4.2 4.2.5 Funciones inversas trigonométricas

ci-4-2-5 4.2.5 Funciones inversas trigonométricas

Las funciones trigonométricas directas son periódicas y, por tanto, no son inyectivas en toda la recta real $ \mathbb{R} $. Para definir sus correspondientes funciones inversas es imprescindible restringir sus dominios a intervalos fundamentales donde sean estrictamente monótonas:

1. Función Arcoseno: La función seno es estrictamente creciente y biyectiva en el intervalo $ [-\pi/2, \pi/2] $ sobre $ [-1, 1] $. Su inversa es la función arcoseno:

$$ y = \arcsin(x) \iff \sin(y) = x \quad \text{con } x \in [-1, 1], \; y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $$

Su dominio es $ \operatorname{Dom}(\arcsin) = [-1, 1] $ y su imagen es $ \operatorname{Im}(\arcsin) = [-\pi/2, \pi/2] $. Es una función impar: $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $

📝 Ejemplo: de arcoseno: Calculamos $ \arcsin(1/2) $. Buscamos el ángulo $ y \in [-\pi/2, \pi/2] $ cuyo seno vale $ 1/2 $. El único ángulo admisible es $ y = \frac{\pi}{6} $. Para un argumento negativo, $$ \arcsin(-\sqrt{3}/2) = -\arcsin(\sqrt{3}/2) = -\frac{\pi}{3} $$

2. Función Arcocoseno: La función coseno es estrictamente decreciente y biyectiva en el intervalo $ [0, \pi] $ sobre $ [-1, 1] $. Su función inversa es el arcocoseno:

$$ y = \arccos(x) \iff \cos(y) = x \quad \text{con } x \in [-1, 1], \; y \in [0, \pi] $$

Su dominio es $ \operatorname{Dom}(\arccos) = [-1, 1] $ y su imagen es $ \operatorname{Im}(\arccos) = [0, \pi] $. Satisface la relación de simetría $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $

📝 Ejemplo: de arcocoseno: Calculamos $ \arccos(-1/2) $. Como el coseno es negativo en el segundo cuadrante, $$ \arccos(-1/2) = \pi - \arccos(1/2) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $$

3. Función Arcotangente: La función tangente es estrictamente creciente y biyectiva en el intervalo abierto $ (-\pi/2, \pi/2) $ sobre todo $ \mathbb{R} $. Su inversa es el arcotangente:

$$ y = \arctan(x) \iff \tan(y) = x \quad \text{con } x \in \mathbb{R}, \; y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $$

Su dominio es todo el conjunto de los números reales $ \operatorname{Dom}(\arctan) = \mathbb{R} $ y su imagen está acotada en el intervalo abierto $ \operatorname{Im}(\arctan) = (-\pi/2, \pi/2) $. Posee dos asíntotas horizontales: $ y = \pi/2 $ cuando $ x \to +\infty $ y $ y = -\pi/2 $ cuando $ x \to -\infty $. Es una función estrictamente impar: $ \arctan(-x) = -\arctan(x) $

📝 Ejemplo: de arcotangente: Evaluamos $ \arctan(1) = \frac{\pi}{4} $, $ \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} $ y $ \arctan(-1/\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{6} $

Entre las identidades fundamentales más relevantes destaca la relación de ángulos complementarios entre el arcoseno y el arcocoseno:

$$ \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} \quad \forall x \in [-1, 1] $$

y para la función arcotangente:

$$ \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \begin{cases} \frac{\pi}{2} & \text{si } x > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & \text{si } x < 0 \end{cases} $$

📝 Ejemplo: de identidad complementaria:

Para $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \arcsin(\sqrt{2}/2) = \frac{\pi}{4} $ y $ \arccos(\sqrt{2}/2) = \frac{\pi}{4} $, cuya suma es $$ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $$

A continuación resolvemos cinco problemas prácticos avanzados con desglose minucioso:

📝 Ejemplo 1 Determinar el dominio natural exacto de la función combinada con arcoseno:

$$ f(x) = \arcsin\left(\frac{2x - 3}{x + 1}\right) $$

👉 PASO 1

La función arcoseno exige que su argumento se encuentre confinado en el intervalo cerrado $ [-1, 1] $, con la condición adicional de que el denominador no se anule ($ x \ne -1 $):

$$ -1 \le \frac{2x - 3}{x + 1} \le 1 $$

Esto equivale al sistema simultáneo de dos inecuaciones racionales.

👉 PASO 2

Resolvemos la primera inecuación $ \frac{2x - 3}{x + 1} \ge -1 $:

$$ \frac{2x - 3}{x + 1} + 1 \ge 0 \implies \frac{(2x - 3) + (x + 1)}{x + 1} \ge 0 \implies \frac{3x - 2}{x + 1} \ge 0 $$

Las raíces son $ x = 2/3 $ y el polo es $ x = -1 $. Analizando signos:

$$ x \in (-\infty, -1) \cup \left[\frac{2}{3}, +\infty\right) $$

👉 PASO 3

Resolvemos la segunda inecuación $ \frac{2x - 3}{x + 1} \le 1 $:

$$ \frac{2x - 3}{x + 1} - 1 \le 0 \implies \frac{(2x - 3) - (x + 1)}{x + 1} \le 0 \implies \frac{x - 4}{x + 1} \le 0 $$

Las raíces son $ x = 4 $ y el polo es $ x = -1 $. El cociente es no positivo entre ambos valores:

$$ x \in (-1, 4] $$

👉 PASO 4

Intersecamos los conjuntos de soluciones obtenidos en ambos pasos:

$$ \operatorname{Dom}(f) = \left( (-\infty, -1) \cup \left[\frac{2}{3}, +\infty\right) \right) \cap (-1, 4] = \left[\frac{2}{3}, 4\right] $$

✅ Conclusión

El dominio natural de la función es el intervalo cerrado $$ \operatorname{Dom}(f) = \left[\frac{2}{3}, 4\right] $$

📝 Ejemplo 2 Calcular el valor numérico exacto de la composición trigonométrica sin calculadora:

$$ E = \cos\left( 2 \arcsin\left(\frac{3}{5}\right) \right) $$

👉 PASO 1

Definimos el ángulo auxiliar $ \theta = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right) $

Por definición de arcoseno, esto equivale a:

$$ \sin(\theta) = \frac{3}{5} \quad \text{con } \theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $$

👉 PASO 2

La expresión que debemos calcular es el coseno del ángulo doble $ 2\theta $:

$$ E = \cos(2\theta) $$

👉 PASO 3

Utilizamos la identidad trigonométrica del coseno del ángulo doble en términos exclusivamente del seno:

$$ \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta) $$

👉 PASO 4

Sustituimos el valor conocido $ \sin(\theta) = \frac{3}{5} $:

$$ E = 1 - 2\left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - 2\left(\frac{9}{25}\right) = 1 - \frac{18}{25} = \frac{25 - 18}{25} = \frac{7}{25} $$

✅ Conclusión

El valor exacto es la fracción irreducible $ E = \frac{7}{25} = 0.28 $

📝 Ejemplo 3 Demostrar la célebre fórmula de Machin utilizada históricamente para el cálculo de alta precisión del número $ \pi $:

$$ \frac{\pi}{4} = 4 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) $$

👉 PASO 1

Sea $ \alpha = \arctan\left(\frac{1}{5}\right) $, de modo que $ \tan(\alpha) = \frac{1}{5} $

Calculamos la tangente del ángulo doble $ 2\alpha $ mediante la fórmula de la tangente del ángulo doble:

$$ \tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)} = \frac{2(1/5)}{1 - (1/5)^2} = \frac{2/5}{1 - 1/25} = \frac{2/5}{24/25} = \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{24} = \frac{5}{12} $$

👉 PASO 2

Calculamos ahora la tangente del ángulo cuádruple $ 4\alpha = 2(2\alpha) $:

$$ \tan(4\alpha) = \frac{2\tan(2\alpha)}{1 - \tan^2(2\alpha)} = \frac{2(5/12)}{1 - (5/12)^2} = \frac{10/12}{1 - 25/144} = \frac{5/6}{119/144} = \frac{5}{6} \cdot \frac{144}{119} = \frac{5 \cdot 24}{119} = \frac{120}{119} $$

👉 PASO 3

Definimos ahora la resta angular $ \beta = 4\alpha - \frac{\pi}{4} $ y calculamos su tangente mediante la fórmula de la diferencia de ángulos:

$$ \tan(\beta) = \tan\left(4\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan(4\alpha) - \tan(\pi/4)}{1 + \tan(4\alpha)\tan(\pi/4)} $$

Sabiendo que $ \tan(\pi/4) = 1 $ y $ \tan(4\alpha) = \frac{120}{119} $:

$$ \tan(\beta) = \frac{\frac{120}{119} - 1}{1 + \frac{120}{119}(1)} = \frac{\frac{120 - 119}{119}}{\frac{119 + 120}{119}} = \frac{1/119}{239/119} = \frac{1}{239} $$

👉 PASO 4

Tomando el arcotangente a ambos lados:

$$ \beta = \arctan\left(\frac{1}{239}\right) \implies 4\alpha - \frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{239}\right) $$

Despejando $ \frac{\pi}{4} $ y sustituyendo $ \alpha = \arctan(1/5) $:

$$ \frac{\pi}{4} = 4\arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right) $$

✅ Conclusión

La fórmula de Machin queda demostrada de manera rigurosa y exacta.

📝 Ejemplo 4 Simplificar algebraicamente la expresión general eliminando todas las funciones trigonométricas:

$$ f(x) = \sin(2 \arccos(x)) \quad \text{para } x \in [-1, 1] $$

👉 PASO 1

Sea $ \theta = \arccos(x) $

Por definición de la rama principal del arcocoseno:

$$ \cos(\theta) = x \quad \text{con } \theta \in [0, \pi] $$

👉 PASO 2

La función a simplificar es:

$$ f(x) = \sin(2\theta) $$

Aplicamos la identidad del seno del ángulo doble:

$$ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) $$

👉 PASO 3

Sabemos que $ \cos(\theta) = x $. Para expresar $ \sin(\theta) $, utilizamos la identidad fundamental $$ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \implies \sin(\theta) = \pm \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} = \pm \sqrt{1 - x^2} $$

👉 PASO 4

Determinamos el signo unívoco observando que como $ \theta \in [0, \pi] $, el ángulo pertenece al primer o segundo cuadrante, donde la función seno es siempre estrictamente no negativa ($ \sin(\theta) \ge 0 $).

Por tanto, debemos elegir obligatoriamente el signo positivo:

$$ \sin(\theta) = +\sqrt{1 - x^2} $$

👉 PASO 5

Sustituimos ambas expresiones en la fórmula del ángulo doble:

$$ f(x) = 2\left(\sqrt{1 - x^2}\right)(x) = 2x\sqrt{1 - x^2} $$

✅ Conclusión

La expresión simplificada es puramente algebraica: $ f(x) = 2x\sqrt{1 - x^2} $ para todo $ x \in [-1, 1] $

📝 Ejemplo 5 Resolver la ecuación con funciones arco inversas:

$$ \arcsin(x) - \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $$

👉 PASO 1

Identificamos las restricciones de existencia:

- Para $ \arcsin(x) $: $ |x| \le 1 \implies x \in [-1, 1] $

- Para $ \arcsin(x/2) $: $ |x/2| \le 1 \implies |x| \le 2 $

La región admisible común es $ x \in [-1, 1] $

👉 PASO 2

Aislamos uno de los términos arcoseno:

$$ \arcsin(x) = \frac{\pi}{6} + \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) $$

👉 PASO 3

Tomamos el seno en ambos miembros de la ecuación:

$$ \sin(\arcsin(x)) = \sin\left( \frac{\pi}{6} + \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) \right) $$

El miembro izquierdo se cancela directamente: $ \sin(\arcsin(x)) = x $

👉 PASO 4

Desarrollamos el miembro derecho utilizando la fórmula del seno de la suma $$ \sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B) $$ con $ A = \frac{\pi}{6} $ y $ B = \arcsin(x/2) $:

$$ \sin(A) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}, \qquad \cos(A) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ \sin(B) = \sin(\arcsin(x/2)) = \frac{x}{2}, \qquad \cos(B) = \cos(\arcsin(x/2)) = \sqrt{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} $$

Sustituyendo:

$$ x = \frac{1}{2} \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} + \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2} \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} + \frac{\sqrt{3}x}{4} $$

👉 PASO 5

Multiplicamos toda la ecuación por 4 para eliminar denominadores:

$$ 4x = 2\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} + \sqrt{3}x \implies (4 - \sqrt{3})x = 2\sqrt{\frac{4 - x^2}{4}} = \sqrt{4 - x^2} $$

👉 PASO 6

Como el miembro derecho es una raíz positiva, requerimos que $ (4 - \sqrt{3})x > 0 \implies x > 0 $. Elevamos al cuadrado:

$$ (4 - \sqrt{3})^2 x^2 = 4 - x^2 $$

Desarrollamos el binomio:

$$ (16 - 8\sqrt{3} + 3)x^2 = 4 - x^2 \implies (19 - 8\sqrt{3})x^2 + x^2 = 4 \implies (20 - 8\sqrt{3})x^2 = 4 $$

Dividiendo entre 4:

$$ (5 - 2\sqrt{3})x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{5 - 2\sqrt{3}} $$

👉 PASO 7

Racionalizamos multiplicando por el conjugado $ 5 + 2\sqrt{3} $:

$$ x^2 = \frac{5 + 2\sqrt{3}}{5^2 - (2\sqrt{3})^2} = \frac{5 + 2\sqrt{3}}{25 - 12} = \frac{5 + 2\sqrt{3}}{13} $$

Tomando la raíz cuadrada positiva ($ x > 0 $):

$$ x = \sqrt{\frac{5 + 2\sqrt{3}}{13}} \approx \sqrt{\frac{5 + 3.4641}{13}} = \sqrt{\frac{8.4641}{13}} \approx \sqrt{0.6511} \approx 0.8069 $$

Como $ 0.8069 \in (0, 1] $, la solución es perfectamente válida.

✅ Conclusión

La única solución real de la ecuación es $ x = \sqrt{\frac{5 + 2\sqrt{3}}{13}} $