34 Rotación: cinemática angular

La posición angular y el radián

Un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo queda localizado en cada instante por el ángulo $\theta $ que ha girado respecto a una posición de referencia.

Ese ángulo se mide en radianes, no en grados, y conviene entender por qué.

El radián se define como el ángulo cuyo arco coincide con el radio, es decir:

$$\theta = \frac{s}{R} $$

donde $s $ es la longitud del arco descrito y $R $ el radio de la circunferencia.

Esta definición hace del radián la unidad natural para la rotación: con ángulos en radianes, la relación entre el arco recorrido y el ángulo girado no lleva ninguna constante de conversión.

Una vuelta completa recorre un arco igual al perímetro de la circunferencia, $2\pi R $, luego una vuelta completa equivale a $2\pi $ radianes.

El sentido positivo del ángulo es el antihorario visto desde el extremo positivo del eje de giro; un giro horario da ángulos negativos.

La velocidad angular

La velocidad angular media en un intervalo de tiempo $\Delta t $ es el cociente entre el ángulo girado y el tiempo empleado:

$$\omega_m = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} $$

La velocidad angular instantánea es el límite de ese cociente cuando el intervalo tiende a cero, es decir, la derivada de la posición angular respecto al tiempo:

$$\omega = \frac{d\theta}{dt} $$

Se mide en radianes por segundo, $\text{rad/s} $

Su signo indica el sentido de giro: es positiva si el ángulo crece con el tiempo (giro antihorario) y negativa en caso contrario.

Un hecho fundamental es que la velocidad angular es la misma para todos los puntos del sólido rígido, porque todos ellos giran exactamente el mismo ángulo en el mismo tiempo.

Por eso $\omega $ describe el movimiento global del sólido y no el de un punto concreto.

Disco girando con el ángulo theta, el vector velocidad angular omega y la aceleración angular

La aceleración angular

La aceleración angular media en un intervalo $\Delta t $ es:

$$\alpha_m = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} $$

La aceleración angular instantánea es la derivada de la velocidad angular respecto al tiempo, o lo que es lo mismo, la derivada segunda de la posición angular:

$$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2} $$

Se mide en radianes por segundo al cuadrado, $\text{rad/s}^2 $

Si $\alpha $ tiene el mismo signo que $\omega $, el giro se acelera;

si tiene signo contrario, el giro se frena.

Movimiento con aceleración angular constante

Partimos de la definición de aceleración angular:

$$\alpha = \frac{d\omega}{dt} $$

Multiplicando ambos miembros por $dt $ separamos las variables:

$$d\omega = \alpha\,dt $$

Integramos desde el instante inicial, en el que la velocidad angular es $\omega_0 $, hasta un instante $t $ cualquiera, suponiendo $\alpha $ constante:

$$\int_{\omega_0}^{\omega} d\omega = \int_{0}^{t} \alpha\,dt $$

La integral del primer miembro vale $\omega - \omega_0 $

Como $\alpha $ es constante, puede salir fuera de la integral del segundo miembro, que vale $\alpha t $

Igualando ambos resultados:

$$\omega - \omega_0 = \alpha t $$

Despejando $\omega $ obtenemos la primera ecuación del movimiento con aceleración angular constante:

$$\omega = \omega_0 + \alpha t $$

Para el ángulo girado partimos de $\omega = \frac{d\theta}{dt} $, que equivale a $d\theta = \omega\,dt $

Sustituimos la expresión de $\omega $ que acabamos de deducir e integramos desde el ángulo inicial $\theta_0 $ hasta $\theta $:

$$\int_{\theta_0}^{\theta} d\theta = \int_{0}^{t} (\omega_0 + \alpha t)\,dt $$

Resolviendo la integral del segundo miembro término a término:

$$\theta - \theta_0 = \omega_0 t + \frac{1}{2}\ alpha t^2 $$

Despejando $\theta $ obtenemos la segunda ecuación:

$$\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\ alpha t^2 $$

Existe una tercera ecuación, independiente del tiempo, que se obtiene eliminando $t $ entre las dos anteriores.

De la primera ecuación despejamos el tiempo:

$$t = \frac{\omega - \omega_0}{\alpha} $$

Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:

$$\theta - \theta_0 = \omega_0\frac{\omega - \omega_0}{\alpha} + \frac{1}{2}\ alpha\left(\frac{\omega - \omega_0}{\alpha}\right)^2 $$

Multiplicando toda la igualdad por $2\alpha $ y agrupando términos se llega a:

$$\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0) $$

Estas tres ecuaciones son las análogas rotacionales de las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con la correspondencia $x $ por $\theta $, $v $ por $\omega $ y $a $ por $\alpha $

Relación entre magnitudes angulares y lineales

Cada punto del sólido describe una circunferencia de radio $R $, su distancia al eje, que no cambia con el tiempo porque el sólido es rígido.

De la definición de radián $\theta = \frac{s}{R} $ despejamos el arco recorrido por el punto:

$$s = R\theta $$

Derivamos respecto al tiempo, teniendo en cuenta que $R $ es constante para cada

punto concreto:

$$v = \frac{ds}{dt} = R\frac{d\theta}{dt} = R\omega $$

La velocidad lineal crece con la distancia al eje: dos puntos del mismo sólido comparten la misma $\omega $ pero tienen distinta $v $

Derivando una vez más obtenemos la componente tangencial de la aceleración, que mide cómo cambia el módulo de la velocidad:

$$a_t = \frac{dv}{dt} = R\frac{d\omega}{dt} = R\alpha $$

Además, aunque el módulo de $v $ sea constante, su dirección gira continuamente con el sólido, y todo cambio de dirección de la velocidad es una aceleración: la aceleración normal o centrípeta, dirigida hacia el eje de giro.

Su módulo se deduce observando que el propio vector velocidad gira con velocidad angular $\omega $, luego la punta del vector recorre una circunferencia de radio $v $ a ritmo $\omega $, y el módulo del cambio es:

$$a_n = v\omega $$

Sustituyendo $v = R\omega $ se obtienen las dos formas habituales de escribirla:

$$a_n = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R $$

La aceleración total de un punto es la suma vectorial de ambas componentes, que son perpendiculares entre sí, y su módulo es:

$$a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} $$

📝 Ejemplo:

Una rueda de radio $R = 0,5 \text{ m} $ parte del reposo con aceleración angular constante $\alpha = 2 \text{ rad/s}^2 $

Calcula su velocidad angular y el ángulo girado a los $5 \text{ s} $, y la velocidad lineal de un punto de su periferia en ese instante.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar los datos y escribir las ecuaciones de la cinemática angular con aceleración constante.

A continuación calcularemos la velocidad angular y el ángulo girado.

Para terminar hallaremos la velocidad lineal de un punto de la periferia.

👉 PASO 1

Datos y ecuaciones generales.

La rueda parte del reposo, luego $\omega_0 = 0 $

Los datos son $\alpha = 2 \text{ rad/s}^2 $ y $t = 5 \text{ s} $

Con aceleración angular constante valen $\omega = \omega_0 + \alpha t $ y $$\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\ alpha t^2 $$

👉 PASO 2

Cálculo de la velocidad angular y del ángulo girado.

Sustituyendo los datos en la primera ecuación:

$$\omega = 0 + 2\cdot 5 = 10 \text{ rad/s} $$ $$$$

Tomamos el origen de ángulos en la posición inicial, $\theta_0 = 0 $, y sustituimos en la segunda ecuación:

$$\theta = 0 + 0\cdot 5 + \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 5^2 = 25 \text{ rad} $$ $$$$

👉 PASO 3

Velocidad lineal en la periferia.

El punto está a $R = 0,5 \text{ m} $ del eje, luego aplicamos $v = R\omega $:

$$v = 0,5\cdot 10 = 5 \text{ m/s} $$ $$$$

✅ Conclusión

A los $5 \text{ s} $ la rueda gira a $10 \text{ rad/s} $, ha girado $25 \text{ rad} $ y un punto de su periferia se mueve a $5 \text{ m/s} $

📝 Ejemplo 1:

Un volante de inercia parte del reposo y acelera con $\alpha = 3 \text{ rad/s}^2 $ constante durante $8 \text{ s} $

Calcula la velocidad angular final, el ángulo girado expresado en revoluciones y la distancia recorrida por un punto situado a $0,4 \text{ m} $ del eje.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir las ecuaciones de la cinemática angular con aceleración constante.

A continuación calcularemos la velocidad angular final y el ángulo girado, que convertiremos a revoluciones.

Para terminar hallaremos la distancia recorrida por el punto usando la relación entre arco y ángulo.

👉 PASO 1

Ecuaciones generales.

Con aceleración angular constante y partiendo del reposo ($\omega_0 = 0 $, $\theta_0 = 0 $) valen $\omega = \alpha t $ y $\theta = \frac{1}{2}\ alpha t^2 $

👉 PASO 2

Velocidad angular final y ángulo girado.

Sustituyendo $\alpha = 3 \text{ rad/s}^2 $ y $t = 8 \text{ s} $:

$$ \omega = 3\cdot 8 = 24 \text{ rad/s} \implies \theta = \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 8^2 = 96 \text{ rad} $$ $$$$

Como una revolución son $2\pi $ radianes, el número de revoluciones es:

$$N = \frac{96}{2\pi} = 15,28 \text{ rev} $$ $$$$

👉 PASO 3

Distancia recorrida por el punto.

El punto está a $R = 0,4 \text{ m} $ del eje, luego el arco recorrido es $s = R\theta $:

$$s = 0,4\cdot 96 = 38,4 \text{ m} $$ $$$$

✅ Conclusión

El volante alcanza $24 \text{ rad/s} $ tras girar $15,28 \text{ rev} $, y el punto recorre treinta y ocho coma cuatro metros.

📝 Ejemplo 2:

Una centrifugadora pasa del reposo a $1200 \text{ rev/min} $ en $20 \text{ s} $ con aceleración angular constante.

Calcula la aceleración angular en radianes por segundo al cuadrado, el número de vueltas dadas durante el arranque y la aceleración normal de una muestra situada a $15 \text{ cm} $ del eje cuando ya gira a régimen.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por convertir la velocidad angular final a radianes por segundo.

A continuación calcularemos la aceleración angular y el ángulo girado durante el arranque.

Para terminar hallaremos la aceleración normal de la muestra a régimen.

👉 PASO 1

Conversión de la velocidad final.

Cada revolución son $2\pi $ radianes y cada minuto son $60 \text{ s} $, luego:

$$\omega = 1200\cdot\frac{2\pi}{60} = 40\pi = 125,66 \text{ rad/s} $$ $$$$

👉 PASO 2

Aceleración angular y vueltas del arranque.

De $\omega = \omega_0 + \alpha t $ con $\omega_0 = 0 $ despejamos:

$$\alpha = \frac{\omega}{t} = \frac{125,66}{20} = 6,28 \text{ rad/s}^2 $$

El ángulo girado es:

$$\theta = \frac{1}{2}\ alpha t^2 = \frac{1}{2}\cdot 6,28\cdot 20^2 = 1256,6 \text{ rad} $$ $$$$

En vueltas:

$$N = \frac{1256,6}{2\pi} = 200 \text{ vueltas} $$ $$$$

👉 PASO 3

Aceleración normal a régimen.

La muestra está a $R = 0,15 \text{ m} $ del eje y gira con $\omega = 125,66 \text{ rad/s} $

Aplicamos $a_n = \omega^2 R $:

$$a_n = 125,66^2\cdot 0,15 = 2368,7 \text{ m/s}^2 $$

✅ Conclusión

La aceleración angular es de $6,28 \text{ rad/s}^2 , da $200 \text{ vueltas} $$ durante el arranque y la muestra sufre una aceleración normal de dos mil trescientos sesenta y ocho coma siete metros por segundo al cuadrado.$$

📝 Ejemplo 3:

La posición angular de un cuerpo (en radianes) varía con el tiempo (en segundos) según $\theta(t) = 4t^2 - t^3 $

Halla la velocidad y la aceleración angulares en función del tiempo, el instante en que el cuerpo se detiene momentáneamente y el ángulo girado hasta ese instante.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar la posición angular para obtener la velocidad angular y derivar de nuevo para la aceleración angular.

A continuación impondremos que la velocidad angular sea nula para hallar el instante de detención.

Para terminar evaluaremos el ángulo en ese instante.

👉 PASO 1

Velocidad y aceleración angulares por derivación.

Derivando la posición angular respecto al tiempo:

$$\omega(t) = \frac{d\theta}{dt} = 8t - 3t^2 $$

Derivando de nuevo:

$$\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = 8 - 6t $$

La aceleración angular no es constante, luego no podemos usar las ecuaciones del movimiento circular uniformemente acelerado.

👉 PASO 2

Instante de detención momentánea.

El cuerpo se detiene cuando $\omega(t) = 0 $:

$$8t - 3t^2 = 0 $$

Extrayendo factor común $t $:

$$t(8 - 3t) = 0 $$

Las soluciones son $t = 0 $, que es el instante inicial, y:

$$8 - 3t = 0 $$

de donde:

$$t = \frac{8}{3} = 2,67 \text{ s} $$ $$$$

👉 PASO 3

Ángulo girado hasta la detención.

Sustituimos $t = \frac{8}{3} $ en $\theta(t) $:

$$\theta = 4\left(\frac{8}{3}\right)^2 - \left(\frac{8}{3}\right)^3 = \frac{256}{9} - \frac{512}{27} = \frac{768 - 512}{27} = \frac{256}{27} = 9,48 \text{ rad} $$ $$$$

✅ Conclusión

La velocidad angular es ocho te menos tres te al cuadrado, la aceleración angular es ocho menos seis te, el cuerpo se detiene a los dos coma sesenta y siete segundos tras girar nueve coma cuarenta y ocho radianes.

📝 Ejemplo 4:

Un disco parte del reposo con una aceleración angular que crece linealmente con el tiempo, $\alpha(t) = 2t $ en unidades del SI.

Deduce por integración la velocidad angular y la posición angular en función del tiempo y evalúalas en $t = 3 \text{ s} $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por integrar la aceleración angular para obtener la velocidad angular, ya que la aceleración no es constante y no valen las ecuaciones del movimiento circular uniformemente acelerado.

A continuación integraremos la velocidad angular para obtener la posición angular.

Para terminar evaluaremos ambas en $3 \text{ s} $

👉 PASO 1

Velocidad angular por integración.

De $\alpha = \frac{d\omega}{dt} $ separamos variables: $d\omega = \alpha\,dt = 2t\,dt $

Integramos desde el reposo ($\omega_0 = 0 $):

$$\omega(t) = \int_{0}^{t} 2t\,dt = \left[t^2\right]_{0}^{t} = t^2 $$

👉 PASO 2

Posición angular por integración.

De $\omega = \frac{d\theta}{dt} $ separamos variables: $d\theta = \omega\,dt = t^2\,dt $

Integramos desde $\theta_0 = 0 $:

$$\theta(t) = \int_{0}^{t} t^2\,dt = \left[\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{t} = \frac{t^3}{3} $$

👉 PASO 3

Evaluación en $3 \text{ s} $

Sustituyendo $t = 3 \text{ s} $:

$$ \omega = 3^2 = 9 \text{ rad/s} \implies \theta = \frac{3^3}{3} = 9 \text{ rad} $$ $$$$

✅ Conclusión

La velocidad angular es te al cuadrado y la posición angular es te al cubo partido por tres; a los $3 \text{ s} $ valen $9 \text{ rad/s} $ y $9 \text{ rad} $ respectivamente.

📝 Ejemplo 5:

Un disco gira a $60 \text{ rev/min} $ con velocidad angular constante.

Compara la velocidad lineal y la aceleración normal de dos puntos situados a $0,2 \text{ m} $ y $0,5 \text{ m} $ del eje.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por convertir la velocidad angular a radianes por segundo.

A continuación calcularemos la velocidad lineal de cada punto con la relación entre magnitudes angulares y lineales.

Para terminar calcularemos la aceleración normal de ambos y las compararemos.

👉 PASO 1

Velocidad angular en radianes por segundo.

$$\omega = 60\cdot\frac{2\pi}{60} = 2\pi = 6,28 \text{ rad/s} $$ $$$$

👉 PASO 2

Velocidades lineales.

Ambos puntos comparten la misma $\omega $ por pertenecer al mismo sólido rígido, pero su velocidad lineal $v = R\omega $ depende de la distancia al eje.

Para el punto interior, $R_A = 0,2 \text{ m} $:

$$v_A = 0,2\cdot 6,28 = 1,26 \text{ m/s} $$ $$$$

Para el punto exterior, $R_B = 0,5 \text{ m} $:

$$v_B = 0,5\cdot 6,28 = 3,14 \text{ m/s} $$ $$$$

El punto exterior se mueve dos coma cinco veces más deprisa, que es el cociente de sus radios.

👉 PASO 3

Aceleraciones normales.

Como $\omega $ es constante, $\alpha = 0 $ y no hay aceleración tangencial; solo existe la normal $a_n = \omega^2 R $

$$ a_{nA} = 6,28^2\cdot 0,2 = 7,90 \text{ m/s}^2 \implies a_{nB} = 6,28^2\cdot 0,5 = 19,74 \text{ m/s}^2 $$

✅ Conclusión

El punto exterior duplica con creces la velocidad lineal y la aceleración normal del interior, porque ambas crecen linealmente con la distancia al eje mientras la velocidad angular es común.