30 Cantidad de movimiento: choques inelásticos
Qué es un choque inelástico
Un choque es inelástico cuando durante el mismo se producen deformaciones permanentes, calor o sonido, de modo que parte de la energía cinética inicial se transforma en energía interna de los cuerpos y la energía cinética total no se conserva.
El momento lineal total sí se sigue conservando, porque las fuerzas que actúan durante el choque son internas al sistema formado por los dos cuerpos.
En un choque inelástico frontal solo se puede plantear, por tanto, la conservación del momento lineal,
\(m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2' \),
que es una sola ecuación con dos incógnitas, \(v_1' \) y \(v_2' \): el problema queda indeterminado a menos que se conozca algún dato adicional sobre el choque, como el coeficiente de restitución que veremos en el apartado 4. Los choques reales de objetos cotidianos, como los coches o las pelotas que botan, son siempre más o menos inelásticos.
El choque totalmente inelástico
El caso extremo es el choque totalmente inelástico, en el que los dos cuerpos quedan unidos tras el choque y se mueven juntos con una velocidad común \(v' \), como ocurre cuando un proyectil se incrusta en un blanco o cuando dos vagones enganchan sus topes.
Al haber una sola velocidad final desconocida, la conservación del momento lineal basta para determinarla:
\(m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v' \),
de donde despejando,
La velocidad final es la media de las velocidades iniciales ponderada por las masas, exactamente la velocidad del centro de masas del sistema, que como veremos no se ve afectada por el choque.
La energía perdida en el choque totalmente inelástico
En el choque totalmente inelástico se pierde la máxima cantidad de energía cinética compatible con la conservación del momento lineal.
Vamos a calcular esa pérdida.
La energía cinética inicial es:
$$E_{ci} = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 $$,
y la final, con la velocidad común \(v' \) deducida en el apartado anterior,
La energía perdida es la diferencia \(\Delta E_c = E_{ci} - E_{cf} \). Para restar ponemos el primer término sobre el denominador común \(2(m_1 + m_2) \):
Desarrollamos el numerador.
El primer producto da
$$m_1^2v_1^2 + m_1m_2v_1^2 + m_1m_2v_2^2 + m_2^2v_2^2 $$,
y el cuadrado del binomio da
Al restar, los términos \(m_1^2v_1^2 \) y \(m_2^2v_2^2 \) se cancelan, y queda
Por tanto, la energía perdida es:
$$\Delta E_c = \frac{m_1m_2}{2(m_1 + m_2)}(v_1 - v_2)^2 $$,
que se escribe de forma compacta introduciendo la masa reducida del sistema,
\(\mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2} \),
como
La energía que se pierde depende solo de la velocidad relativa inicial:
si los cuerpos se mueven juntos con la misma velocidad no hay choque y no se pierde nada, y cuanto mayor sea la velocidad con la que se aproximan, mayor será la energía disipada en forma de calor, deformación y sonido.
Un bloque de \(3 \text{ kg} \) que se mueve a \(4 \text{ m/s} \) choca con otro bloque de \(2 \text{ kg} \) que está en reposo, y ambos quedan enganchados.
La velocidad común tras el choque es:
La energía cinética inicial es \(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4^2 = 24 \text{ J} \) y la final es $$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2,4^2 = 14,4 \text{ J} $$: en el choque se han perdido \(9,6 \text{ J} \), que se han transformado en energía interna de los bloques.
Coeficiente de restitución
El grado de elasticidad de un choque frontal se mide con el coeficiente de restitución, definido como el cociente entre la velocidad relativa de separación y la velocidad relativa de aproximación:
En la sección anterior demostramos que en el choque perfectamente elástico \(e = 1 \). En el choque totalmente inelástico los cuerpos quedan unidos, luego \(v_2' = v_1' \) y \(e = 0 \). Los choques reales tienen un coeficiente de restitución entre cero y uno.
Conocido \(e \), el choque queda determinado, porque se dispone de dos ecuaciones: la conservación del momento lineal y la definición del coeficiente de restitución,
Despejamos \(v_2' = v_1' + e(v_1 - v_2) \) y sustituimos en la conservación del momento:
Despejando \(v_1' \),
De forma análoga, despejando \(v_1' = v_2' - e(v_1 - v_2) \) y sustituyendo, se obtiene
Estas fórmulas contienen como casos particulares las del choque elástico, con \(e = 1 \), y las del choque totalmente inelástico, con \(e = 0 \), como puede comprobarse directamente.
Un proyectil de \(m = 25 \text{ g} \) se dispara horizontalmente a \(v = 350 \text{ m/s} \) contra un bloque de madera de \(M = 4 \text{ kg} \) que cuelga de un hilo.
El proyectil se incrusta en el bloque.
Calcula la altura máxima que alcanza el conjunto.
Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la conservación del momento lineal durante el impacto, que es un choque totalmente inelástico, para hallar la velocidad del conjunto justo después del choque.
A continuación aplicaremos la conservación de la energía mecánica durante la subida del péndulo, porque la tensión del hilo no realiza trabajo.
Para terminar despejaremos la altura máxima.
Velocidad del conjunto justo después del impacto.
Durante el brevísimo impacto las fuerzas externas, el peso y la tensión del hilo, son despreciables frente a las intensas fuerzas internas del choque, por lo que el momento lineal se conserva.
Al incrustarse el proyectil, el choque es totalmente inelástico y ambos cuerpos se mueven con una velocidad común \(v' \):
Los datos son \(m = 0,025 \text{ kg} \), \(M = 4 \text{ kg} \) y \(v = 350 \text{ m/s} \). Despejando,
Altura máxima por conservación de la energía mecánica.
Tras el impacto, el conjunto sube girando alrededor del punto de suspensión.
La tensión del hilo es perpendicular al desplazamiento en todo momento y no realiza trabajo, luego la energía mecánica se conserva:
La masa común se simplifica y, despejando la altura,
Con \(v' = 2,17 \text{ m/s} \) y \(g = 9,8 \text{ m/s}^2 \),
El conjunto formado por el proyectil y el bloque alcanza una altura máxima de \(24,0 \text{ cm} \) sobre su posición inicial.
Este dispositivo, el péndulo balístico, se usó históricamente para medir la velocidad de los proyectiles a partir de la altura alcanzada.
Un vagón de \(m_1 = 20000 \text{ kg} \) se mueve a \(v_1 = 3 \text{ m/s} \) y alcanza a otro vagón de \(m_2 = 15000 \text{ kg} \) que está en reposo en la misma vía.
Al chocar, los topes enganchan y los dos vagones siguen juntos.
Calcula su velocidad común y la energía cinética perdida en el enganche.
Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la conservación del momento lineal al choque totalmente inelástico para hallar la velocidad común.
A continuación calcularemos las energías cinéticas inicial y final.
Para terminar obtendremos la energía perdida por diferencia y la comprobaremos con la fórmula de la masa reducida.
Velocidad común tras el enganche.
Al quedar enganchados, el choque es totalmente inelástico:
Energías cinéticas inicial y final.
La energía cinética inicial la tiene solo el primer vagón:
La final es:
Energía perdida.
Por diferencia,
Comprobamos con la fórmula de la masa reducida: $$\mu = \frac{20000 \cdot 15000}{35000} = 8571,4 \text{ kg} $$, luego
Los vagones siguen juntos a \(1,71 \text{ m/s} \) y en el enganche se pierden unos \(38,6 \text{ kJ} \), más del cuarenta por ciento de la energía inicial, disipados en deformaciones, calor y sonido.
Una pelota se deja caer desde una altura \(h_0 = 2 \text{ m} \) y bota contra el suelo con un coeficiente de restitución \(e = 0,8 \). Demuestra que la altura del primer rebote es \(h_1 = e^2h_0 \) y calcula cuántos botes da la pelota hasta que la altura del rebote es menor que \(1 \text{ cm} \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por relacionar la velocidad de llegada al suelo con la altura de caída mediante la conservación de la energía.
A continuación aplicaremos la definición del coeficiente de restitución al bote contra el suelo, considerado como un blanco de masa infinita en reposo.
Para terminar obtendremos la ley de las alturas sucesivas y el número de botes pedido.
Velocidad de llegada al suelo.
Al caer desde \(h_0 \) partiendo del reposo, la energía potencial se transforma íntegramente en cinética:
\(mgh_0 = \frac{1}{2}mv^2 \),
de donde
Esta es la velocidad con la que la pelota se aproxima al suelo.
Velocidad de salida y altura del rebote.
El suelo es un blanco de masa infinita en reposo: \(v_2 = 0 \) y \(v_2' = 0 \). El coeficiente de restitución queda
$$e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2} = \frac{-v_1'}{v_1} $$,
donde \(v_1 \) es la velocidad de llegada, hacia abajo, y \(v_1' \) la de salida, hacia arriba.
Por tanto, el módulo de la velocidad de salida es \(|v_1'| = ev \). La altura que alcanza con esa velocidad, de nuevo por conservación de la energía, es:
$$h_1 = \frac{{v_1'}^2}{2g} = \frac{e^2v^2}{2g} = e^2\frac{2gh_0}{2g} = e^2h_0 $$,
como se quería demostrar.
Numéricamente,
Número de botes hasta menos de \(1 \text{ cm} \)
Cada bote multiplica la altura por \(e^2 = 0,64 \), luego tras \(n \) botes la altura es \(h_n = h_0(e^2)^n \). Imponemos que sea menor que \(0,01 \text{ m} \):
\(2 \cdot 0,64^n < 0,01 \),
Tomando logaritmos neperianos, y teniendo en cuenta que \(\ln 0,64 \) es negativo y la desigualdad cambia de sentido al dividir,
La altura de cada rebote es \(e^2 \) veces la anterior, y la pelota da \(12 \) botes hasta que la altura del rebote baja de \(1 \text{ cm} \). Cada bote disipa una fracción \(1 - e^2 = 0,36 \) de la energía, es decir, el \(36\% \)
Dos bloques de masas \(m_1 = 3 \text{ kg} \) y \(m_2 = 2 \text{ kg} \) se mueven sobre una superficie horizontal sin rozamiento con velocidades \(v_1 = 5 \text{ m/s} \) y \(v_2 = -3 \text{ m/s} \). Chocan frontalmente con un coeficiente de restitución \(e = 0,5 \). Calcula las velocidades tras el choque y la energía cinética perdida.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir las fórmulas generales del choque frontal con coeficiente de restitución.
A continuación sustituiremos los datos del enunciado, cuidando los signos de las velocidades.
Para terminar calcularemos las energías cinéticas inicial y final y su diferencia.
Velocidades tras el choque.
Las fórmulas generales son:
Sustituyendo \(m_1 = 3 \), \(m_2 = 2 \), \(v_1 = 5 \), \(v_2 = -3 \) y \(e = 0,5 \),
Comprobamos el coeficiente de restitución:
$$e = \frac{4,2 - 0,2}{5 - (-3)} = \frac{4}{8} = 0,5 $$,
y la conservación del momento: \(3 \cdot 5 + 2 \cdot (-3) = 9 \) y \(3 \cdot 0,2 + 2 \cdot 4,2 = 0,6 + 8,4 = 9 \)
Energía cinética perdida.
La energía inicial es:
$$E_{ci} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5^2 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (-3)^2 = 37,5 + 9 = 46,5 \text{ J} $$,
y la final
La energía perdida es:
Tras el choque el bloque de \(3 \text{ kg} \) sigue hacia delante a solo \(0,2 \text{ m/s} \) y el de \(2 \text{ kg} \) rebota a \(4,2 \text{ m/s} \), perdiéndose \(28,8 \text{ J} \), un \(62\% \) de la energía inicial.
Demuestra que en un choque frontal con coeficiente de restitución \(e \) la energía cinética perdida es $$\Delta E_c = \frac{1}{2}\mu(1 - e^2)(v_1 - v_2)^2 $$, donde \(\mu \) es la masa reducida, y deduce que la pérdida es máxima en el choque totalmente inelástico.
Para resolver este ejemplo empezaremos por describir el choque desde el sistema de referencia del centro de masas, donde el momento lineal total es cero.
A continuación obtendremos las velocidades en ese sistema antes y después del choque usando la definición del coeficiente de restitución.
Para terminar calcularemos la energía cinética en ese sistema y la pérdida resultante.
El choque visto desde el centro de masas.
La velocidad del centro de masas, que no cambia en el choque porque solo actúan fuerzas internas, es:
Las velocidades medidas desde el centro de masas son \(u_1 = v_1 - V_{CM} \) y \(u_2 = v_2 - V_{CM} \). Restando se comprueba que el momento total en este sistema es cero:
\(m_1u_1 + m_2u_2 = 0 \),
de donde \(u_2 = -\frac{m_1}{m_2}u_1 \). Además, restando las definiciones,
\(u_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2}(v_1 - v_2) \),
es decir, cada velocidad en el sistema del centro de masas es proporcional a la velocidad relativa inicial.
Velocidades después del choque en el sistema del centro de masas.
Tras el choque el momento total en este sistema sigue siendo cero, luego \(m_1u_1' + m_2u_2' = 0 \). El coeficiente de restitución, que solo depende de velocidades relativas y es el mismo en cualquier sistema inercial, da
Sustituyendo \(u_2' = -\frac{m_1}{m_2}u_1' \) y \(u_2 = -\frac{m_1}{m_2}u_1 \),
$$e = \frac{-\frac{m_1}{m_2}u_1' - u_1'}{\frac{m_1}{m_2}u_1 + u_1} = -\frac{u_1'}{u_1} $$,
porque los factores \(\left(\frac{m_1}{m_2} + 1\right) \) del numerador y del denominador se cancelan.
Por tanto,
\(u_1' = -eu_1, \qquad u_2' = -eu_2 \):
en el sistema del centro de masas cada partícula invierte su velocidad y la multiplica por \(e \)
Energía perdida.
La energía cinética medida desde el centro de masas antes del choque es:
Sustituyendo \(u_1 \) y \(u_2 = -\frac{m_1}{m_2}u_1 \),
Sacando factor común \(\frac{(v_1-v_2)^2}{2(m_1+m_2)^2} \) queda \(m_1m_2^2 + m_2m_1^2 = m_1m_2(m_1 + m_2) \), luego
Después del choque, como \(u_1' = -eu_1 \) y \(u_2' = -eu_2 \), la energía es \(E_{rel}' = e^2E_{rel} \). La energía del movimiento del centro de masas como un todo no cambia, así que la pérdida total es:
$$\Delta E_c = E_{rel} - E_{rel}' = (1 - e^2)E_{rel} = \frac{1}{2}\mu(1 - e^2)(v_1 - v_2)^2 $$,
como se quería demostrar.
La energía perdida crece al disminuir \(e \), y es máxima cuando \(e = 0 \), es decir, en el choque totalmente inelástico, donde vale \(\frac{1}{2}\mu(v_1-v_2)^2 \). En el choque elástico, \(e = 1 \), no se pierde nada.
Esta deducción muestra que toda la energía que puede disiparse en un choque es la asociada al movimiento relativo de las partículas: la del centro de masas es intocable.