4.1 4.1 Definición y propiedades de función
4.1 Definición y propiedades de función
Definición y dominio natural de una función real
Una función real de variable real es una correspondencia o regla \( f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) que asigna a cada elemento \( x \in D \) un único valor real denominado imagen y denotado por \( f(x) \). El conjunto \( D = \operatorname{Dom}(f) \) es el dominio de definición de la función, es decir, el conjunto de valores reales para los cuales la expresión analítica está matemáticamente bien definida.
Consideremos la función racional e irracional \( f(x) = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x - 1} \). Para que la raíz cuadrada exista en los reales requerimos que el radicando sea no negativo: $$ 4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies x \in [-2, 2] $$. Además, el denominador no puede anularse, por lo que \( x - 1 e 0 \implies x e 1 \). En consecuencia, el dominio es \( \operatorname{Dom}(f) = [-2, 1) \cup (1, 2] \)
Conjunto imagen, rango o recorrido
El conjunto imagen, recorrido o rango de una función es el conjunto de todos los valores reales que efectivamente toma la función al variar la variable independiente en todo su dominio:
Para la función cuadrática \( g(x) = x^2 - 4x + 7 \) definida en todo \( \mathbb{R} \), completando cuadrados tenemos \( g(x) = (x - 2)^2 + 3 \). Como \( (x - 2)^2 \ge 0 \) para todo número real, el valor mínimo absoluto de la función es \( 3 \) alcanzado en \( x = 2 \)
Por tanto, el recorrido es \( \operatorname{Im}(g) = [3, +\infty) \)
Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad
La correspondencia entre los elementos del dominio y los del conjunto de llegada se clasifica según las siguientes propiedades esenciales:
- Inyectividad: Una función \( f: D \to \mathbb{R} \) es inyectiva si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas: \( f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 \). Geométricamente, cualquier recta horizontal corta a su gráfica a lo sumo en un punto.
- Sobreyectividad: Una función \( f: D \to B \) es sobreyectiva si todo elemento del conjunto de llegada es imagen de al menos un elemento del dominio (\( \operatorname{Im}(f) = B \)).
- Biyectividad: Una función es biyectiva si es simultáneamente inyectiva y sobreyectiva, estableciendo una correspondencia uno a uno que garantiza la existencia de una función inversa única \( f^{-1}: B \to D \)
La función lineal \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = 2x - 5 \) es inyectiva porque \( 2a - 5 = 2b - 5 \implies a = b \). Para cualquier \( y \in \mathbb{R} \), la ecuación \( y = 2x - 5 \) tiene siempre la solución única \( x = \frac{y + 5}{2} \in \mathbb{R} \), por lo que es sobreyectiva.
Al ser biyectiva, su función inversa es \( f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{2} \)
Álgebra de funciones y composición
Dadas dos funciones reales \( f \) y \( g \), se definen naturalmente las operaciones de suma, producto y cociente en la intersección de sus dominios.
Además, se define la composición de funciones \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \) para todos los puntos tales que \( x \in \operatorname{Dom}(f) \) y \( f(x) \in \operatorname{Dom}(g) \)
Sean \( f(x) = x^2 + 1 \) y \( g(x) = \sqrt{x} \). La función compuesta es \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = \sqrt{x^2 + 1} \), definida en todo \( \mathbb{R} \). En cambio, $$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 + 1 = x + 1 $$, definida únicamente para \( x \ge 0 \). La composición no es conmutativa: \( g \circ f e f \circ g \)
Propiedades cualitativas: paridad, periodicidad y acotación
El análisis gráfico y analítico de funciones se simplifica notablemente mediante el estudio de sus simetrías fundamentales:
- Función Par (simétrica respecto al eje vertical de ordenadas): $$ f(-x) = f(x) \quad \forall x \in \operatorname{Dom}(f) $$
- Función Impar (simétrica respecto al origen de coordenadas): $$ f(-x) = -f(x) \quad \forall x \in \operatorname{Dom}(f) $$
- Función Periódica: Existe una constante \( T > 0 \) tal que $$ f(x + T) = f(x) \quad \forall x \in \operatorname{Dom}(f) $$
- Función Acotada: Existen cotas reales tales que $$ m \le f(x) \le M \quad \forall x \in \operatorname{Dom}(f) $$
La función \( f(x) = x^4 - 3x^2 + 2 \) es par porque $$ f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 2 = x^4 - 3x^2 + 2 = f(x) $$. La función trigonométrica \( g(x) = \sin(x) \) es impar (\( \sin(-x) = -\sin(x) \)), periódica con período fundamental \( T = 2\pi \) y acotada con \( -1 \le \sin(x) \le 1 \)
Para que el logaritmo neperiano esté definido, su argumento debe ser estrictamente positivo:
Además, el denominador no puede anularse, lo que exige \( x \ne 5 \)
Estudiamos el signo del cociente analizando los puntos críticos donde el numerador o el denominador cambian de signo: \( x = -2 \) y \( x = 5 \)
- Para \( x < -2 \): \( x+2 < 0 \) y \( 5-x > 0 \), el cociente es negativo.
- Para \( -2 < x < 5 \): \( x+2 > 0 \) y \( 5-x > 0 \), el cociente es positivo.
- Para \( x > 5 \): \( x+2 > 0 \) y \( 5-x < 0 \), el cociente es negativo.
Por tanto, la desigualdad se cumple estrictamente en el intervalo abierto:
Para calcular la imagen, consideramos la ecuación \( y = \ln\left(\frac{x+2}{5-x}\right) \) y despejamos \( x \):
Como para cualquier número real \( y \in \mathbb{R} \), la expresión \( e^y > 0 \) es estrictamente positiva, el denominador nunca se anula y la solución \( x \) siempre pertenece al intervalo abierto \( (-2, 5) \)
El dominio natural es \( \operatorname{Dom}(f) = (-2, 5) \) y el conjunto imagen es todo el conjunto de los números reales \( \operatorname{Im}(f) = \mathbb{R} \)
Escribimos la relación \( y = f(x) \):
Multiplicamos por el denominador y agrupamos los términos que contienen a \( x \):
Despejamos la variable \( x \) bajo la condición \( y \ne \frac{3}{2} \):
Intercambiamos los nombres de las variables para expresar la función inversa de forma estándar:
Comprobamos la composición evaluando \( f(f^{-1}(x)) \):
La función inversa es \( f^{-1}(x) = \frac{5x + 1}{3 - 2x} \), con dominio \( \mathbb{R} \setminus \{3/2\} \)
Toda función definida sobre un dominio simétrico puede descomponerse unívocamente como la suma de su parte par \( f_p(x) \) y su parte impar \( f_i(x) \) mediante las identidades fundamentales:
Evaluamos la función en el punto opuesto \( -x \):
Calculamos la parte par sumando ambas expresiones y dividiendo entre dos:
Calculamos la parte impar restando las expresiones y dividiendo entre dos:
Verificamos sumando ambas partes:
La parte par es \( f_p(x) = \frac{2x^2 + 7}{x^2 + 1} \) y la parte impar es \( f_i(x) = \frac{x^3 - 4x}{x^2 + 1} \)
Analizamos los dominios de cada función individualmente:
- Para \( f(x) = \sqrt{x-3} \): \( \operatorname{Dom}(f) = [3, +\infty) \). Su imagen es \( [0, +\infty) \)
- Para \( g(x) = \frac{1}{x^2 - 4} \): $$ \operatorname{Dom}(g) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} $$
Hallamos la composición \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \):
Para el dominio requerimos que \( x \in \operatorname{Dom}(f) \implies x \ge 3 \), y que el denominador no se anule: \( x - 7 \ne 0 \implies x \ne 7 \)
Por tanto, $$ \operatorname{Dom}(g \circ f) = [3, 7) \cup (7, +\infty) $$
Hallamos la composición inversa \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \):
Determinamos el dominio de \( f \circ g \) exigiendo que el radicando sea no negativo y \( x^2 \ne 4 \):
Las raíces del numerador son $$ x = \pm \sqrt{\frac{13}{3}} \approx \pm 2.0817 $$, y los polos del denominador son \( x = \pm 2 \)
Analizando signos:
- El numerador es positivo en \( [-\sqrt{13/3}, \sqrt{13/3}] \)
- El denominador es positivo fuera de \( [-2, 2] \), es decir, para \( |x| > 2 \)
El cociente es positivo cuando ambos tienen el mismo signo:
Las funciones compuestas son \( (g \circ f)(x) = \frac{1}{x-7} \) con dominio \( [3, 7) \cup (7, +\infty) \), y $$ (f \circ g)(x) = \sqrt{\frac{13 - 3x^2}{x^2 - 4}} $$ con dominio \( [-\sqrt{13/3}, -2) \cup (2, \sqrt{13/3}] \)
Analizamos la monotonía distinguiendo signos.
- Si \( x \ge 0 \), \( f(x) = \frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x} \). Al aumentar \( x \), el término \( 1+x \) aumenta, luego \( \frac{1}{1+x} \) disminuye, por lo que \( f(x) \) aumenta estrictamente.
- Si \( x < 0 \), \( f(x) = \frac{x}{1-x} = -1 + \frac{1}{1-x} \). Al aumentar \( x \) hacia cero, \( 1-x \) disminuye, luego \( \frac{1}{1-x} \) aumenta, por lo que \( f(x) \) aumenta estrictamente.
Como \( f(0) = 0 \), \( f \) es estrictamente creciente en todo \( \mathbb{R} \). Toda función estrictamente monótona es inyectiva.
Verificamos la acotación observando que para todo \( x \in \mathbb{R} \):
Por tanto, la imagen está contenida en el intervalo abierto \( (-1, 1) \)
Calculamos la función inversa resolviendo \( y = \frac{x}{1 + |x|} \) para cualquier \( y \in (-1, 1) \)
Como \( f(x) \) y \( x \) tienen el mismo signo, el signo de \( x \) coincide con el signo de \( y \), es decir, $$ \operatorname{sgn}(x) = \operatorname{sgn}(y) $$
Podemos escribir la ecuación para el valor absoluto:
Como el signo de \( x \) es el mismo que el de \( y \), multiplicamos por el signo correspondiente para recuperar la variable con signo:
Como esta solución \( x \in \mathbb{R} \) existe y es única para cada \( y \in (-1, 1) \), la función es sobreyectiva sobre \( (-1, 1) \) y por tanto biyectiva.
La función es estrictamente monótona, acotada en \( (-1, 1) \) y biyectiva, con función inversa explícita dada por \( f^{-1}(x) = \frac{x}{1 - |x|} \) para \( x \in (-1, 1) \)