9 Cinemática: caída libre

1. La caída libre como MRUA vertical. La caída libre es el movimiento de un cuerpo sometido únicamente a la atracción gravitatoria terrestre, despreciando el rozamiento con el aire. Tomando el eje \(y\) vertical con sentido positivo hacia arriba, la aceleración es constante y vale: \(\vec{a} = -g\,\vec{e}_y\) con \(g = 9,8 \, \text{m/s}^2\). Es, por tanto, un MRUA vertical con \(a = -g\), y le son aplicables todas las ecuaciones de la sección 5. Si el cuerpo parte de la altura \(y_0\) con velocidad inicial \(v_0\) (positiva si es hacia arriba), las ecuaciones son: \(v(t) = v_0 - g\,t\) \(y(t) = y_0 + v_0\,t - \frac{1}{2}g\,t^2\) y la ecuación sin tiempo: \(v^2 = v_0^2 - 2g\,(y - y_0)\) Ejemplo: Se deja caer un objeto desde \(45 \, \text{m}\) (\(y_0 = 45 \, \text{m}\), \(v_0 = 0\)). De \(y = y_0 - \frac{1}{2}gt^2\), imponiendo \(y = 0\): \(\frac{1}{2}gt^2 = 45 \rightarrow t = \sqrt{90/9,8} \approx 3,03 \, \text{s}\). La velocidad de llegada es \(v = -gt = -9,8\cdot 3,03 \approx -29,7 \, \text{m/s}\), donde el signo menos indica sentido descendente. <img src="/fisica_imagenes/seccion09_caida_libre.png" alt="Objeto cayendo con vectores velocidad crecientes hacia abajo y eje y" loading="lazy">Objeto cayendo con vectores velocidad crecientes hacia abajo y eje y 2. El convenio de signos: la clave para no equivocarse. Todos los errores en caída libre vienen de los signos. El convenio debe fijarse al principio y mantenerse: si el eje \(y\) apunta hacia arriba, entonces la aceleración es \(a = -g\) (negativa), una velocidad hacia arriba es positiva y una hacia abajo es negativa, y las alturas se miden hacia arriba desde el origen elegido. El origen puede elegirse donde convenga: en el suelo (\(y = 0\) en el suelo), en el punto de lanzamiento o en cualquier otro punto; lo único obligatorio es ser coherente. Cambiar el origen cambia \(y_0\), pero las ecuaciones con \((y - y_0)\) dan siempre el mismo resultado físico. Ejemplo: Lanzamos una piedra hacia arriba con \(v_0 = 15 \, \text{m/s}\) desde el suelo (\(y_0 = 0\)). La altura máxima se alcanza cuando \(v = 0\): de \(v^2 = v_0^2 - 2gy\), \(0 = 225 - 19,6\,y_{\text{máx}} \rightarrow y_{\text{máx}} = 225/19,6 \approx 11,48 \, \text{m}\) 3. Subida y bajada: simetría del movimiento. Si un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad \(v_0\) desde el suelo, el tiempo de subida hasta la altura máxima se obtiene de \(v = 0\): \(0 = v_0 - gt_s \rightarrow t_s = v_0/g\). La altura máxima es \(h_{\text{máx}} = v_0\,t_s - \frac{1}{2}gt_s^2 = \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^2}{2g} = \frac{v_0^2}{2g}\) El tiempo total hasta volver al suelo se obtiene de \(y = 0\): \(0 = v_0\,t - \frac{1}{2}gt^2 = t\left(v_0 - \frac{1}{2}gt\right)\), de donde \(t = 0\) (partida) o \(t = 2v_0/g = 2t_s\): el tiempo de bajada es igual al de subida. Y la velocidad al llegar al suelo es \(v = v_0 - g(2v_0/g) = -v_0\): llega con la misma celeridad con la que partió, pero en sentido contrario. Esta simetría entre subida y bajada es característica de la caída libre sin rozamiento. Ejemplo: Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo desde el suelo con velocidad inicial \(v_0 = 20 \, \text{m/s}\) (con \(g = 9,8 \, \text{m/s}^2\)). Calcula el tiempo de subida, la altura máxima alcanzada, el tiempo total de vuelo y la velocidad al regresar al suelo. Aplicando los resultados del lanzamiento vertical: \(t_s = 20/9,8 \approx 2,04 \, \text{s}\), \(h_{\text{máx}} = 400/19,6 \approx 20,4 \, \text{m}\), tiempo total \(4,08 \, \text{s}\) y velocidad de llegada \(-20 \, \text{m/s}\) 4. La aproximación g constante: cuándo vale y cuándo no. Tomar \(g = 9,8 \, \text{m/s}^2\) constante es una aproximación que vale cuando la altura del movimiento es despreciable frente al radio de la Tierra (\(R_T \approx 6370 \, \text{km}\)). La aceleración gravitatoria real varía como \(g(r) = GM/r^2\): a \(100 \, \text{km}\) de altura \(g\) ya es un \(3\%\) menor que en la superficie. Para los movimientos cotidianos (edificios, proyectiles, deportes) la aproximación es excelente. Para satélites o caídas desde grandes alturas hay que usar \(a(x) = -GM/x^2\) con el método de la sección 6. Además, la caída libre ideal desprecia el rozamiento con el aire: a velocidades altas o en cuerpos poco densos (una hoja, un paracaídas) el rozamiento es importante y hay que usar los métodos de la sección 7, con velocidad límite. Ejemplo: Se deja caer un cuerpo desde \(10 \, \text{km}\) de altura sobre la superficie terrestre. Analiza si es válido describir su movimiento mediante el modelo de caída libre ideal con \(g\) constante. A \(10 \, \text{km}\) de altura \(g\) varía solo un \(0,3\%\), por lo que la aproximación de \(g\) constante es aceptable; sin embargo, el rozamiento con el aire a esas velocidades es enorme y la caída libre ideal no describe bien el movimiento: el cuerpo alcanza pronto su velocidad límite. 5. Caída libre con origen en el punto de partida hacia abajo. A veces conviene tomar el eje positivo hacia abajo (por ejemplo, al dejar caer un objeto por un pozo). Entonces \(a = +g\), \(v_0 = 0\) y las ecuaciones son \(v(t) = gt\), \(y(t) = y_0 + \frac{1}{2}gt^2 ,\ \text{con}\ y\) medida hacia abajo desde el punto de suelta. Es el mismo movimiento con otro convenio: lo importante es que el signo de \(a\) y el sentido positivo del eje coincidan. Ejemplo: Se deja caer una piedra por un pozo y se oye el chapoteo \(2,40 \, \text{s}\) después. Si se desprecia el tiempo del sonido, la profundidad es \(h = \frac{1}{2}gt^2 = 4,9\cdot 5,76 = 28,2 \, \text{m}\) Ejemplo 1: Mirando por una ventana que tiene \(2 \, \text{m}\) de altura vemos pasar cayendo una pelota, que tarda \(0,25 \, \text{s}\) en pasar por delante de la ventana. Si la pelota se ha dejado caer desde el tejado del edificio (parte del reposo), ¿qué distancia hay entre la parte superior de la ventana y el tejado? (Toma \(g = 9,8 \, \text{m/s}^2\).)