6.2 6.2.4 Sumación de algunos tipos de series

ci-6-2-4 6.2.4 Sumación de algunos tipos de series

Una de las aplicaciones más hermosas y prácticas de la teoría de series de potencias es el cálculo de la suma exacta de series numéricas complejas:

$$ S = \sum_{n=0}^\infty c_n $$

El método analítico general consiste en:

1. Reconocer la serie numérica como la evaluación en un punto particular $ x = x_0 $ de una serie de potencias funcional:

$$ S(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \implies S = S(x_0) $$

2. Calcular la función suma cerrada $ S(x) $ manipulando series conocidas (geométrica, exponencial, logarítmica, trigonométrica) mediante operaciones de:

- Multiplicación o división por potencias de $ x $

- Derivación término a término (introduce coeficientes multiplicativos polinómicos $ n, n^2, n(n-1) $ en el numerador).

- Integración término a término (introduce divisores del tipo $ \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1} $ en el denominador).

Evaluar la función resultante en el valor numérico concreto $$ x_0 $$

4. Si el punto de evaluación se encuentra en la frontera del intervalo de convergencia ($ x_0 = \pm R $), el Teorema de Abel garantiza que si la serie numérica converge, su suma es el límite continuo de la función suma:

$$ \sum_{n=0}^\infty a_n R^n = \lim_{x \to R^-} S(x) $$

📝 Ejemplo: de sumación por derivación: Calcular la suma de la serie aritmético-geométrica $ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} $

Consideramos la serie de potencias $ f(x) = \sum_{n=1}^\infty n x^n $

Como vimos en la sección anterior, derivando la serie geométrica $ \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1 - x} $:

$$ \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \frac{1}{(1 - x)^2} \implies f(x) = \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2} \quad (|x| < 1) $$

Evaluando en el punto $ x = \frac{1}{2} < 1 $:

$$ S = f(1/2) = \frac{1/2}{(1 - 1/2)^2} = \frac{1/2}{(1/2)^2} = \frac{1/2}{1/4} = 2 $$

¡La suma infinita vale exactamente 2!

A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso:

📝 Ejemplo 1 Calcular la suma exacta de la serie numérica cuadrática aritmético-geométrica:

$$ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3^n} $$

👉 PASO 1

Asociamos la serie a la función de potencias $ f(x) = \sum_{n=1}^\infty n^2 x^n $ con $ x = 1/3 $

👉 PASO 2

Descomponemos el coeficiente cuadrático en términos factoriales descendentes:

$$ n^2 = n(n - 1) + n $$

Por tanto:

$$ f(x) = \sum_{n=1}^\infty [n(n - 1) + n] x^n = \sum_{n=2}^\infty n(n - 1) x^n + \sum_{n=1}^\infty n x^n $$

👉 PASO 3

Calculamos la primera componente $ \sum_{n=2}^\infty n(n - 1) x^n $:

Derivando dos veces la serie geométrica $ \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1 - x} $:

- Primera derivada: $$ \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \frac{1}{(1 - x)^2} $$

- Segunda derivada: $$ \sum_{n=2}^\infty n(n - 1) x^{n-2} = \frac{2}{(1 - x)^3} $$

Multiplicamos por $ x^2 $:

$$ \sum_{n=2}^\infty n(n - 1) x^n = \frac{2x^2}{(1 - x)^3} $$

👉 PASO 4

Sumamos ambas componentes recordando que $$ \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2} = \frac{x(1 - x)}{(1 - x)^3} $$:

$$ f(x) = \frac{2x^2}{(1 - x)^3} + \frac{x(1 - x)}{(1 - x)^3} = \frac{2x^2 + x - x^2}{(1 - x)^3} = \frac{x^2 + x}{(1 - x)^3} = \frac{x(x + 1)}{(1 - x)^3} $$

👉 PASO 5

Evaluamos la función suma en $ x = \frac{1}{3} $:

- Numerador: $$ \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3} + 1\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{9} $$

- Denominador: $$ \left(1 - \frac{1}{3}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} $$

Por tanto:

$$ S = f(1/3) = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{8}{27}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{27}{8} = \frac{4 \cdot 27}{9 \cdot 8} = \frac{3}{2} = 1.5 $$

✅ Conclusión

La suma exacta de la serie es $ S = \frac{3}{2} = 1.5 $

📝 Ejemplo 2 Calcular la suma exacta de la serie armónica alternada utilizando el Teorema de Abel:

$$ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \dots $$

👉 PASO 1

Asociamos la serie a la serie de potencias funcional:

$$ f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n \quad \text{para } |x| < 1 $$

👉 PASO 2

Derivamos término a término respecto a $ x $:

$$ f'(x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} x^{n-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots = \frac{1}{1 - (-x)} = \frac{1}{1 + x} $$

👉 PASO 3

Integramos la derivada con la condición $ f(0) = 0 $:

$$ f(x) = \int_0^x \frac{1}{1 + t} dt = \ln(1 + x) \quad \forall x \in (-1, 1) $$

👉 PASO 4

Aplicamos el Teorema de Abel en el extremo $ x = 1 $:

Como la serie numérica $ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} $ converge por el Criterio de Leibniz, el Teorema de Abel garantiza que su suma es igual al límite lateral por la izquierda de la función suma:

$$ S = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \ln(1 + x) = \ln(1 + 1) = \ln(2) $$

✅ Conclusión

La suma exacta de la serie armónica alternada es $ S = \ln(2) \approx 0.69315 $

📝 Ejemplo 3 Calcular la célebre fórmula de Leibniz para el número $ \pi $ sumando la serie:

$$ S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n + 1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dots $$

👉 PASO 1

Consideramos la serie de potencias funcional:

$$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n+1} \quad (|x| < 1) $$

👉 PASO 2

Derivamos término a término:

$$ f'(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots = \frac{1}{1 - (-x^2)} = \frac{1}{1 + x^2} $$

👉 PASO 3

Integramos con $ f(0) = 0 $:

$$ f(x) = \int_0^x \frac{1}{1 + t^2} dt = \arctan(x) \quad (|x| < 1) $$

👉 PASO 4

Aplicamos el Teorema de Abel en el extremo $ x = 1 $:

Como la serie numérica converge por Leibniz, su suma es:

$$ S = \lim_{x \to 1^-} \arctan(x) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} $$

✅ Conclusión

La suma de la serie es $ S = \frac{\pi}{4} $, lo que proporciona la célebre fórmula histórica: $$ \pi = 4 \left( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots \right) $$

📝 Ejemplo 4 Calcular la suma exacta de la serie con denominadores factoriales:

$$ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 + 1}{n!} $$

👉 PASO 1

Descomponemos el numerador en términos factoriales:

$$ n^2 + 1 = n(n - 1) + n + 1 $$

👉 PASO 2

Separamos la serie en tres sumatorios independientes:

$$ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{n(n - 1)}{n!} + \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n!} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} $$

👉 PASO 3

Simplificamos los factoriales en cada sumando:

- Para el primer sumando (empieza en $ n = 2 $):

$$ \sum_{n=2}^\infty \frac{n(n - 1)}{n!} = \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n - 2)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = e $$

- Para el segundo sumando:

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n - 1)!} = \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{j!} = e $$

- Para el tercer sumando:

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} - \frac{1}{0!} = e - 1 $$

👉 PASO 4

Sumamos los tres resultados:

$$ S = e + e + (e - 1) = 3e - 1 $$

👉 PASO 5

Evaluamos numéricamente con $ e \approx 2.71828 $:

$$ S = 3(2.71828) - 1 = 8.15484 - 1 = 7.15484 $$

✅ Conclusión

La suma exacta de la serie es el número trascendente $ S = 3e - 1 \approx 7.1548 $

📝 Ejemplo 5 Calcular la suma exacta de la serie de fracciones telescópico-logarítmica:

$$ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(2n + 1)} $$

👉 PASO 1

Multiplicamos y dividimos por 2 para homogeneizar el término:

$$ S = 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n(2n + 1)} $$

👉 PASO 2

Descomponemos en fracciones simples:

$$ \frac{1}{2n(2n + 1)} = \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n + 1} $$

Por tanto:

$$ S = 2 \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n + 1} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \dots \right) $$

👉 PASO 3

Reconocemos la serie entre paréntesis como la serie armónica alternada comenzando en el segundo término:

Recordamos que:

$$ \ln(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \dots = 1 - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots \right) $$

Despejando el paréntesis:

$$ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots = 1 - \ln(2) $$

👉 PASO 4

Sustituimos este valor en la expresión de $ S $:

$$ S = 2(1 - \ln 2) = 2 - 2\ln(2) = 2 - \ln(4) \approx 2 - 1.38629 = 0.6137 $$

✅ Conclusión

La suma exacta de la serie es $$ S = 2 - 2\ln(2) = 2(1 - \ln 2) \approx 0.6137 $$