5.2.1 Derivadas de funciones elementales
ci-5-2-1 5.2.1 Derivadas de funciones elementales La derivación de funciones elementales se fundamenta en las reglas operativas del álgebra lineal de operadores diferenciales. Dadas dos funciones derivables \(u(x)\) y \(v(x)\) y una constante real \(c \in \mathbb{R}\): 1. Linealidad: \((c \cdot u)' = c \cdot u', \qquad (u \pm v)' = u' \pm v'\) 2. Regla del producto: \((u \cdot v)' = u' v + u v'\) 3. Regla del cociente: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2} \quad (v(x) \ne 0)\) Ejemplo de regla del producto y cociente: Para derivar \(f(x) = \frac{x^2 \sin(x)}{e^x}\), derivamos primero el numerador por la regla del producto: \((x^2 \sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x\). Aplicando la regla del cociente: \(f'(x) = \frac{(2x \sin x + x^2 \cos x)e^x - (x^2 \sin x)e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(2x \sin x + x^2 \cos x - x^2 \sin x)}{e^{2x}} = \frac{2x \sin x + x^2 \cos x - x^2 \sin x}{e^x}\) Tabla de derivadas inmediatas y compuestas mediante la Regla de la Cadena \([f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\): 1. Potencial: \((u^\alpha)' = \alpha u^{\alpha - 1} u' \quad (\alpha \in \mathbb{R})\) 2. Exponencial: \((e^u)' = e^u u', \qquad (a^u)' = a^u \ln(a) u' \quad (a > 0)\) 3. Logarítmica: \((\ln u)' = \frac{u'}{u}, \qquad (\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}\) 4. Trigonométricas circulares: \((\sin u)' = \cos(u) u', \qquad (\cos u)' = -\sin(u) u'\) \((\tan u)' = (1 + \tan^2 u) u' = \sec^2(u) u' = \frac{u'}{\cos^2 u}\) 5. Trigonométricas inversas: \((\arcsin u)' = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}, \qquad (\arccos u)' = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}\) \((\arctan u)' = \frac{u'}{1 + u^2}\) 6. Hiperbólicas directas e inversas: \((\sinh u)' = \cosh(u) u', \qquad (\cosh u)' = \sinh(u) u', \qquad (\tanh u)' = \operatorname{sech}^2(u) u' = \frac{u'}{\cosh^2 u}\) \((\operatorname{argsinh} u)' = \frac{u'}{\sqrt{u^2 + 1}}, \qquad (\operatorname{argcosh} u)' = \frac{u'}{\sqrt{u^2 - 1}}, \qquad (\operatorname{argtanh} u)' = \frac{u'}{1 - u^2}\) Ejemplo de regla de la cadena: Para calcular la derivada de \(y = \ln(\sin(3x^2 + 1))\), identificamos las capas de composición: \(y' = \frac{1}{\sin(3x^2 + 1)} \cdot \cos(3x^2 + 1) \cdot (6x) = 6x \cot(3x^2 + 1)\) A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso: \(\text{Ejemplo 1}\) Calcular y simplificar al máximo la derivada de la función con arcotangente y fracciones algebraicas: \(f(x) = \arctan\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) \quad \text{para } |x| \ne 1\)
Identificamos la función como una composición de la forma \(f(x) = \arctan(u(x))\) con el argumento:
Por la regla de la cadena, la derivada del arcotangente es:
Calculamos la derivada del argumento \(u'(x)\) mediante la regla del cociente:
Desarrollamos el denominador \(1 + [u(x)]^2\) sumando las fracciones con común denominador:
Desarrollamos el numerador aplicando el binomio:
Por tanto:
Sustituimos ambas expresiones en la fórmula de la derivada:
La derivada simplificada es \(f'(x) = \frac{2}{1 + x^2}\) (resultado coherente con la identidad trigonométrica \(\arctan\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) = 2\arctan(x)\)).
Aplicamos la regla de la derivada del logaritmo neperiano \((\ln u)' = \frac{u'}{u}\) donde el argumento es:
Calculamos la derivada del argumento \(u'(x)\) derivando cada término:
- La derivada de \(x\) es 1. - Para el radical \(\sqrt{x^2 - a^2} = (x^2 - a^2)^{1/2}\):
Por tanto:
Sustituimos \(u'(x)\) y \(u(x)\) en el cociente:
Cancelamos el factor común no nulo \((x + \sqrt{x^2 - a^2})\) en numerador y denominador:
La derivada es exactamente \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\)
Aplicamos la regla del cociente:
Calculamos la derivada del numerador mediante la regla de la cadena para la potencia:
Calculamos la derivada del denominador:
Sustituimos ambas derivadas en la fórmula:
Factorizamos el término común \(2\sin^2(2x)\) en el numerador:
La derivada es \(f'(x) = \frac{2\sin^2(2x)[3\cos(2x)\cos(4x) + 2\sin(2x)\sin(4x)]}{\cos^2(4x)}\)
Derivamos término a término utilizando la regla de la cadena. Sea \(u = \frac{x}{2} \implies u' = \frac{1}{2}\)
Para el primer término:
Para el segundo término, aplicamos la regla de la potencia compuesta:
Sumamos ambos términos y extraemos factor común \(\frac{1}{2}\operatorname{sech}^2(x/2)\):
Alternativamente, expresando en términos exponenciales o del coseno hiperbólico:
La derivada es \(f'(x) = \frac{1}{2}\operatorname{sech}^2(x/2)[1 + \tanh^2(x/2)]\)
Sea el argumento \(u(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\)
La derivada del arcoseno compuesto es:
Calculamos el denominador \(\sqrt{1 - u^2}\):
Tomando la raíz cuadrada:
Calculamos la derivada del cociente \(u'(x)\):
Sustituimos ambas expresiones en la derivada de \(f(x)\):
Observamos que la derivada obtenida \(f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}\) es idéntica a la derivada de la función arcotangente \((\arctan x)'\)
Como \(f(0) = \arcsin(0) = 0\) y \(\arctan(0) = 0\), se concluye que:
La derivada es \(f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}\), lo que demuestra la identidad trascendente \(\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right) = \arctan(x)\)