8.3 8.3 Cálculo de integrales: la regla de Barrow

ci-8-3-1 8.3 Cálculo de integrales: la regla de Barrow

La Regla de Barrow, a menudo denominada Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, proporciona la herramienta operativa fundamental que permite calcular el valor exacto de una integral definida de Riemann sin necesidad de calcular límites laboriosos de sumas finitas, reduciendo el problema a la determinación de una primitiva elemental.

Enunciado de la Regla de Barrow

Sea $ f: [a, b] \to \mathbb{R} $ una función continua en el intervalo cerrado $ [a, b] $. Si $ G: [a, b] \to \mathbb{R} $ es cualquier función primitiva de $ f $ en dicho intervalo (es decir, $ G'(x) = f(x) $ para todo $ x \in [a, b] $), entonces:

$$ \int_a^b f(x) \, dx = [G(x)]_a^b = G(b) - G(a) $$

Justificación teórica: Según el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, la función integral $ F(x) = \int_a^x f(t) \, dt $ es una primitiva particular de $ f(x) $. Como cualesquiera dos primitivas difieren en una constante, $ G(x) = F(x) + C $

Evaluando en los extremos:

$$ G(a) = F(a) + C = \int_a^a f(t) \, dt + C = 0 + C = C $$

$$ G(b) = F(b) + C = \int_a^b f(t) \, dt + C $$

Restando ambas igualdades:

$$ G(b) - G(a) = \left( \int_a^b f(t) \, dt + C \right) - C = \int_a^b f(t) \, dt $$

lo que prueba rigurosamente el resultado.

📝 Ejemplo: básico de la regla de Barrow:

Para calcular $ \int_1^3 3x^2 \, dx $, tomamos como primitiva elemental $ G(x) = x^3 $:

$$ \int_1^3 3x^2 \, dx = [x^3]_1^3 = 3^3 - 1^3 = 27 - 1 = 26 $$

Integración por Partes para Integrales Definidas

Si $ u(x) $ y $ v(x) $ poseen derivadas continuas en $ [a, b] $, la integración por partes adopta la forma con evaluación entre límites:

$$ \int_a^b u(x) v'(x) \, dx = [u(x) v(x)]_a^b - \int_a^b v(x) u'(x) \, dx $$

📝 Ejemplo: de partes definida:

Para calcular $ \int_0^1 x e^x \, dx $:

Tomando $ u = x \implies du = dx $ y $ dv = e^x dx \implies v = e^x $:

$$ \int_0^1 x e^x \, dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx = (1 \cdot e^1 - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e^1 - e^0) = e - e + 1 = 1 $$

Cambio de Variable con Transformación de Límites

Si realizamos el cambio de variable $ x = g(t) $, donde $ g $ tiene derivada continua y mapea el intervalo $ [\alpha, \beta] $ en $ [a, b] $ con $ g(\alpha) = a $ y $ g(\beta) = b $:

$$ \int_a^b f(x) \, dx = \int_\alpha^\beta f(g(t)) \cdot g'(t) \, dt $$

La ventaja crucial de este teorema es que no es necesario deshacer el cambio de variable al final: se evalúa directamente la nueva primitiva entre los nuevos límites transformados $ \alpha $ y $ \beta $

📝 Ejemplo: de cambio de variable definido:

Para calcular $ \int_0^{\sqrt{\pi}} 2x \cos(x^2) \, dx $:

Hacemos el cambio $ u = x^2 \implies du = 2x \, dx $

Transformamos los límites de integración:

- Si $ x = 0 \implies u = 0^2 = 0 $

- Si $$ x = \sqrt{\pi} \implies u = (\sqrt{\pi})^2 = \pi $$

Sustituyendo y evaluando directamente:

$$ \int_0^\pi \cos u \, du = [\sin u]_0^\pi = \sin\pi - \sin 0 = 0 - 0 = 0 $$

A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso:

📝 Ejemplo 1 Calcular mediante cambio de variable directo la integral definida:

$$ I = \int_0^2 \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}} \, dx $$

👉 PASO 1

Elegimos como nueva variable el radicando del denominador:

$$ u = x^2 + 5 \implies du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} $$

👉 PASO 2

Transformamos los límites de integración:

- Límite inferior ($ x = 0 $): $ u = 0^2 + 5 = 5 $

- Límite superior ($ x = 2 $): $ u = 2^2 + 5 = 4 + 5 = 9 $

👉 PASO 3

Reescribimos la integral con los nuevos límites:

$$ I = \int_5^9 \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_5^9 u^{-1/2} \, du $$

👉 PASO 4

Aplicamos la regla de la potencia elemental:

$$ I = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{1/2}}{1/2} \right]_5^9 = \left[ \sqrt{u} \right]_5^9 $$

Evaluamos mediante la Regla de Barrow en 9 y 5:

$$ I = \sqrt{9} - \sqrt{5} = 3 - \sqrt{5} $$

✅ Conclusión

La integral definida vale exactamente $ 3 - \sqrt{5} \approx 0.7639 $

📝 Ejemplo 2 Calcular por integración por partes la integral definida del producto arco tangente por la variable:

$$ I = \int_0^1 x \arctan x \, dx $$

👉 PASO 1

Aplicamos integración por partes asignando según la regla ALPES:

- $$ u = \arctan x \implies du = \frac{1}{1 + x^2} \, dx $$

- $ dv = x \, dx \implies v = \frac{x^2}{2} $

👉 PASO 2

Escribimos la fórmula de integración por partes definida:

$$ I = \left[ \frac{x^2}{2}\arctan x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2} \frac{1}{1 + x^2} \, dx $$

👉 PASO 3

Evaluamos el término integrado entre 0 y 1:

$$ \left[ \frac{x^2}{2}\arctan x \right]_0^1 = \left( \frac{1^2}{2}\arctan(1) \right) - \left( 0 \right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{8} $$

👉 PASO 4

Calculamos la integral restante sumando y restando 1 en el numerador:

$$ \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2}{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{(x^2 + 1) - 1}{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \left( 1 - \frac{1}{1 + x^2} \right) dx $$

Integramos y evaluamos mediante Barrow:

$$ = \frac{1}{2} \left[ x - \arctan x \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left[ (1 - \arctan 1) - (0 - \arctan 0) \right] = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{8} $$

👉 PASO 5

Restamos ambos términos:

$$ I = \frac{\pi}{8} - \left( \frac{1}{2} - \frac{\pi}{8} \right) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} - \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = \frac{\pi - 2}{4} $$

✅ Conclusión

La integral definida vale $ \frac{\pi - 2}{4} $

📝 Ejemplo 3 Calcular la integral definida de la función racional mediante descomposición en fracciones simples:

$$ I = \int_2^3 \frac{x + 7}{x^2 - 1} \, dx $$

👉 PASO 1

Factorizamos el denominador $ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $ y planteamos la descomposición:

$$ \frac{x + 7}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} \implies x + 7 = A(x + 1) + B(x - 1) $$

👉 PASO 2

Hallamos los coeficientes:

- Para $$ x = 1 \implies 1 + 7 = A(2) \implies 8 = 2A \implies A = 4 $$

- Para $$ x = -1 \implies -1 + 7 = B(-2) \implies 6 = -2B \implies B = -3 $$

👉 PASO 3

Reescribimos la integral e integramos en términos de logaritmos:

$$ I = \int_2^3 \left( \frac{4}{x - 1} - \frac{3}{x + 1} \right) dx = \left[ 4\ln|x - 1| - 3\ln|x + 1| \right]_2^3 $$

👉 PASO 4

Aplicamos la Regla de Barrow evaluando en 3 y en 2:

- En $ x = 3 $:

$$ 4\ln(2) - 3\ln(4) = 4\ln 2 - 3\ln(2^2) = 4\ln 2 - 6\ln 2 = -2\ln 2 $$

- En $ x = 2 $:

$$ 4\ln(1) - 3\ln(3) = 0 - 3\ln 3 = -3\ln 3 $$

Restando los dos resultados:

$$ I = (-2\ln 2) - (-3\ln 3) = 3\ln 3 - 2\ln 2 = \ln(3^3) - \ln(2^2) = \ln\left(\frac{27}{4}\right) $$

✅ Conclusión

La integral definida vale exactamente $$ \ln\left(\frac{27}{4}\right) = 3\ln 3 - 2\ln 2 $$

📝 Ejemplo 4 Calcular por sustitución trigonométrica la integral definida que representa el área de un círculo:

$$ I = \int_0^2 \sqrt{4 - x^2} \, dx $$

👉 PASO 1

Proponemos el cambio de variable trigonométrico $$ x = 2\sin\theta \implies dx = 2\cos\theta \, d\theta $$

👉 PASO 2

Determinamos los nuevos límites de integración:

- Si $$ x = 0 \implies 2\sin\theta = 0 \implies \theta = 0 $$

- Si $$ x = 2 \implies 2\sin\theta = 2 \implies \sin\theta = 1 \implies \theta = \frac{\pi}{2} $$

👉 PASO 3

Simplificamos el radical con la identidad pitagórica:

$$ \sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = \sqrt{4\cos^2\theta} = 2\cos\theta $$

👉 PASO 4

Sustituimos en la integral definida con los nuevos límites:

$$ I = \int_0^{\pi/2} (2\cos\theta) \cdot (2\cos\theta \, d\theta) = 4 \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta \, d\theta $$

Utilizamos la fórmula del ángulo doble $ \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $:

$$ I = 4 \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = 2 \int_0^{\pi/2} (1 + \cos(2\theta)) \, d\theta $$

👉 PASO 5

Integramos y evaluamos mediante Barrow:

$$ I = 2 \left[ \theta + \frac{\sin(2\theta)}{2} \right]_0^{\pi/2} = 2 \left[ \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\sin(\pi)}{2} \right) - \left( 0 + \frac{\sin(0)}{2} \right) \right] $$

Como $ \sin\pi = 0 $ y $ \sin 0 = 0 $:

$$ I = 2 \left( \frac{\pi}{2} + 0 - 0 \right) = \pi $$

✅ Conclusión

La integral definida vale $ \pi $, lo que coincide exactamente con el área del cuadrante de un círculo de radio $ R = 2 $ ($ \frac{\pi R^2}{4} = \frac{\pi(4)}{4} = \pi $).

📝 Ejemplo 5 Calcular la integral definida del logaritmo al cuadrado:

$$ I = \int_1^e (\ln x)^2 \, dx $$

👉 PASO 1

Aplicamos por primera vez la integración por partes:

- $$ u = (\ln x)^2 \implies du = 2\ln x \cdot \frac{1}{x} \, dx $$

- $ dv = dx \implies v = x $

👉 PASO 2

Escribimos la fórmula de partes:

$$ I = \left[ x(\ln x)^2 \right]_1^e - \int_1^e x \cdot \left( \frac{2\ln x}{x} \right) dx = \left[ x(\ln x)^2 \right]_1^e - 2 \int_1^e \ln x \, dx $$

👉 PASO 3

Evaluamos el término integrado:

$$ \left[ x(\ln x)^2 \right]_1^e = e(\ln e)^2 - 1(\ln 1)^2 = e(1)^2 - 1(0)^2 = e $$

👉 PASO 4

Integramos por partes la segunda integral $ \int_1^e \ln x \, dx $:

- $ u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} \, dx $

- $ dv = dx \implies v = x $

$$ \int_1^e \ln x \, dx = [x\ln x]_1^e - \int_1^e x \left(\frac{1}{x}\right) dx = [x\ln x - x]_1^e $$

Evaluando en $ e $ y $ 1 $:

$$ (e\ln e - e) - (1\ln 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 0 - (-1) = 1 $$

👉 PASO 5

Sustituimos el valor en la expresión completa de $ I $:

$$ I = e - 2(1) = e - 2 $$

✅ Conclusión

El valor exacto de la integral definida es $ e - 2 \approx 0.7183 $