9.1 9.1 Definiciones y ejemplos

ci-9-1-1 9.1 Definiciones y ejemplos

La integral clásica de Riemann exige dos hipótesis restrictivas indispensables: que el intervalo de integración $ [a, b] $ sea cerrado y acotado, y que la función integrando $ f(x) $ permanezca acotada en todo su dominio.

Cuando alguna de estas dos condiciones se incumple, la integral se denomina Integral Impropia, y su cálculo requiere extender la teoría mediante el concepto analítico de paso al límite.

Integrales Impropias de Primera Especie (Intervalo no acotado)

Se presentan cuando uno o ambos extremos de integración son infinitos:

- Límite superior infinito ($ [a, +\infty) $):

$$ \int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx $$

- Límite inferior infinito ($ (-\infty, b] $):

$$ \int_{-\infty}^b f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) \, dx $$

- Ambos límites infinitos ($ (-\infty, +\infty) $): se descompone en un punto intermedio arbitrario $ c \in \mathbb{R} $:

$$ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx = \int_{-\infty}^c f(x) \, dx + \int_c^\infty f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^c f(x) \, dx + \lim_{b \to \infty} \int_c^b f(x) \, dx $$

Se dice que la integral impropia es convergente si el límite correspondiente existe y es un número real finito.

Si el límite no existe o es $ \pm\infty $, la integral es divergente.

En el caso de ambos extremos infinitos, la integral converge si y solo si convergen AMBAS integrales por separado de manera independiente.

📝 Ejemplo: patrón de primera especie (Integral de Riemann p):

Para la función potencial $ f(x) = \frac{1}{x^p} $ en $ [1, +\infty) $ con $ p > 0 $:

- Si $ p \neq 1 $:

$$ \int_1^\infty \frac{dx}{x^p} = \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{x^{1-p}}{1 - p} \right]_1^b = \lim_{b \to \infty} \left( \frac{b^{1-p}}{1 - p} - \frac{1}{1 - p} \right) $$

Si $$ p > 1 \implies 1 - p < 0 \implies \lim_{b \to \infty} b^{1-p} = 0 \implies \int_1^\infty \frac{dx}{x^p} = \frac{1}{p - 1} $$

Si $$ p < 1 \implies 1 - p > 0 \implies \lim_{b \to \infty} b^{1-p} = +\infty \implies $$

- Si $ p = 1 $:

$$ \int_1^\infty \frac{dx}{x} = \lim_{b \to \infty} [\ln x]_1^b = \lim_{b \to \infty} \ln b = +\infty $$

En conclusión, $ \int_1^\infty \frac{dx}{x^p} $ converge si y solo si $ p > 1 $

Integrales Impropias de Segunda Especie (Integrando no acotado)

Se presentan cuando la función se vuelve infinita ($ \lim f(x) = \pm\infty $) en uno de los extremos o en un punto interior del intervalo de integración:

- Singularidad en el extremo superior $ b $:

$$ \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{b - \varepsilon} f(x) \, dx $$

- Singularidad en el extremo inferior $ a $:

$$ \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a + \varepsilon}^b f(x) \, dx $$

- Singularidad en un punto interior $ c \in (a, b) $:

$$ \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\varepsilon_1 \to 0^+} \int_a^{c - \varepsilon_1} f(x) \, dx + \lim_{\varepsilon_2 \to 0^+} \int_{c + \varepsilon_2}^b f(x) \, dx $$

📝 Ejemplo: patrón de segunda especie:

Para $ \int_0^1 \frac{dx}{x^p} $:

Presenta una singularidad asintótica en $ x = 0 $

$$ \int_0^1 \frac{dx}{x^p} = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_\varepsilon^1 x^{-p} \, dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[ \frac{x^{1-p}}{1 - p} \right]_\varepsilon^1 = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( \frac{1}{1 - p} - \frac{\varepsilon^{1-p}}{1 - p} \right) $$

El límite es finito si y solo si $ 1 - p > 0 \iff p < 1 $, valiendo en tal caso $ \frac{1}{1 - p} $

Por tanto, $ \int_0^1 \frac{dx}{x^p} $ converge si y solo si $ p < 1 $

Integrales de Tercera Especie (Mixtas)

Son aquellas que combinan simultáneamente un intervalo de integración infinito con una o más singularidades asintóticas del integrando.

Se analizan dividiendo la integral en la suma de integrales de primera y segunda especie puras.

Valor Principal de Cauchy (V.P.)

Para una integral en toda la recta real $ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx $, el Valor Principal de Cauchy impone un límite simétrico simultáneo:

$$ \text{V.P.} \int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx = \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^R f(x) \, dx $$

Si la integral impropia estándar converge, su valor coincide siempre con el Valor Principal de Cauchy.

Sin embargo, una integral puede poseer Valor Principal de Cauchy finito y ser divergente en sentido estricto de Riemann (por ejemplo para funciones impares como $ f(x) = x $).

A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso:

📝 Ejemplo 1 Determinar si converge y calcular el valor exacto de la integral impropia de primera especie:

$$ I = \int_0^\infty e^{-2x} \cos(3x) \, dx $$

👉 PASO 1

Planteamos la definición formal mediante el paso al límite superior:

$$ I = \lim_{b \to \infty} \int_0^b e^{-2x} \cos(3x) \, dx $$

👉 PASO 2

Hallamos la función primitiva mediante doble integración por partes cíclica:

$$ \int e^{-2x} \cos(3x) \, dx = \frac{e^{-2x}}{(-2)^2 + 3^2} \left( -2\cos(3x) + 3\sin(3x) \right) = \frac{e^{-2x}}{13} \left( 3\sin(3x) - 2\cos(3x) \right) $$

👉 PASO 3

Evaluamos la primitiva entre los límites 0 y $ b $ mediante la Regla de Barrow:

$$ \int_0^b e^{-2x}\cos(3x) \, dx = \left[ \frac{e^{-2x}}{13}(3\sin(3x) - 2\cos(3x)) \right]_0^b $$

- En el límite superior $ x = b $:

$$ \frac{e^{-2b}}{13} (3\sin(3b) - 2\cos(3b)) $$

- En el límite inferior $ x = 0 $:

$$ \frac{e^0}{13} (3\sin(0) - 2\cos(0)) = \frac{1}{13}(0 - 2(1)) = -\frac{2}{13} $$

Restando ambos términos:

$$ \int_0^b e^{-2x}\cos(3x) \, dx = \frac{e^{-2b}}{13} (3\sin(3b) - 2\cos(3b)) - \left( -\frac{2}{13} \right) = \frac{e^{-2b}}{13} (3\sin(3b) - 2\cos(3b)) + \frac{2}{13} $$

👉 PASO 4

Tomamos el límite cuando $ b \to \infty $:

Como las funciones seno y coseno están acotadas ($ |3\sin(3b) - 2\cos(3b)| \le 3 + 2 = 5 $) y $ \lim_{b \to \infty} e^{-2b} = 0 $:

$$ \lim_{b \to \infty} \frac{e^{-2b}}{13} (3\sin(3b) - 2\cos(3b)) = 0 $$

Por consiguiente:

$$ I = 0 + \frac{2}{13} = \frac{2}{13} $$

✅ Conclusión

La integral impropia converge y su valor exacto es $ \frac{2}{13} $

📝 Ejemplo 2 Determinar el carácter de convergencia y calcular el valor de la integral de segunda especie del logaritmo:

$$ I = \int_0^1 \ln x \, dx $$

👉 PASO 1

Identificamos la singularidad asintótica: la función $ \ln x $ no está definida en $ x = 0 $ y diverge asintóticamente a menos infinito ($ \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty $).

Planteamos el límite lateral formal:

$$ I = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_\varepsilon^1 \ln x \, dx $$

👉 PASO 2

Hallamos la primitiva del logaritmo mediante integración por partes:

$$ \int \ln x \, dx = x \ln x - x $$

👉 PASO 3

Evaluamos entre $ \varepsilon $ y 1 mediante Barrow:

$$ \int_\varepsilon^1 \ln x \, dx = [x\ln x - x]_\varepsilon^1 = (1\ln 1 - 1) - (\varepsilon\ln\varepsilon - \varepsilon) = (0 - 1) - \varepsilon\ln\varepsilon + \varepsilon = -1 - \varepsilon\ln\varepsilon + \varepsilon $$

👉 PASO 4

Calculamos el límite cuando $ \varepsilon \to 0^+ $:

El término $ \varepsilon \ln \varepsilon $ presenta una indeterminación del tipo $ [0 \cdot (-\infty)] $. La resolvemos aplicando la Regla de L'Hôpital:

$$ \lim_{\varepsilon \to 0^+} \varepsilon \ln \varepsilon = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{\ln\varepsilon}{1/\varepsilon} = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{1/\varepsilon}{-1/\varepsilon^2} = \lim_{\varepsilon \to 0^+} (-\varepsilon) = 0 $$

Por tanto:

$$ I = \lim_{\varepsilon \to 0^+} (-1 - \varepsilon\ln\varepsilon + \varepsilon) = -1 - 0 + 0 = -1 $$

✅ Conclusión

La integral impropia de segunda especie es estrictamente convergente y vale $ -1 $

📝 Ejemplo 3 Calcular la integral impropia en toda la recta real:

$$ I = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1 + x^2} \, dx $$

👉 PASO 1

Como ambos extremos de integración son infinitos, dividimos la recta en dos intervalos en el origen de simetría $ x = 0 $:

$$ I = \int_{-\infty}^0 \frac{1}{1 + x^2} \, dx + \int_0^\infty \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^0 \frac{1}{1 + x^2} \, dx + \lim_{b \to \infty} \int_0^b \frac{1}{1 + x^2} \, dx $$

👉 PASO 2

La función integrando es continua y su primitiva inmediata es la función arco tangente:

$$ \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x $$

👉 PASO 3

Calculamos la primera integral impropia:

$$ \lim_{a \to -\infty} [\arctan x]_a^0 = \lim_{a \to -\infty} (\arctan 0 - \arctan a) = 0 - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} $$

👉 PASO 4

Calculamos la segunda integral impropia:

$$ \lim_{b \to \infty} [\arctan x]_0^b = \lim_{b \to \infty} (\arctan b - \arctan 0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} $$

👉 PASO 5

Sumamos ambos valores independientes:

$$ I = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi $$

✅ Conclusión

La integral impropia converge y su valor es exactamente $ \pi $

📝 Ejemplo 4 Calcular la integral impropia con singularidad en el extremo superior:

$$ I = \int_0^2 \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx $$

👉 PASO 1

Identificamos la singularidad: en $ x = 2 $, el denominador se anula ($ \sqrt{4 - 4} = 0 $), haciendo que la función tienda a $ +\infty $

Planteamos el límite formal por la izquierda:

$$ I = \lim_{b \to 2^-} \int_0^b \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx $$

👉 PASO 2

Reconocemos la primitiva inmediata de la función arco seno escalada:

$$ \int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx = \int \frac{1}{2\sqrt{1 - (x/2)^2}} \, dx = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) $$

👉 PASO 3

Evaluamos mediante Barrow en $ b $ y en 0:

$$ \int_0^b \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx = \left[ \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) \right]_0^b = \arcsin\left(\frac{b}{2}\right) - \arcsin(0) = \arcsin\left(\frac{b}{2}\right) - 0 = \arcsin\left(\frac{b}{2}\right) $$

👉 PASO 4

Tomamos el límite cuando $ b \to 2^- $:

$$ I = \lim_{b \to 2^-} \arcsin\left(\frac{b}{2}\right) = \arcsin\left(\frac{2}{2}\right) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} $$

✅ Conclusión

La integral impropia de segunda especie converge y su valor es exactamente $ \frac{\pi}{2} $

📝 Ejemplo 5 Determinar si converge y calcular el valor de la integral impropia:

$$ I = \int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^3} \, dx $$

👉 PASO 1

Planteamos la definición mediante el límite superior:

$$ I = \lim_{b \to \infty} \int_2^b \frac{1}{x (\ln x)^3} \, dx $$

👉 PASO 2

Realizamos el cambio de variable $ u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} \, dx $

La integral indefinida es de tipo potencial simple:

$$ \int u^{-3} \, du = \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2u^2} = -\frac{1}{2(\ln x)^2} $$

👉 PASO 3

Evaluamos entre 2 y $ b $ mediante la Regla de Barrow:

$$ \int_2^b \frac{dx}{x(\ln x)^3} = \left[ -\frac{1}{2(\ln x)^2} \right]_2^b = \left( -\frac{1}{2(\ln b)^2} \right) - \left( -\frac{1}{2(\ln 2)^2} \right) = \frac{1}{2(\ln 2)^2} - \frac{1}{2(\ln b)^2} $$

👉 PASO 4

Tomamos el límite cuando $ b \to \infty $:

Como $$ \lim_{b \to \infty} \ln b = +\infty \implies \lim_{b \to \infty} \frac{1}{2(\ln b)^2} = 0 $$:

$$ I = \frac{1}{2(\ln 2)^2} - 0 = \frac{1}{2(\ln 2)^2} $$

✅ Conclusión

La integral impropia es convergente y su valor exacto es $ \frac{1}{2(\ln 2)^2} \approx 1.0407 $