1.2 1.2.2 Propiedades algebraicas de ℝ

1.2.2 Propiedades algebraicas de ℝ

Estructura de cuerpo conmutativo y axiomas de la adición

El conjunto de los números reales $R $ dotado de las operaciones de adición y multiplicación forma un cuerpo conmutativo o campo algebraico.

La operación de suma o adición dota a $(R, +) $ de estructura de Grupo Abeliano, cumpliendo cuatro axiomas fundamentales:

- Propiedad Asociativa: $$(x + y) + z = x + (y + z), \quad \forall x, y, z \in R $$

- Propiedad Conmutativa: $x + y = y + x, \quad \forall x, y \in R $

- Elemento Neutro Aditivo: Existe un único elemento $0 \in R $ tal que $x + 0 = x, \quad \forall x \in R $

- Elemento Opuesto (Simétrico):

Para todo $x \in R $, existe un único elemento $-x \in R $ tal que $x + (-x) = 0 $

ð Ejemplo:

Para el número real irracional $x = \sqrt{7} $, su elemento opuesto aditivo es $-x = -\sqrt{7} $, verificándose rigurosamente que $\sqrt{7} + (-\sqrt{7}) = 0 $

Axiomas de la multiplicación y conexión distributiva

El conjunto de los números reales no nulos dotado del producto, $(R \setminus \{0\}, \cdot) $, constituye asimismo un Grupo Abeliano:

- Propiedad Asociativa: $$(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z), \quad \forall x, y, z \in R $$

- Propiedad Conmutativa: $$x \cdot y = y \cdot x, \quad \forall x, y \in R $$

- Elemento Neutro Multiplicativo: Existe un único elemento unidad $1 \in R $ con $1 e 0 $ tal que $x \cdot 1 = x, \quad \forall x \in R $

- Elemento Inverso Multiplicativo:

Para todo número real no nulo $x e 0 $, existe un único inverso $x^{-1} = \frac{1}{x} \in R $ tal que $x \cdot x^{-1} = 1 $

âï¸ Axioma: de Conexión Distributiva

El producto se distribuye respecto de la adición uniendo ambas operaciones en un único cuerpo:

$$x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z, \quad \forall x, y, z \in R $$

ð Ejemplo:

Para la fracción $x = \frac{3}{5} $, su inverso multiplicativo es $x^{-1} = \frac{5}{3} $, cumpliéndose $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = 1 $. Aplicando la distributiva con radicales: $$\sqrt{2} \cdot (3 + \sqrt{2}) = 3\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3\sqrt{2} + 2 $$

Propiedades deducidas fundamentales y resolución de ecuaciones

A partir de los axiomas de cuerpo se deducen los siguientes teoremas esenciales:

- Unicidad del neutro y del opuesto:

Si $x + y = y \implies x = 0 $, y si $x + y = 0 \implies y = -x $

- Multiplicación por cero y ausencia de divisores de cero:

Para todo número real, $x \cdot 0 = 0 $. Además, un producto se anula si y sólo si alguno de sus factores es cero:

$$x \cdot y = 0 \iff x = 0 \quad \text{ó} \quad y = 0 $$

- Regla de los signos de los opuestos: $-(-x) = x $, $(-x) \cdot y = -(xy) $ y $(-x) \cdot (-y) = xy $

- Existencia y unicidad de soluciones lineales:

Para cualquier ecuación $a + x = b $, la solución única es $x = b - a $. Para $a \cdot x = b $ con $a e 0 $, la solución única es $x = a^{-1}b = \frac{b}{a} $

ð Ejemplo 1 Demostración axiomática de que el producto por cero es nulo

Deducción rigurosa de la propiedad x por cero igual a cero a partir de los axiomas de cuerpo

Demostrar a partir exclusivamente de los axiomas A1 a A9 que para cualquier número real $x \in R $, se cumple que $x \cdot 0 = 0 $

ð PASO 1

Empleo del neutro aditivo.

Por el axioma A3 del elemento neutro de la suma, el número cero cumple la identidad:

$$0 + 0 = 0 $$

ð PASO 2

Multiplicación por x y aplicación de la propiedad distributiva.

Multiplicamos ambos miembros de la identidad por el número real $x $:

$$x \cdot (0 + 0) = x \cdot 0 $$

Aplicamos en el miembro izquierdo la propiedad distributiva A9:

$$x \cdot 0 + x \cdot 0 = x \cdot 0 $$

ð PASO 3

Adición del opuesto aditivo en ambos miembros.

Sumamos el opuesto aditivo $-(x \cdot 0) $ a ambos miembros de la ecuación:

$$(x \cdot 0 + x \cdot 0) + [-(x \cdot 0)] = (x \cdot 0) + [-(x \cdot 0)] $$

Por el axioma asociativo A1 y el axioma del opuesto A4:

$$x \cdot 0 + \{(x \cdot 0) + [-(x \cdot 0)]\} = 0 $$

$$x \cdot 0 + 0 = 0 \implies x \cdot 0 = 0 $$

Conclusión: Queda demostrado de manera axiomática que el producto de cualquier número real por cero es idénticamente cero.

ð Ejemplo 2 Demostración de la regla de los signos a partir de los axiomas

Deducción formal de que menos a por menos b es igual a a por b en un cuerpo

Demostrar que para cualesquiera números reales $a, b \in R $, se verifica la regla de los signos $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b $

ð PASO 1

Demostración preliminar de que (-

a) por b es el opuesto de a por b.

Consideremos la suma $a \cdot b + (-a) \cdot b $

Por la propiedad distributiva A9 respecto del factor común $b $:

$$a \cdot b + (-a) \cdot b = [a + (-a)] \cdot b $$

Como $a + (-a) = 0 $, tenemos:

$$[a + (-a)] \cdot b = 0 \cdot b = 0 $$

Por el teorema de unicidad del opuesto aditivo P1, esto significa que:

$$(-a) \cdot b = -(ab) $$

ð PASO 2

Evaluación de la expresión con doble signo negativo.

Consideremos ahora la suma $(-a) \cdot (-b) + [-(ab)] $

Por el resultado del Paso 1, sabemos que $-(ab) = a \cdot (-b) $. Por tanto:

$$(-a) \cdot (-b) + a \cdot (-b) = [(-a) + a] \cdot (-b) $$

Como $(-a) + a = 0 $:

$$[(-a) + a] \cdot (-b) = 0 \cdot (-b) = 0 $$

ð PASO 3

Conclusión por unicidad del opuesto.

La expresión $(-a) \cdot (-b) $ sumada con $-(ab) $ da como resultado cero.

Por unicidad del opuesto aditivo de $-(ab) $, deducimos que:

$$(-a) \cdot (-b) = -(-(ab)) = ab $$

Conclusión: Queda rigurosamente probada la ley de los signos $(-a)(-b) = ab $ para todo número real.

ð Ejemplo 3 Racionalización algebraica de denominadores con suma de raíces cúbicas

Eliminación de radicales en el denominador empleando la identidad de la suma de cubos

Racionalizar la fracción real $F = \frac{6}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}} $ en el cuerpo $R $

ð PASO 1

Identificación de la identidad algebraica adecuada.

Para eliminar raíces cúbicas de la forma $u + v $, utilizamos la identidad algebraica de la suma de cubos:

$$(u + v)(u^2 - uv + v^2) = u^3 + v^3 $$

Identificamos los términos:

$$u = \sqrt[3]{5} \implies u^3 = 5 $$

$$v = \sqrt[3]{2} \implies v^3 = 2 $$

ð PASO 2

Multiplicación de numerador y denominador por el factor racionalizante.

El factor racionalizante es:

$$u^2 - uv + v^2 = (\sqrt[3]{5})^2 - \sqrt[3]{5}\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4} $$

Multiplicamos numerador y denominador de la fracción $F $ por dicho término:

$$F = \frac{6(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})} $$

ð PASO 3

Simplificación del denominador.

El denominador se reduce exactamente a la suma de los cubos:

$$(\sqrt[3]{5})^3 + (\sqrt[3]{2})^3 = 5 + 2 = 7 $$

Sustituyendo en la fracción:

$$F = \frac{6(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4})}{7} = \frac{6}{7}(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}) $$

Conclusión: La expresión racionalizada es $$\frac{6}{7}(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}) $$

ð Ejemplo 4 Resolución analítica de una ecuación irracional bicuadrática en reales

Resolución exacta y descarte de raíces espurias mediante verificación algebraica estricta

Resolver en el cuerpo de los números reales la ecuación irracional $\sqrt{2x + 7} - \sqrt{x - 1} = 2 $

ð PASO 1

Dominio de definición en los números reales.

Los radicandos de raíces de índice par deben ser no negativos:

$$2x + 7 \ge 0 \implies x \ge -\frac{7}{2} $$

$$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 $$

El dominio de existencia en los reales es la intersección: $D = [1, \infty) $

ð PASO 2

Aislamiento de un radical y elevación al cuadrado.

Aislamos el radical más complejo sumando $\sqrt{x - 1} $ en ambos miembros:

$$\sqrt{2x + 7} = 2 + \sqrt{x - 1} $$

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

$$2x + 7 = 2^2 + 2(2)\sqrt{x - 1} + (\sqrt{x - 1})^2 = 4 + 4\sqrt{x - 1} + (x - 1) $$

$$2x + 7 = x + 3 + 4\sqrt{x - 1} $$

ð PASO 3

Aislamiento del segundo radical y resolución cuadrática.

Restamos $x + 3 $ en ambos lados:

$$x + 4 = 4\sqrt{x - 1} $$

Elevamos nuevamente al cuadrado ambos miembros:

$$(x + 4)^2 = (4\sqrt{x - 1})^2 \implies x^2 + 8x + 16 = 16(x - 1) = 16x - 16 $$

Reagrupamos términos en una ecuación de segundo grado:

$$x^2 - 8x + 32 = 0 $$

Calculamos el discriminante de la ecuación cuadrática:

$$\Delta = (-8)^2 - 4(1)(32) = 64 - 128 = -64 < 0 $$

Conclusión: Como el discriminante es estrictamente negativo, la ecuación no tiene ninguna raíz real.

Por tanto, el conjunto de soluciones en $R $ es el conjunto vacío $\emptyset $

ð Ejemplo 5 Identidad algebraica de Sophie Germain y factorización en reales

Factorización polinómica exacta sobre el cuerpo real sin raíces reales

Factorizar completamente en el producto de dos polinomios cuadráticos con coeficientes reales irreducibles la expresión cuártica $P(x) = x^4 + 4 $

ð PASO 1

Técnica de adición y sustracción de términos para completar cuadrados.

La expresión $x^4 + 4 = (x^2)^2 + 2^2 $

Para completar el trinomio cuadrado perfecto $(x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4 $, sumamos y restamos el término intermedio $4x^2 $:

$$x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2 $$

ð PASO 2

Transformación en diferencia de dos cuadrados perfectos.

Reescribimos la expresión reconociendo ambos términos como cuadrados perfectos:

$$x^4 + 4 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 $$

Aplicamos la identidad fundamental de la diferencia de cuadrados $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) $:

$$x^4 + 4 = [(x^2 + 2) - 2x] \cdot [(x^2 + 2) + 2x] $$

Reordenando en potencias decrecientes de $x $:

$$x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2) $$

ð PASO 3

Comprobación de irreducibilidad sobre los números reales.

Analizamos el discriminante de cada factor cuadrático:

Para $x^2 - 2x + 2 = 0 $: $\Delta_1 = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0 $

Para $x^2 + 2x + 2 = 0 $: $\Delta_2 = 2^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0 $

Al ser ambos discriminantes negativos, ninguno de los dos factores cuadráticos posee raíces reales, lo que certifica que son factores irreducibles sobre $R $

Conclusión: La factorización del polinomio sobre el cuerpo de los números reales es $x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2) $