8.4 8.4.2 Cálculo de volúmenes

ci-8-4-2 8.4.2 Cálculo de volúmenes

El cálculo de volúmenes en el espacio tridimensional mediante la integración simple de una variable se basa en sumar las secciones infinitesimales de corte del cuerpo a lo largo de un eje coordenado.

Método General de Secciones Transversales Paralelas

Sea un cuerpo sólido acotado entre los planos paralelos $ x = a $ y $ x = b $. Si para cada valor de la coordenada $ x \in [a, b] $, el plano perpendicular al eje $ OX $ corta al sólido produciendo una sección plana de área conocida $ A(x) $, el volumen total $ V $ del sólido es la integral definida de dicha área:

$$ V = \int_a^b A(x) \, dx $$

Este resultado constituye la generalización infinitesimal continua del clásico Principio de Cavalieri.

📝 Ejemplo: de sección transversal: Volumen de una pirámide de base cuadrada de lado $ L $ y altura $ H $. Por semejanza de triángulos, el lado del cuadrado a distancia $ x $ del vértice es $ s(x) = \frac{L}{H}x $, y su área es $ A(x) = [s(x)]^2 = \frac{L^2}{H^2}x^2 $:

$$ V = \int_0^H \frac{L^2}{H^2}x^2 \, dx = \frac{L^2}{H^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^H = \frac{L^2}{H^2} \cdot \frac{H^3}{3} = \frac{1}{3}L^2 H = \frac{1}{3}A_{\text{base}} H $$

Sólidos de Revolución: Método de Discos

Cuando una región plana limitada por la curva continua $ y = f(x) \ge 0 $, el eje $ OX $ y las rectas $ x = a $ y $ x = b $ gira una revolución completa ($ 360^\circ $) alrededor del eje $ OX $, las secciones transversales perpendiculares a dicho eje son círculos de radio $ r(x) = f(x) $. El área transversal es $ A(x) = \pi [f(x)]^2 $, lo que conduce a la fórmula del método de discos:

$$ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx $$

📝 Ejemplo: de método de discos: Volumen de una esfera de radio $ R $. Se engendra girando la semicircunferencia $ y = \sqrt{R^2 - x^2} $ en $ [-R, R] $ alrededor del eje $ OX $:

$$ V = \pi \int_{-R}^R (R^2 - x^2) \, dx = 2\pi \int_0^R (R^2 - x^2) \, dx = 2\pi \left[ R^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_0^R = 2\pi \left( R^3 - \frac{R^3}{3} \right) = \frac{4}{3}\pi R^3 $$

Método de Arandelas (Regiones Huecas)

Si la región plana que rota alrededor del eje $ OX $ está delimitada entre dos curvas $ y = f(x) $ (radio exterior $ R(x) = f(x) $) e $ y = g(x) $ (radio interior $ r(x) = g(x) $), la sección transversal perpendicular es una corona circular o arandela de área $ A(x) = \pi [R(x)]^2 - \pi [r(x)]^2 $:

$$ V = \pi \int_a^b \left( [f(x)]^2 - [g(x)]^2 \right) dx $$

📝 Ejemplo: de arandelas: Volumen al girar alrededor del eje $ OX $ la región entre la recta $ y = x $ y la parábola $ y = x^2 $ en $ [0, 1] $:

$$ V = \pi \int_0^1 \left( (x)^2 - (x^2)^2 \right) dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \frac{2\pi}{15} $$

Método de Capas o Casquetes Cilíndricos

Cuando una región delimitada por $ y = f(x) $ en $ [a, b] $ ($ 0 \le a < b $) gira alrededor del eje vertical $ OY $, resulta sumamente ventajoso descomponer el sólido en una suma de tubos o casquetes cilíndricos concéntricos de radio medio $ x $, altura $ f(x) $ y espesor infinitesimal $ dx $. El volumen diferencial es $ dV = 2\pi x f(x) \, dx $:

$$ V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx $$

A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso:

📝 Ejemplo 1 Calcular por el método de discos el volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva sinusoidal:

$$ y = \sin x \quad \text{en el intervalo } [0, \pi] $$

alrededor del eje de abscisas $ OX $

👉 PASO 1

Identificamos el eje de rotación (eje horizontal $ OX $) y el intervalo de integración $ [0, \pi] $. En este intervalo $ \sin x \ge 0 $

👉 PASO 2

Planteamos la integral del volumen mediante el método de discos:

$$ V = \pi \int_0^\pi [\sin x]^2 \, dx = \pi \int_0^\pi \sin^2 x \, dx $$

👉 PASO 3

Empleamos la identidad del ángulo doble para integrar el seno al cuadrado:

$$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $$

Sustituimos en la integral:

$$ V = \pi \int_0^\pi \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi (1 - \cos(2x)) \, dx $$

👉 PASO 4

Integramos término a término y evaluamos mediante Barrow:

$$ V = \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{\sin(2x)}{2} \right]_0^\pi $$

- En el extremo superior $ x = \pi $:

$$ \pi - \frac{\sin(2\pi)}{2} = \pi - 0 = \pi $$

- En el extremo inferior $ x = 0 $:

$$ 0 - \frac{\sin(0)}{2} = 0 $$

Multiplicamos por el factor constante exterior:

$$ V = \frac{\pi}{2} (\pi - 0) = \frac{\pi^2}{2} $$

✅ Conclusión

El volumen del sólido de revolución generado es exactamente $ \frac{\pi^2}{2} \approx 4.9348 $

📝 Ejemplo 2 Calcular por el método de arandelas el volumen generado al girar alrededor del eje $ OX $ la región plana comprendida entre las curvas:

$$ y = \sqrt{x} \quad \text{y} \quad y = x^2 $$

👉 PASO 1

Determinamos los puntos de intersección de ambas curvas igualando sus expresiones:

$$ \sqrt{x} = x^2 \implies x = x^4 \implies x(x^3 - 1) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 1 $$

👉 PASO 2

Determinamos cuál de las dos curvas actúa como radio exterior $ R(x) $ y cuál como radio interior $ r(x) $ en el intervalo $ [0, 1] $

Para un punto interior como $ x = \frac{1}{4} $:

$$ y_{\text{raíz}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}, \qquad y_{\text{cuadrado}} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} $$

Como $ \frac{1}{2} > \frac{1}{16} $, la curva exterior es $ R(x) = \sqrt{x} $ y la curva interior es $ r(x) = x^2 $

👉 PASO 3

Planteamos la integral del volumen mediante arandelas:

$$ V = \pi \int_0^1 \left( [R(x)]^2 - [r(x)]^2 \right) dx = \pi \int_0^1 \left( (\sqrt{x})^2 - (x^2)^2 \right) dx $$

$$ V = \pi \int_0^1 (x - x^4) \, dx $$

👉 PASO 4

Integramos directamente y aplicamos la Regla de Barrow:

$$ V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \pi \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) - 0 \right] = \pi \left( \frac{5 - 2}{10} \right) = \frac{3\pi}{10} $$

✅ Conclusión

El volumen del sólido hueco es exactamente $ \frac{3\pi}{10} \approx 0.9425 $

📝 Ejemplo 3 Calcular mediante el método de los casquetes cilíndricos el volumen generado al girar alrededor del eje vertical $ OY $ la región bajo la curva gaussiana:

$$ y = e^{-x^2} \quad \text{en el intervalo } [0, 2] $$

👉 PASO 1

Identificamos que la rotación se produce alrededor del eje vertical $ OY $. Si utilizáramos discos horizontales tendríamos que despejar $ x = \sqrt{-\ln y} $, lo que complicaría innecesariamente la integral.

Aplicamos el método de los casquetes cilíndricos:

$$ V = 2\pi \int_a^b x \cdot y(x) \, dx = 2\pi \int_0^2 x e^{-x^2} \, dx $$

👉 PASO 2

Analizamos el integrando.

La presencia de la variable lineal multiplicativa $ x $ junto a la exponencial $ e^{-x^2} $ permite una integración inmediata mediante la regla de la cadena.

Ajustamos la derivada del exponente ($ \frac{d}{dx}[-x^2] = -2x $):

$$ V = -\pi \int_0^2 (-2x) e^{-x^2} \, dx $$

👉 PASO 3

Obtenemos la primitiva elemental:

$$ V = -\pi \left[ e^{-x^2} \right]_0^2 $$

👉 PASO 4

Evaluamos mediante Barrow en 2 y en 0:

$$ V = -\pi \left( e^{-2^2} - e^0 \right) = -\pi (e^{-4} - 1) = \pi (1 - e^{-4}) $$

Calculamos el valor numérico:

$$ V = \pi \left( 1 - \frac{1}{e^4} \right) \approx \pi (1 - 0.0183) \approx 0.9817\pi \approx 3.0841 $$

✅ Conclusión

El volumen del sólido es exactamente $ \pi(1 - e^{-4}) $

📝 Ejemplo 4 Calcular el volumen de un sólido cuya base es el círculo unidad $ x^2 + y^2 \le 1 $ y cuyas secciones transversales perpendiculares al eje $ OX $ son triángulos equiláteros

👉 PASO 1

Determinamos la geometría de la sección transversal perpendicular al eje $ OX $ para cada abscisa $ x \in [-1, 1] $

La base del triángulo equilátero descansa sobre el plano $ XY $ y abarca la distancia vertical entre la semicircunferencia superior $ y = \sqrt{1 - x^2} $ y la inferior $ y = -\sqrt{1 - x^2} $:

$$ b(x) = y_{\text{sup}} - y_{\text{inf}} = \sqrt{1 - x^2} - (-\sqrt{1 - x^2}) = 2\sqrt{1 - x^2} $$

👉 PASO 2

Recordamos la fórmula del área de un triángulo equilátero de lado $ L $:

$$ A_{\text{equilátero}} = \frac{\sqrt{3}}{4} L^2 $$

Sustituyendo el lado $ L = b(x) = 2\sqrt{1 - x^2} $:

$$ A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 2\sqrt{1 - x^2} \right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4(1 - x^2) = \sqrt{3}(1 - x^2) $$

👉 PASO 3

Planteamos la integral del volumen por secciones transversales integrando en el intervalo $ [-1, 1] $:

$$ V = \int_{-1}^1 A(x) \, dx = \int_{-1}^1 \sqrt{3}(1 - x^2) \, dx = 2\sqrt{3} \int_0^1 (1 - x^2) \, dx $$

👉 PASO 4

Integramos el polinomio y evaluamos por Barrow:

$$ V = 2\sqrt{3} \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 2\sqrt{3} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = 2\sqrt{3} \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{4\sqrt{3}}{3} $$

✅ Conclusión

El volumen del sólido es exactamente $ \frac{4\sqrt{3}}{3} \approx 2.3094 $

📝 Ejemplo 5 Calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por la parábola $ y = x^2 $ y la recta horizontal $ y = 4 $ alrededor de dicha recta $ y = 4 $

👉 PASO 1

Analizamos el eje de rotación.

La recta de rotación no es un eje de coordenadas, sino la recta horizontal no nula $ y = 4 $

Determinamos los puntos de corte entre la parábola y la recta:

$$ x^2 = 4 \implies x = -2, \quad x = 2 $$

El intervalo de integración es $ x \in [-2, 2] $

👉 PASO 2

Determinamos el radio de los discos perpendiculares al eje horizontal $ y = 4 $

La distancia vertical desde el eje de rotación $ y = 4 $ hasta la curva parábola $ y = x^2 $ es el radio del disco:

$$ R(x) = 4 - x^2 $$

Como la región toca el eje de rotación en toda su longitud horizontal, el sólido es macizo y se aplica el método de discos trasladado.

👉 PASO 3

Planteamos la integral del volumen:

$$ V = \pi \int_{-2}^2 [R(x)]^2 \, dx = \pi \int_{-2}^2 (4 - x^2)^2 \, dx $$

Por simetría par de la función respecto al origen:

$$ V = 2\pi \int_0^2 (16 - 8x^2 + x^4) \, dx $$

👉 PASO 4

Integramos término a término y evaluamos mediante Barrow:

$$ V = 2\pi \left[ 16x - \frac{8x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_0^2 $$

Evaluamos en $ x = 2 $:

$$ 16(2) - \frac{8(8)}{3} + \frac{32}{5} = 32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5} $$

Reducimos a común denominador 15:

$$ = \frac{480 - 320 + 96}{15} = \frac{256}{15} $$

Multiplicamos por el factor exterior $ 2\pi $:

$$ V = 2\pi \left( \frac{256}{15} \right) = \frac{512\pi}{15} \approx 107.23 $$

✅ Conclusión

El volumen del sólido engendrado es $ \frac{512\pi}{15} $