 2^2 = 280 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

El total inicial es:

$$I_0 = 200 + 280 = 480 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

👉 PASO 2

Conservación del momento angular.

No hay momentos de fuerzas externas respecto al eje vertical (el peso y la reacción se aplican sobre el eje), luego:

$$I_0\omega_0 = I_f\omega_f $$

Cuando el hombre llega al centro, su distancia al eje es nula y no aporta momento de inercia, luego:

$$I_f = I_{disco} = 200 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

👉 PASO 3

Velocidad angular final.

Despejando:

$$\omega_f = \frac{I_0\omega_0}{I_f} = \frac{480\cdot 0,5}{200} = 1,2 \text{ rad/s} $$ $$$$

✅ Conclusión

Al caminar hasta el centro, la velocidad angular de la plataforma aumenta de cero coma cinco a $1,2 \text{ rad/s} $

📝 Ejemplo 2:

Una bala de masa $m = 0,02 \text{ kg} $ que se mueve horizontalmente con $v = 100 \text{ m/s} $ se incrusta en el extremo inferior de una barra de masa $M = 2 \text{ kg} $ y longitud $L = 1 \text{ m} $, que cuelga verticalmente en reposo pivotada por su extremo superior.

Calcula la velocidad angular del conjunto justo después del impacto y el ángulo máximo que se desvía la barra.

Toma $g = 10 \text{ m/s}^2 $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la conservación del momento angular respecto al pivote durante el impacto, que es prácticamente instantáneo.

A continuación calcularemos el momento de inercia del conjunto barra más bala.

Para terminar usaremos la conservación de la energía mecánica en la subida para hallar el ángulo máximo.

👉 PASO 1

Momento angular antes del impacto.

Respecto al pivote, la bala lleva momento angular $L_{antes} = mvL $, pues su cantidad de movimiento es perpendicular a la barra, que dista $L $ del pivote.

Sustituyendo:

$$L_{antes} = 0,02\cdot 100\cdot 1 = 2 \text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} $$ $$$$

La barra está en reposo y no aporta momento angular.

👉 PASO 2

Momento de inercia después del impacto.

La barra pivotada por un extremo aporta:

$$I_{barra} = \frac{1}{3}ML^2 = \frac{1}{3}\cdot 2\cdot 1^2 = 0,6667 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

La bala incrustada en el extremo, como partícula a distancia $L $, aporta:

$$I_{bala} = mL^2 = 0,02\cdot 1^2 = 0,02 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

El total es:

$$I = 0,6667 + 0,02 = 0,6867 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

👉 PASO 3

Velocidad angular justo después del impacto.

Durante el impacto, el pivote ejerce una fuerza, pero su momento respecto a sí mismo es nulo, y el peso no tiene tiempo de modificar apreciablemente el momento angular por ser el impacto instantáneo.

Luego $L_{despues} = L_{antes} $, es decir:

$$I\omega = 2 $$

de donde:

$$\omega = \frac{2}{0,6867} = 2,91 \text{ rad/s} $$ $$$$

👉 PASO 4

Ángulo máximo por conservación de la energía.

La energía cinética justo después del impacto es:

$$K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}\cdot 0,6867\cdot 2,91^2 = 2,91 \text{ J} $$ $$$$

Al desviarse un ángulo $\theta $, el centro de la barra sube $\frac{L}{2}(1 - \cos\theta) $ y la bala sube $L(1 - \cos\theta) $

Igualando la energía cinética a la potencial gravitatoria ganada:

$$2,91 = \left(M\frac{L}{2} + mL\right)g(1 - \cos\theta) $$

Sustituyendo los datos:

$$2,91 = (2\cdot 0,5 + 0,02\cdot 1)\cdot 10\cdot(1 - \cos\theta) = 10,2\,(1 - \cos\theta) $$

Despejando:

$$1 - \cos\theta = \frac{2,91}{10,2} = 0,2855 $$

luego $\cos\theta = 0,7145 $ y:

$$\theta = 44,4^\circ $$

✅ Conclusión

Justo después del impacto el conjunto gira con dos coma noventa y un radianes por segundo y la barra se desvía un máximo de cuarenta y cuatro coma cuatro grados.

📝 Ejemplo 3:

Un disco horizontal de masa $M = 10 \text{ kg} $ y radio $R = 0,5 \text{ m} $ gira sin rozamiento alrededor de su eje vertical con $\omega_0 = 4 \text{ rad/s} $

Se deja caer verticalmente sobre su borde una masa de $m = 2 \text{ kg} $ que queda pegada al disco.

Calcula la velocidad angular final del conjunto.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el momento angular inicial del disco.

A continuación calcularemos el momento de inercia del conjunto tras la adhesión de la masa.

Para terminar aplicaremos la conservación del momento angular respecto al eje vertical.

👉 PASO 1

Momento angular inicial.

El disco aporta:

$$I_{disco} = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 0,5^2 = 1,25 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

La masa cae verticalmente, luego su cantidad de movimiento es paralela al eje y su momento angular respecto al eje es nulo antes del contacto.

El momento angular inicial es, por tanto:

$$L_0 = I_{disco}\omega_0 = 1,25\cdot 4 = 5 \text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} $$ $$$$

👉 PASO 2

Momento de inercia final.

La masa queda pegada en el borde, a distancia $R $ del eje, y aporta como partícula:

$$I_{masa} = mR^2 = 2\cdot 0,5^2 = 0,5 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

El total es:

$$I_f = 1,25 + 0,5 = 1,75 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

👉 PASO 3

Conservación del momento angular.

Durante la adhesión no hay momentos externos respecto al eje vertical, luego $L_f = L_0 $:

$$I_f\omega_f = 5 $$

$$\omega_f = \frac{5}{1,75} = 2,86 \text{ rad/s} $$ $$$$

✅ Conclusión

La velocidad angular se reduce de cuatro a dos coma ochenta y seis radianes por segundo al aumentar el momento de inercia.

📝 Ejemplo 4:

Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de la Tierra.

En el perigeo dista $r_p = 7000 \text{ km} $ del centro de la Tierra y su velocidad es $v_p = 10 \text{ km/s} $

Si en el apogeo dista $r_a = 42000 \text{ km} $, calcula su velocidad en el apogeo.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por justificar que el momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra se conserva.

A continuación escribiremos la conservación entre el perigeo y el apogeo, donde la velocidad es perpendicular al radio.

Para terminar despejaremos la velocidad en el apogeo.

👉 PASO 1

Conservación del momento angular.

La única fuerza que actúa sobre el satélite es la atracción gravitatoria, que es central: su línea de acción pasa por el centro de la Tierra.

Por tanto, su momento respecto al centro de la Tierra es nulo y el momento angular del satélite respecto a ese punto se conserva.

👉 PASO 2

Igualdad entre perigeo y apogeo.

En el perigeo y en el apogeo la velocidad es perpendicular al vector de posición, luego $\sen\varphi = 1 $ y $L = rmv $

La conservación $L_p = L_a $ da:

$$r_p m v_p = r_a m v_a $$

La masa del satélite se cancela en ambos miembros:

$$r_p v_p = r_a v_a $$

👉 PASO 3

Velocidad en el apogeo.

Despejando:

$$v_a = \frac{r_p v_p}{r_a} = \frac{7000\cdot 10}{42000} = 1,67 \text{ km/s} $$ $$$$

✅ Conclusión

En el apogeo el satélite se mueve a uno coma sesenta y siete kilómetros por segundo, seis veces más despacio que en el perigeo, porque está seis veces más lejos.

📝 Ejemplo 5:

Una varilla homogénea de $M = 4 \text{ kg} $ y $L = 2 \text{ m} $ gira en un plano horizontal sin rozamiento alrededor de un eje vertical que pasa por su centro con $\omega_0 = 3 \text{ rad/s} $

Dos pequeñas masas de $m = 1 \text{ kg} $, inicialmente junto al eje, deslizan sin rozamiento hasta los extremos de la varilla.

Calcula la velocidad angular final.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el momento angular inicial del sistema.

A continuación calcularemos el momento de inercia final con las masas en los extremos.

Para terminar aplicaremos la conservación del momento angular.

👉 PASO 1

Momento angular inicial.

La varilla respecto a un eje perpendicular por su centro aporta:

$$I_{varilla} = \frac{1}{12}ML^2 = \frac{1}{12}\cdot 4\cdot 2^2 = 1,333 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

Las masas están junto al eje, a distancia despreciable, y no aportan momento de inercia.

El momento angular inicial es:

$$L_0 = I_{varilla}\omega_0 = 1,333\cdot 3 = 4 \text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s} $$ $$$$

👉 PASO 2

Momento de inercia final.

Cada masa queda en un extremo, a distancia $\frac{L}{2} = 1 \text{ m} $ del eje, y aporta como partícula:

$$I_{masas} = 2\cdot m\left(\frac{L}{2}\right)^2 = 2\cdot 1\cdot 1^2 = 2 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

El total es:

$$I_f = 1,333 + 2 = 3,333 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 $$

👉 PASO 3

Conservación del momento angular.

No hay momentos externos respecto al eje vertical, luego $L_f = L_0 $:

$$I_f\omega_f = 4 $$

$$\omega_f = \frac{4}{3,333} = 1,2 \text{ rad/s} $$ $$$$

✅ Conclusión

Al deslizar las masas hacia los extremos, la velocidad angular se reduce de tres a $1,2 \text{ rad/s} $; es el proceso inverso al de la patinadora que recoge los brazos.