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1.4 1.4.1 Definición y propiedades

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1.4.1 Definición y propiedades de los números complejos

1

La insuficiencia de los reales y la unidad imaginaria

En el cuerpo de los números reales \(R \), el cuadrado de cualquier número real es no negativo (\(x^2 \ge 0 \)).

Por este motivo, ecuaciones algebraicas tan elementales como:

$$x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1 \implies x = \pm \sqrt{-1} $$

carecen por completo de solución en \(R \). Para solventar esta limitación se define la unidad imaginaria, denotada por \(i \), como el ente matemático que satisface:

$$i = \sqrt{-1} \quad \iff \quad i^2 = -1 $$
Ejemplo:

La ecuación \(x^2 + 9 = 0 \) tiene como soluciones complejas $$x = \pm \sqrt{-9} = \pm \sqrt{9} \cdot \sqrt{-1} = \pm 3i $$

2

Forma binómica de un número complejo

El conjunto de los números complejos, denotado por \(C \), se define como el conjunto de todas las expresiones formales de la forma:

$$C = \{a + bi : a, b \in R\} $$

Dado un número complejo \(z = a + bi \in C \):

1

El número real $$a = \text{Re}(z) $$ se denomina parte real de $$z $$

2. El número real \(b = \text{Im}(z) \) se denomina parte imaginaria de \(z \) (nótese que la parte imaginaria es el coeficiente real que multiplica a \(i \), sin incluir la propia letra \(i \)).

Casos Particulares:

1. Si \(b = 0 \implies z = a + 0i = a \in R \). El cuerpo real está contenido en los complejos: \(R \subset C \)

2. Si \(a = 0 \implies z = 0 + bi = bi \)

3. Dos números complejos son iguales si y sólo si coinciden término a término sus partes reales y sus partes imaginarias:

$$a + bi = c + di \iff a = c \quad \text{y} \quad b = d $$
Ejemplo:

Para \(z = 4 - 7i \), \(\text{Re}(z) = 4 \) e \(\text{Im}(z) = -7 \)

3

Ciclo de potencias de la unidad imaginaria

Las potencias enteras de la unidad imaginaria \(i \) se repiten de forma cíclica periódica cada 4 potencias:

$$i^0 = 1 $$
$$i^1 = i $$
$$i^2 = -1 $$
$$i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i $$
$$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1 $$

Para calcular cualquier potencia de exponente entero positivo \(i^n \), dividimos el exponente \(n \) entre 4 mediante la división euclídea: \(n = 4q + r \), donde el resto satisface \(r \in \{0, 1, 2, 3\} \). Entonces:

$$i^n = i^{4q + r} = (i^4)^q \cdot i^r = 1^q \cdot i^r = i^r $$
Ejemplo:

Para calcular \(i^{274} \), dividimos 274 entre 4: \(274 = 4 \cdot 68 + 2 \), con resto \(r = 2 \). Por tanto:

$$i^{274} = i^2 = -1 $$
4

Conjugado y operaciones algebraicas elementales

Conjugado Complejo:

Dado \(z = a + bi \in C \), su conjugado es \(\bar{z} = a - bi \)

Propiedades: inmediatas
$$\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \quad \text{y} \quad \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} $$
$$z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2 \in R $$

Operaciones en Forma Binómica:

1

Suma: $$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $$

2

Resta: $$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $$

3

Producto: Desarrollando distributivamente y aplicando $$i^2 = -1 $$

$$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i $$
4

División (multiplicación por el conjugado del denominador)

Para dividir entre \(c + di \ne 0 \):

$$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2} i $$
Ejemplo: de división:
$$\frac{3 + 2i}{1 - i} = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + 2i + 2i^2}{1^2 + 1^2} = \frac{3 + 5i - 2}{2} = \frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i $$
Ejemplo 1 Cálculo de potencias elevadas y combinaciones de potencias de i

Simplificación analítica de sumas cíclicas de potencias de la unidad imaginaria

Calcular el valor numérico exacto de la expresión compleja:

$$E = i^{2025} + i^{2026} + i^{2027} + i^{2028} + \frac{1}{i^{99}} $$
PASO 1

Reducción módulo 4 de las potencias consecutivas.

Dividimos los exponentes entre 4:

$$2025 = 4 \cdot 506 + 1 \implies i^{2025} = i^1 = i $$
$$2026 = 4 \cdot 506 + 2 \implies i^{2026} = i^2 = -1 $$
$$2027 = 4 \cdot 506 + 3 \implies i^{2027} = i^3 = -i $$
$$2028 = 4 \cdot 507 + 0 \implies i^{2028} = i^0 = 1 $$
PASO 2

Suma de cuatro potencias consecutivas de i.

Sumamos los cuatro términos evaluados:

$$i^{2025} + i^{2026} + i^{2027} + i^{2028} = i + (-1) + (-i) + 1 = (i - i) + (-1 + 1) = 0 $$
Propiedad: general

La suma de cuatro potencias enteras consecutivas cualesquiera de la unidad imaginaria siempre se anula.

PASO 3

Cálculo del término fraccionario residual.

Reducimos el exponente del denominador:

$$99 = 4 \cdot 24 + 3 \implies i^{99} = i^3 = -i $$

Calculamos la fracción multiplicando por el conjugado:

$$\frac{1}{i^{99}} = \frac{1}{-i} = \frac{1 \cdot i}{(-i) \cdot i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{-(-1)} = \frac{i}{1} = i $$

Sumamos el resultado del Paso 2 y del

Paso 3
$$E = 0 + i = i $$
Conclusión

El valor de la expresión compleja simplificada es exactamente \(E = i \)

Ejemplo 2 Determinación de parámetros reales para que un cociente complejo sea imaginario puro

Cálculo analítico imponiendo la anulación estricta de la parte real

Hallar el valor del parámetro real \(k \in R \) para el cual el cociente complejo \(z = \frac{2 + ki}{3 - 4i} \) sea un número imaginario puro.

PASO 1

Transformación del cociente a forma binómica.

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, que es \(3 + 4i \):

$$z = \frac{(2 + ki)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} = \frac{6 + 8i + 3ki + 4ki^2}{3^2 + (-4)^2} $$

Como \(i^2 = -1 \):

$$z = \frac{6 + 8i + 3ki - 4k}{9 + 16} = \frac{(6 - 4k) + (8 + 3k)i}{25} $$
$$z = \frac{6 - 4k}{25} + \left(\frac{8 + 3k}{25}\right)i $$
PASO 2

Identificación de la condición de número imaginario puro.

Un número complejo es imaginario puro si y sólo si su parte real es exactamente nula y su parte imaginaria no se anula:

$$\text{Re}(z) = 0 \quad \text{y} \quad \text{Im}(z) \ne 0 $$
PASO 3

Resolución de la ecuación paramétrica.

Igualamos a cero la parte real:

$$\frac{6 - 4k}{25} = 0 \implies 6 - 4k = 0 \implies 4k = 6 \implies k = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1{,}5 $$

Verificamos que la parte imaginaria no se anule para \(k = \frac{3}{2} \):

$$\text{Im}(z) = \frac{8 + 3\left(\frac{3}{2}\right)}{25} = \frac{8 + \frac{9}{2}}{25} = \frac{\frac{25}{2}}{25} = \frac{1}{2} \ne 0 $$

El complejo resultante es \(z = \frac{1}{2}i \), que es en efecto un imaginario puro.

Conclusión

El único valor real que hace que el cociente sea imaginario puro es \(k = \frac{3}{2} \)

Ejemplo 3 Resolución de un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas complejas

Resolución algebraica mediante eliminación de Gauss con coeficientes complejos

Resolver el sistema de ecuaciones lineales en el cuerpo de los números complejos \(C \):

$$\begin{cases} (1 + i)z_1 + z_2 = 3 + 2i \\ 2z_1 + (1 - i)z_2 = 4 \end{cases} $$
PASO 1

Despeje de la incógnita z2 en la primera ecuación.

De la primera ecuación despejamos directamente \(z_2 \):

$$z_2 = (3 + 2i) - (1 + i)z_1 $$
PASO 2

Sustitución en la segunda ecuación y agrupación de coeficientes.

Sustituimos la expresión de \(z_2 \) en la segunda ecuación:

$$2z_1 + (1 - i)[(3 + 2i) - (1 + i)z_1] = 4 $$

Desarrollamos el producto distributivo:

$$2z_1 + (1 - i)(3 + 2i) - (1 - i)(1 + i)z_1 = 4 $$

Calculamos los productos numéricos:

$$(1 - i)(3 + 2i) = 3 + 2i - 3i - 2i^2 = 3 - i + 2 = 5 - i $$
$$(1 - i)(1 + i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2 $$

Sustituyendo estos valores en la ecuación:

$$2z_1 + (5 - i) - 2z_1 = 4 $$

Observamos que los términos \(2z_1 - 2z_1 = 0 \), obteniendo:

$$5 - i = 4 \implies 5 - 4 = i \implies 1 = i $$
PASO 3

Interpretación de la contradicción algebraica.

La igualdad \(1 = i \) es una contradicción aritmética absoluta, ya que 1 es un número real (\(\text{Im} = 0 \)) e \(i \) es la unidad imaginaria pura (\(\text{Im} = 1 \)).

Esto indica que el determinante de la matriz de coeficientes del sistema es exactamente cero:

$$\det = (1 + i)(1 - i) - (2)(1) = 2 - 2 = 0 $$

Como el sistema es incompatible, no existe ningún par de números complejos que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones.

Conclusión

El sistema de ecuaciones complejas es incompatible y carece por completo de solución en \(C \)

Ejemplo 4 Ecuación cuadrática compleja con coeficientes no reales

Resolución analítica mediante la fórmula general completando cuadrados

Resolver en el cuerpo de los números complejos \(C \) la ecuación cuadrática \(z^2 - (3 + i)z + (4 + 3i) = 0 \)

PASO 1

Cálculo del discriminante complejo.

Identificamos los coeficientes: \(a = 1 \), \(b = -(3 + i) \), \(c = 4 + 3i \)

Calculamos el discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac \):

$$\Delta = [-(3 + i)]^2 - 4(1)(4 + 3i) = (3 + i)^2 - (16 + 12i) $$
$$(3 + i)^2 = 3^2 + 2(3)i + i^2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i $$
$$\Delta = (8 + 6i) - (16 + 12i) = (8 - 16) + (6 - 12)i = -8 - 6i $$
PASO 2

Cálculo de las raíces cuadradas del discriminante.

Buscamos un complejo \(w = u + vi \) con \(u, v \in R \) tal que \(w^2 = -8 - 6i \):

$$u^2 - v^2 + 2uvi = -8 - 6i $$

Igualamos partes reales, partes imaginarias y módulos:

$$u^2 - v^2 = -8 $$
$$2uv = -6 \implies uv = -3 $$
$$|w^2| = u^2 + v^2 = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 $$

Sumando la primera y la tercera ecuación:

$$2u^2 = -8 + 10 = 2 \implies u^2 = 1 \implies u = \pm 1 $$

Restando la primera ecuación de

la tercera:

$$2v^2 = 10 - (-8) = 18 \implies v^2 = 9 \implies v = \pm 3 $$

Como \(uv = -3 < 0 \), \(u \) y \(v \) deben tener signos contrarios:

$$\sqrt{\Delta} = \pm (1 - 3i) $$
PASO 3

Obtención de las dos raíces complejas.

Aplicamos la fórmula general cuadrática:

$$z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{(3 + i) \pm (1 - 3i)}{2} $$

Primera raíz:

$$z_1 = \frac{(3 + i) + (1 - 3i)}{2} = \frac{4 - 2i}{2} = 2 - i $$

Segunda raíz:

$$z_2 = \frac{(3 + i) - (1 - 3i)}{2} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i $$
Conclusión

Las dos soluciones de la ecuación cuadrática compleja son \(z_1 = 2 - i \) y \(z_2 = 1 + 2i \)

Ejemplo 5 Resolución de ecuaciones algebraicas con módulo y conjugado simultáneos

Determinación de soluciones complejas separando componentes real e imaginaria

Hallar todos los números complejos \(z \in C \) que satisfacen la ecuación algebraica con conjugado y módulo:

$$z^2 + |z|^2 = 2 + 4i $$
PASO 1

Planteamiento en componentes reales en forma binómica.

Sea \(z = x + yi \), con \(x, y \in R \)

Calculamos los términos de la ecuación:

$$z^2 = (x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi $$
$$|z|^2 = x^2 + y^2 $$

Sustituyendo en la ecuación original:

$$(x^2 - y^2 + 2xyi) + (x^2 + y^2) = 2 + 4i $$
PASO 2

Simplificación e igualación término a término.

Sumamos términos semejantes en el miembro izquierdo:

$$(x^2 + x^2) + (-y^2 + y^2) + 2xyi = 2x^2 + 2xyi = 2 + 4i $$

Igualamos parte real y parte imaginaria:

1. Parte real: \(2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \)

2. Parte imaginaria: \(2xy = 4 \implies xy = 2 \)

PASO 3

Resolución de los dos casos para x.

Caso 1:

Si \(x = 1 \):

$$y = \frac{2}{x} = \frac{2}{1} = 2 \implies z_1 = 1 + 2i $$

Caso 2:

Si \(x = -1 \):

$$y = \frac{2}{x} = \frac{2}{-1} = -2 \implies z_2 = -1 - 2i $$
Conclusión

Los únicos números complejos que satisfacen la ecuación dada son \(z_1 = 1 + 2i \) y \(z_2 = -1 - 2i \)