Extremos relativos

1. Máximos y mínimos relativos: definición Sea $$f || efe ||$$ una función de $$n || ene ||$$ variables y sea $$\mathbf{a} || a ||$$ un punto interior de su dominio. Se dice que $$f || efe ||$$ tiene un máximo relativo (o local) en $$\mathbf{a} || a ||$$ si existe una bola abierta $$B(\mathbf{a}, r) || be de a coma erre ||$$ tal que $$f(\mathbf{a}) \ge f(\mathbf{x}) || efe de a mayor o igual que efe de equis ||$$ para todo $$\mathbf{x} \in B(\mathbf{a}, r) || equis en be de a coma erre ||$$ Se dice que tiene un mínimo relativo en $$\mathbf{a} || a ||$$ si $$f(\mathbf{a}) \le f(\mathbf{x}) || efe de a menor o igual que efe de equis ||$$ para todo $$\mathbf{x} || equis ||$$ de alguna bola abierta centrada en $$\mathbf{a} || a ||$$ Un extremo relativo es un máximo o un mínimo relativo: el valor de la función en el punto es el mayor (o el menor) entre los puntos cercanos, sin importar lo que ocurra lejos. Si la desigualdad es estricta para $$\mathbf{x} \ne \mathbf{a} || equis distinto de a ||$$, el extremo se llama estricto. Ejemplo: $$f(x, y) = 4 - x^2 - y^2 || efe de equis coma i griega es igual a cuatro menos equis al cuadrado menos i griega al cuadrado ||$$ tiene un máximo relativo en $$(0, 0) || cero coma cero ||$$, pues $$f(0, 0) = 4 || efe de cero coma cero es igual a cuatro ||$$ y $$f(x, y) \le 4 || efe de equis coma i griega es menor o igual que cuatro ||$$ en todo punto. 2. Puntos críticos: condición necesaria de extremo Teorema: Si $$f || efe ||$$ tiene un extremo relativo en $$\mathbf{a} || a ||$$ y existen las derivadas parciales de $$f || efe ||$$ en $$\mathbf{a} || a ||$$, entonces $$\nabla f(\mathbf{a}) = \mathbf{0} || gradiente de efe en a es igual a cero ||$$ Demostración: si $$f || efe ||$$ tiene, por ejemplo, un máximo relativo en $$\mathbf{a} || a ||$$, la restricción de $$f || efe ||$$ a cualquier recta que pase por $$\mathbf{a} || a ||$$ es una función de una variable con un máximo relativo en ese punto, luego su derivada vale cero. Como el gradiente está formado por las derivadas parciales, todas ellas son cero. Se llama punto crítico de $$f || efe ||$$ a todo punto $$\mathbf{a} || a ||$$ donde $$\nabla f(\mathbf{a}) = \mathbf{0} || gradiente de efe en a es igual a cero ||$$ o donde alguna derivada parcial no existe. Todo extremo relativo (con parciales existentes) es un punto crítico, pero un punto crítico puede no ser extremo: la condición es necesaria, no suficiente. Ejemplo: $$(0, 0) || cero coma cero ||$$ es punto crítico de $$f(x, y) = x^2 - y^2 || efe de equis coma i griega es igual a equis al cuadrado menos i griega al cuadrado ||$$, pues $$\nabla f(0, 0) = (0, 0) || gradiente de efe en cero coma cero es igual a cero coma cero ||$$, pero no es extremo, como se ve en el apartado siguiente. 3. Puntos de silla Se dice que un punto crítico $$\mathbf{a} || a ||$$ es un punto de silla de $$f || efe ||$$ si $$f || efe ||$$ no tiene en $$\mathbf{a} || a ||$$ ni máximo ni mínimo relativo. El nombre viene de la forma de silla de montar de la gráfica: en unas direcciones el punto se comporta como un mínimo y en otras como un máximo. En el ejemplo del apartado anterior, $$(0, 0) || cero coma cero ||$$ es punto de silla de $$f(x, y) = x^2 - y^2 || efe de equis coma i griega es igual a equis al cuadrado menos i griega al cuadrado ||$$: sobre el eje $$x || equis ||$$ la función vale $$x^2 \ge 0 || equis al cuadrado mayor o igual que cero ||$$ (mínimo en la dirección $$x || equis ||$$), mientras que sobre el eje $$y || i griega ||$$ vale $$-y^2 \le 0 || menos i griega al cuadrado menor o igual que cero ||$$ (máximo en la dirección $$y || i griega ||$$). La superficie correspondiente se llama paraboloide hiperbólico. Ejemplo: $$(0, 0) || cero coma cero ||$$ también es punto de silla de $$f(x, y) = xy || efe de equis coma i griega es igual a equis por i griega ||$$, pues $$f(t, t) = t^2 > 0 || efe de te coma te es igual a te al cuadrado mayor que cero ||$$ y $$f(t, -t) = -t^2 < 0 || efe de te coma menos te es igual a menos te al cuadrado menor que cero ||$$ para $$t \ne 0 || te distinto de cero ||$$ 4. Criterio del hessiano en dos variables Sea $$f || efe ||$$ de clase $$C^2 || ce dos ||$$ y sea $$(a, b) || a coma ve ||$$ un punto crítico. Sea $$H = \det H_f(a, b) = f_{xx}(a, b) \, f_{yy}(a, b) - \big[f_{xy}(a, b)\big]^2 || hache es igual al determinante de la hessiana de efe en a coma ve, que vale efe sub equis equis por efe sub i griega i griega menos el cuadrado de efe sub equis i griega ||$$ Entonces se cumple lo siguiente. Si $$H > 0 || hache mayor que cero ||$$ y $$f_{xx}(a, b) > 0 || efe sub equis equis de a coma ve mayor que cero ||$$, hay un mínimo relativo en $$(a, b) || a coma ve ||$$ Si $$H > 0 || hache mayor que cero ||$$ y $$f_{xx}(a, b) < 0 || efe sub equis equis de a coma ve menor que cero ||$$, hay un máximo relativo en $$(a, b) || a coma ve ||$$ Si $$H < 0 || hache menor que cero ||$$, $$(a, b) || a coma ve ||$$ es un punto de silla. Si $$H = 0 || hache es igual a cero ||$$, el criterio no decide y hay que estudiar el punto directamente. La idea de la demostración es el desarrollo de Taylor de orden dos: cerca del punto crítico, $$f(a + h, b + k) - f(a, b) \approx \frac{1}{2}\big[f_{xx} h^2 + 2f_{xy} hk + f_{yy} k^2\big] || efe de a más hache coma ve más ka menos efe de a coma ve es aproximadamente un medio de efe sub equis equis por hache al cuadrado más dos efe sub equis i griega por hache por ka más efe sub i griega i griega por ka al cuadrado ||$$, y el signo de esta forma cuadrática lo decide $$H || hache ||$$ Observación para $$n || ene ||$$ variables: en un punto crítico de una función de clase $$C^2 || ce dos ||$$ hay mínimo relativo si la hessiana es definida positiva, máximo relativo si es definida negativa y punto de silla si es indefinida. Una matriz simétrica $$H || hache ||$$ es definida positiva si $$\mathbf{v}^t H \mathbf{v} > 0 || ve traspuesta por hache por ve mayor que cero ||$$ para todo $$\mathbf{v} \ne \mathbf{0} || ve distinto de cero ||$$, y definida negativa si la desigualdad es al contrario. Ejemplo: Para $$f(x, y) = x^2 + y^2 || efe de equis coma i griega es igual a equis al cuadrado más i griega al cuadrado ||$$ el único punto crítico es $$(0, 0) ,\ \text{con}\ H = 4 > 0 || cero coma cero || || hache es igual a cuatro mayor que cero ||$$ y $$f_{xx} = 2 > 0 || efe sub equis equis es igual a dos mayor que cero ||$$: mínimo relativo. Ejemplo 1: Hallar y clasificar los puntos críticos de $$f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy || efe de equis coma i griega es igual a equis al cubo más i griega al cubo menos tres equis por i griega ||$$ Explicación: se iguala el gradiente a cero, se resuelve el sistema y se aplica el criterio del hessiano en cada punto crítico. PASO 1: $$\nabla f(x, y) = (3x^2 - 3y, 3y^2 - 3x) || gradiente de efe es igual a tres equis al cuadrado menos tres i griega coma tres i griega al cuadrado menos tres equis ||$$ El sistema $$3x^2 - 3y = 0 || tres equis al cuadrado menos tres i griega es igual a cero ||$$, $$3y^2 - 3x = 0 || tres i griega al cuadrado menos tres equis es igual a cero ||$$ da $$y = x^2 || i griega es igual a equis al cuadrado ||$$ y $$x = y^2 || equis es igual a i griega al cuadrado ||$$, de donde $$x = x^4 || equis es igual a equis a la cuarta ||$$ PASO 2: Las soluciones son $$x = 0 || equis es igual a cero ||$$ y $$x = 1 || equis es igual a uno ||$$; los puntos críticos son $$(0, 0) || cero coma cero ||$$ y $$(1, 1) || uno coma uno ||$$ PASO 3: La hessiana es $$H_f(x, y) = \begin{pmatrix} 6x & -3 \\ -3 & 6y \end{pmatrix} || hache sub efe es la matriz seis equis coma menos tres en la primera fila y menos tres coma seis i griega en la segunda ||$$ En $$(1, 1) || uno coma uno ||$$, $$H = 36 - 9 = 27 > 0 || hache es igual a veintisiete mayor que cero ||$$ y $$f_{xx}(1, 1) = 6 > 0 || efe sub equis equis de uno coma uno es igual a seis mayor que cero ||$$: mínimo relativo, con valor $$f(1, 1) = -1 || efe de uno coma uno es igual a menos uno ||$$ PASO 4: En $$(0, 0) || cero coma cero ||$$, $$H = 0 - 9 = -9 < 0 || hache es igual a menos nueve menor que cero ||$$: punto de silla. Conclusión: $$(1, 1) || uno coma uno ||$$ es mínimo relativo y $$(0, 0) || cero coma cero ||$$ es punto de silla. Ejemplo 2: Estudiar el punto crítico de $$f(x, y) = x^4 + y^4 || efe de equis coma i griega es igual a equis a la cuarta más i griega a la cuarta ||$$ Explicación: el criterio del hessiano no decide porque $$H = 0 || hache es igual a cero ||$$; se estudia el signo de la función directamente. PASO 1: $$\nabla f(x, y) = (4x^3, 4y^3) || gradiente de efe es igual a cuatro equis al cubo coma cuatro i griega al cubo ||$$, luego el único punto crítico es $$(0, 0) || cero coma cero ||$$ PASO 2: La hessiana en $$(0, 0) || cero coma cero ||$$ es la matriz nula, así que $$H = 0 || hache es igual a cero ||$$ y el criterio no da información. PASO 3: Para todo $$(x, y) || equis coma i griega ||$$ se cumple $$f(x, y) = x^4 + y^4 \ge 0 = f(0, 0) || efe de equis coma i griega es mayor o igual que cero que es efe de cero coma cero ||$$ Conclusión: $$(0, 0) || cero coma cero ||$$ es un mínimo relativo (de hecho, absoluto). Ejemplo 3: Hallar y clasificar el punto crítico de $$f(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xy - 2x + 4y || efe de equis coma i griega coma zeta es igual a equis al cuadrado más dos i griega al cuadrado más tres zeta al cuadrado más dos equis por i griega menos dos equis más cuatro i griega ||$$ Explicación: se resuelve $$\nabla f = \mathbf{0} || gradiente de efe es igual a cero ||$$ y se estudia si la hessiana (constante) es definida positiva. PASO 1: $$f_x = 2x + 2y - 2 || efe sub equis es igual a dos equis más dos i griega menos dos ||$$, $$f_y = 4y + 2x + 4 || efe sub i griega es igual a cuatro i griega más dos equis más cuatro ||$$, $$f_z = 6z || efe sub zeta es igual a seis zeta ||$$ PASO 2: El sistema $$x + y = 1 || equis más i griega es igual a uno ||$$, $$x + 2y = -2 || equis más dos i griega es igual a menos dos ||$$, $$z = 0 || zeta es igual a cero ||$$ da el único punto crítico $$(4, -3, 0) || cuatro coma menos tres coma cero ||$$ PASO 3: La hessiana es constante: $$H_f = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} || hache sub efe es la matriz de tres por tres con filas dos coma dos coma cero, dos coma cuatro coma cero y cero coma cero coma seis ||$$ PASO 4: Los menores principales son $$2 > 0 || dos mayor que cero ||$$, $$8 - 4 = 4 > 0 || ocho menos cuatro es igual a cuatro mayor que cero ||$$ y $$\det H_f = 6 \cdot 4 = 24 > 0 || determinante de hache sub efe es igual a veinticuatro mayor que cero ||$$, luego la hessiana es definida positiva. Conclusión: $$(4, -3, 0) || cuatro coma menos tres coma cero ||$$ es un mínimo relativo, con valor $$f(4, -3, 0) = -10 || efe de cuatro coma menos tres coma cero es igual a menos diez ||$$