1.2.2 Propiedades algebraicas de ℝ
1.2.2 Propiedades algebraicas de ℝ
Estructura de cuerpo conmutativo y axiomas de la adición
El conjunto de los números reales \(R \) dotado de las operaciones de adición y multiplicación forma un cuerpo conmutativo o campo algebraico.
La operación de suma o adición dota a \((R, +) \) de estructura de Grupo Abeliano, cumpliendo cuatro axiomas fundamentales:
- Propiedad Asociativa: \((x + y) + z = x + (y + z), \quad \forall x, y, z \in R \)
- Propiedad Conmutativa: \(x + y = y + x, \quad \forall x, y \in R \)
- Elemento Neutro Aditivo: Existe un único elemento \(0 \in R \) tal que \(x + 0 = x, \quad \forall x \in R \)
- Elemento Opuesto (Simétrico):
Para todo \(x \in R \), existe un único elemento \(-x \in R \) tal que \(x + (-x) = 0 \)
Para el número real irracional \(x = \sqrt{7} \), su elemento opuesto aditivo es \(-x = -\sqrt{7} \), verificándose rigurosamente que \(\sqrt{7} + (-\sqrt{7}) = 0 \)
Axiomas de la multiplicación y conexión distributiva
El conjunto de los números reales no nulos dotado del producto, \((R \setminus \{0\}, \cdot) \), constituye asimismo un Grupo Abeliano:
- Propiedad Asociativa: \((x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z), \quad \forall x, y, z \in R \)
- Propiedad Conmutativa: \(x \cdot y = y \cdot x, \quad \forall x, y \in R \)
- Elemento Neutro Multiplicativo: Existe un único elemento unidad \(1 \in R \) con \(1 e 0 \) tal que \(x \cdot 1 = x, \quad \forall x \in R \)
- Elemento Inverso Multiplicativo:
Para todo número real no nulo \(x e 0 \), existe un único inverso \(x^{-1} = \frac{1}{x} \in R \) tal que \(x \cdot x^{-1} = 1 \)
El producto se distribuye respecto de la adición uniendo ambas operaciones en un único cuerpo:
Para la fracción \(x = \frac{3}{5} \), su inverso multiplicativo es \(x^{-1} = \frac{5}{3} \), cumpliéndose \(\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = 1 \). Aplicando la distributiva con radicales: \(\sqrt{2} \cdot (3 + \sqrt{2}) = 3\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3\sqrt{2} + 2 \)
Propiedades deducidas fundamentales y resolución de ecuaciones
A partir de los axiomas de cuerpo se deducen los siguientes teoremas esenciales:
- Unicidad del neutro y del opuesto:
Si \(x + y = y \implies x = 0 \), y si \(x + y = 0 \implies y = -x \)
- Multiplicación por cero y ausencia de divisores de cero:
Para todo número real, \(x \cdot 0 = 0 \). Además, un producto se anula si y sólo si alguno de sus factores es cero:
- Regla de los signos de los opuestos: \(-(-x) = x \), \((-x) \cdot y = -(xy) \) y \((-x) \cdot (-y) = xy \)
- Existencia y unicidad de soluciones lineales:
Para cualquier ecuación \(a + x = b \), la solución única es \(x = b - a \). Para \(a \cdot x = b \) con \(a e 0 \), la solución única es \(x = a^{-1}b = \frac{b}{a} \)
Deducción rigurosa de la propiedad x por cero igual a cero a partir de los axiomas de cuerpo
Demostrar a partir exclusivamente de los axiomas A1 a A9 que para cualquier número real \(x \in R \), se cumple que \(x \cdot 0 = 0 \)
Empleo del neutro aditivo.
Por el axioma A3 del elemento neutro de la suma, el número cero cumple la identidad:
Multiplicación por x y aplicación de la propiedad distributiva.
Multiplicamos ambos miembros de la identidad por el número real \(x \):
Aplicamos en el miembro izquierdo la propiedad distributiva A9:
Adición del opuesto aditivo en ambos miembros.
Sumamos el opuesto aditivo \(-(x \cdot 0) \) a ambos miembros de la ecuación:
Por el axioma asociativo A1 y el axioma del opuesto A4:
Queda demostrado de manera axiomática que el producto de cualquier número real por cero es idénticamente cero.
Deducción formal de que menos a por menos b es igual a a por b en un cuerpo
Demostrar que para cualesquiera números reales \(a, b \in R \), se verifica la regla de los signos \((-a) \cdot (-b) = a \cdot b \)
Demostración preliminar de que (-
a) por b es el opuesto de a por b.
Consideremos la suma \(a \cdot b + (-a) \cdot b \)
Por la propiedad distributiva A9 respecto del factor común \(b \):
Como \(a + (-a) = 0 \), tenemos:
Por el teorema de unicidad del opuesto aditivo P1, esto significa que:
Evaluación de la expresión con doble signo negativo.
Consideremos ahora la suma \((-a) \cdot (-b) + [-(ab)] \)
Por el resultado del Paso 1, sabemos que \(-(ab) = a \cdot (-b) \). Por tanto:
Como \((-a) + a = 0 \):
Conclusión por unicidad del opuesto.
La expresión \((-a) \cdot (-b) \) sumada con \(-(ab) \) da como resultado cero.
Por unicidad del opuesto aditivo de \(-(ab) \), deducimos que:
Queda rigurosamente probada la ley de los signos \((-a)(-b) = ab \) para todo número real.
Eliminación de radicales en el denominador empleando la identidad de la suma de cubos
Racionalizar la fracción real \(F = \frac{6}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}} \) en el cuerpo \(R \)
Identificación de la identidad algebraica adecuada.
Para eliminar raíces cúbicas de la forma \(u + v \), utilizamos la identidad algebraica de la suma de cubos:
Identificamos los términos:
Multiplicación de numerador y denominador por el factor racionalizante.
El factor racionalizante es:
Multiplicamos numerador y denominador de la fracción \(F \) por dicho término:
Simplificación del denominador.
El denominador se reduce exactamente a la suma de los cubos:
Sustituyendo en la fracción:
La expresión racionalizada es \(\frac{6}{7}(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}) \)
Resolución exacta y descarte de raíces espurias mediante verificación algebraica estricta
Resolver en el cuerpo de los números reales la ecuación irracional \(\sqrt{2x + 7} - \sqrt{x - 1} = 2 \)
Dominio de definición en los números reales.
Los radicandos de raíces de índice par deben ser no negativos:
El dominio de existencia en los reales es la intersección: \(D = [1, \infty) \)
Aislamiento de un radical y elevación al cuadrado.
Aislamos el radical más complejo sumando \(\sqrt{x - 1} \) en ambos miembros:
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
Aislamiento del segundo radical y resolución cuadrática.
Restamos \(x + 3 \) en ambos lados:
Elevamos nuevamente al cuadrado ambos miembros:
Reagrupamos términos en una ecuación de segundo grado:
Calculamos el discriminante de la ecuación cuadrática:
Como el discriminante es estrictamente negativo, la ecuación no tiene ninguna raíz real.
Por tanto, el conjunto de soluciones en \(R \) es el conjunto vacío \(\emptyset \)
Factorización polinómica exacta sobre el cuerpo real sin raíces reales
Factorizar completamente en el producto de dos polinomios cuadráticos con coeficientes reales irreducibles la expresión cuártica \(P(x) = x^4 + 4 \)
Técnica de adición y sustracción de términos para completar cuadrados.
La expresión \(x^4 + 4 = (x^2)^2 + 2^2 \)
Para completar el trinomio cuadrado perfecto \((x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4 \), sumamos y restamos el término intermedio \(4x^2 \):
Transformación en diferencia de dos cuadrados perfectos.
Reescribimos la expresión reconociendo ambos términos como cuadrados perfectos:
Aplicamos la identidad fundamental de la diferencia de cuadrados \(A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \):
Reordenando en potencias decrecientes de \(x \):
Comprobación de irreducibilidad sobre los números reales.
Analizamos el discriminante de cada factor cuadrático:
Para \(x^2 - 2x + 2 = 0 \): \(\Delta_1 = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0 \)
Para \(x^2 + 2x + 2 = 0 \): \(\Delta_2 = 2^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0 \)
Al ser ambos discriminantes negativos, ninguno de los dos factores cuadráticos posee raíces reales, lo que certifica que son factores irreducibles sobre \(R \)
La factorización del polinomio sobre el cuerpo de los números reales es \(x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2) \)