Derivadas parciales y vector gradiente
Derivada parcial: definición e interpretación geométrica
Sea \(f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) una función de dos variables y sea \((a, b) \) un punto interior de su dominio.
La derivada parcial de \(f \) respecto de \(x \) en \((a, b) \) es $$f_x(a, b) = \frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h, b) - f(a, b)}{h} $$, cuando este límite existe.
La derivada parcial respecto de \(y \) en \((a, b) \) se define de forma análoga: $$f_y(a, b) = \frac{\partial f}{\partial y}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a, b + h) - f(a, b)}{h} $$
La gráfica de la función \(z = f(x, y) \) representa una superficie en el espacio tridimensional \(\mathbb{R}^3 \)
Interpretación geométrica respecto de \(x \):
si cortamos la superficie con el plano vertical \(y = b \), obtenemos una curva en dicho plano; la derivada parcial \(f_x(a, b) \) es exactamente la pendiente de la recta tangente a dicha curva en el punto \((a, b, f(a, b)) \), y mide la tasa instantánea de variación de \(f \) al desplazarse en la dirección del eje \(X \)
Interpretación geométrica respecto de \(y \):
si cortamos la superficie con el plano vertical \(x = a \), obtenemos una curva en dicho plano; la derivada parcial \(f_y(a, b) \) es exactamente la pendiente de la recta tangente a esa curva en el punto \((a, b, f(a, b)) \), y mide la tasa instantánea de variación de \(f \) al desplazarse en la dirección del eje \(Y \)
Para \(f(x, y) = x^2 y \), en el punto \((1, 2) \) se tiene $$f_x(1, 2) = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 \cdot 2 - 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h + 2h^2}{h} = 4 $$ y $$f_y(1, 2) = \lim_{h \to 0} \frac{1^2 \cdot (2 + h) - 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1 $$; así, la pendiente en la dirección del eje \(X \) es \(4 \) y en la dirección del eje \(Y \) es \(1 \)
Cálculo práctico de las derivadas parciales
Para calcular la derivada parcial \(f_x \) se deriva la expresión analítica de \(f \) respecto de \(x \), considerando la variable \(y \) como si fuera una constante.
Para calcular la derivada parcial \(f_y \) se deriva respecto de \(y \), considerando la variable \(x \) como si fuera una constante.
Son aplicables todas las reglas de derivación de funciones de una sola variable: linealidad, regla del producto, regla del cociente y regla de la cadena.
Para una función de \(n \) variables \(f(x_1, x_2, \dots, x_n) \), la derivada parcial respecto de \(x_i \) se denota \(f_{x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} \) y se obtiene derivando respecto de \(x_i \) manteniendo constantes todas las demás variables.
Si \(f(x, y) = \operatorname{sen}(xy) + e^{x^2} \), derivando respecto de \(x \) con \(y \) constante obtenemos \(f_x = y\cos(xy) + 2x e^{x^2} \), y derivando respecto de \(y \) con \(x \) constante obtenemos \(f_y = x\cos(xy) \)
Funciones diferenciables y condición rigurosa de aproximación lineal
Una función \(f(x, y) \) es diferenciable en un punto interior \((a, b) \) si y solo si para todo vector unitario \(\mathbf{u} = (u_x, u_y) \) con \(u_x^2 + u_y^2 = 1 \) se verifica:
donde $$\nabla f(a, b) = \overrightarrow{\operatorname{grad}} f(a, b) = (f_x(a, b), f_y(a, b)) $$ es el vector gradiente.
Esta condición equivale a exigir que el incremento total de la función se aproxime por una aplicación lineal, llamada diferencial total \(df = f_x(a, b)\Delta x + f_y(a, b)\Delta y \), con un error que tiende a cero más rápido que la distancia al punto:
Geométricamente, la diferenciabilidad garantiza la existencia de un plano tangente no vertical a la superficie en el punto.
Condición suficiente de diferenciabilidad:
si las derivadas parciales \(f_x \) y \(f_y \) existen y son continuas en un entorno del punto \((a, b) \) (es decir, \(f \) es de clase \(C^1 \)), entonces la función es necesariamente diferenciable en \((a, b) \)
La sola existencia de las derivadas parciales no basta para asegurar la diferenciabilidad ni la continuidad de la función.
Cualquier función polinómica en varias variables tiene derivadas parciales continuas de cualquier orden, por lo que es de clase \(C^1 \) y en consecuencia resulta diferenciable en todos los puntos de \(\mathbb{R}^2 \)
Derivada direccional y su relación con el vector gradiente
Dado un vector unitario \(\mathbf{u} = (u_x, u_y) \), con \(\|\mathbf{u}\| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2} = 1 \), la derivada direccional de \(f \) en el punto \((a, b) \) en la dirección de \(\mathbf{u} \) mide el ritmo de cambio de la función al desplazarse sobre dicha recta orientada:
si la función \(f \) es diferenciable en \((a, b) \), la derivada direccional existe en cualquier dirección y se calcula de forma directa mediante el producto escalar del vector gradiente por el vector unitario:
Si el vector dado \(\mathbf{v} \) no es unitario, debe normalizarse previamente dividiendo por su módulo: $$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} $$
Para \(f(x, y) = x^2 + 3xy \) en \((1, 1) \), el gradiente es $$\nabla f(1, 1) = (2x + 3y, 3x)|_{(1, 1)} = (5, 3) $$; en la dirección del vector unitario $$\mathbf{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) $$, la derivada direccional vale $$D_{\mathbf{u}}f(1, 1) = (5, 3) \cdot \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) = 5 \cdot \frac{3}{5} + 3 \cdot \frac{4}{5} = 3 + \frac{12}{5} = \frac{27}{5} $$
Interpretación geométrica y propiedades del vector gradiente
El vector gradiente de una función escalar \(f(x, y) \) en un punto \((a, b) \) es el vector formado por sus derivadas parciales:
A partir de la fórmula de la derivada direccional y de la definición geométrica del producto escalar:
donde \(\theta \) es el ángulo formado entre el vector gradiente \(\nabla f(a, b) \) y la dirección unitaria \(\mathbf{u} \). De esta relación se deducen tres propiedades geométricas fundamentales:
Dirección y sentido de máximo crecimiento
cuando \(\theta = 0 \), se tiene \(\cos \theta = 1 \), por lo que la derivada direccional alcanza su valor máximo absoluto; esto significa que el vector gradiente indica la dirección y sentido en que hay que desplazarse a partir del punto para que la función crezca lo más deprisa posible, siendo esa tasa máxima de crecimiento exactamente igual al módulo del gradiente: $$\max D_{\mathbf{u}}f(a, b) = \|\nabla f(a, b)\| $$
Dirección y sentido de máximo decrecimiento
cuando \(\theta = \pi \), se tiene \(\cos \theta = -1 \), por lo que la derivada direccional alcanza su valor mínimo; esto significa que si nos desplazamos en la dirección del vector gradiente pero en sentido contrario (en la dirección del vector opuesto \(-\nabla f(a, b) \)), la función decrece lo más deprisa posible, con una tasa de variación igual a \(-\|\nabla f(a, b)\| \)
Dirección de variación nula y perpendicularidad a las curvas de nivel
cuando \(\theta = \frac{\pi}{2} \) o \(\theta = \frac{3\pi}{2} \), se tiene \(\cos \theta = 0 \), con lo que \(D_{\mathbf{u}}f(a, b) = 0 \); esto significa que si nos desplazamos perpendicularmente al vector gradiente, la función no varía instantáneamente.
Dado que a lo largo de una curva de nivel \(f(x, y) = c \) el valor de la función es estrictamente constante, la dirección tangente a la curva de nivel es perpendicular al gradiente; por consiguiente, el vector gradiente en cualquier punto es siempre perpendicular u ortogonal a la curva de nivel que pasa por dicho punto.
Para el paraboloide \(f(x, y) = x^2 + y^2 \), las curvas de nivel son circunferencias concéntricas \(x^2 + y^2 = c \); en el punto \((1, 2) \), el gradiente es \(\nabla f(1, 2) = (2x, 2y)|_{(1, 2)} = (2, 4) \), que apunta en dirección radial hacia fuera (máximo crecimiento, con tasa $$\|\nabla f\| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $$), en sentido opuesto \((-2, -4) \) se produce el máximo decrecimiento hacia el origen, y en la dirección perpendicular $$\mathbf{u} = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) $$, tangente a la circunferencia de nivel, la variación es nula $$D_{\mathbf{u}}f(1, 2) = (2, 4) \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) = 0 $$
Calcular las derivadas parciales de primer orden de la función \(f(x, y) = x^3 y^2 + \operatorname{sen}(xy) \) y evaluarlas en el punto \((0, 1) \)
Para calcular cada derivada parcial tratamos la otra variable como una constante y aplicamos las reglas ordinarias de derivación; finalmente sustituimos las coordenadas del punto dado.
Derivando respecto de \(x \), considerando \(y \) constante, aplicamos la regla de la potencia al primer sumando y la regla de la cadena al segundo: \(f_x(x, y) = 3x^2 y^2 + y\cos(xy) \)
Derivando respecto de \(y \), considerando \(x \) constante, aplicamos la regla de la potencia al primer sumando y la regla de la cadena al segundo: \(f_y(x, y) = 2x^3 y + x\cos(xy) \)
Evaluamos la derivada parcial respecto de \(x \) en el punto \((0, 1) \): $$f_x(0, 1) = 3(0)^2(1)^2 + 1 \cdot \cos(0 \cdot 1) = 0 + 1 \cdot \cos(0) = 1 $$
Evaluamos la derivada parcial respecto de \(y \) en el punto \((0, 1) \): $$f_y(0, 1) = 2(0)^3(1) + 0 \cdot \cos(0 \cdot 1) = 0 + 0 = 0 $$
Las derivadas parciales evaluadas en \((0, 1) \) son \(f_x(0, 1) = 1 \) y \(f_y(0, 1) = 0 \)
Calcular el vector gradiente de la función de tres variables \(f(x, y, z) = x^2 z + y^3 - xyz \) en el punto \((1, 2, -1) \)
Calculamos las tres derivadas parciales de primer orden respecto de cada variable manteniendo fijas las otras dos, y evaluamos cada componente en las coordenadas del punto para formar el vector gradiente.
Derivamos respecto de \(x \) manteniendo \(y \) y \(z \) constantes: \(f_x = 2xz - yz \);
sustituyendo en \((1, 2, -1) \) obtenemos $$f_x(1, 2, -1) = 2(1)(-1) - (2)(-1) = -2 + 2 = 0 $$
Derivamos respecto de \(y \) manteniendo \(x \) y \(z \) constantes: \(f_y = 3y^2 - xz \);
sustituyendo en \((1, 2, -1) \) obtenemos $$f_y(1, 2, -1) = 3(2)^2 - (1)(-1) = 12 + 1 = 13 $$
Derivamos respecto de \(z \) manteniendo \(x \) e \(y \) constantes: \(f_z = x^2 - xy \);
sustituyendo en \((1, 2, -1) \) obtenemos \(f_z(1, 2, -1) = (1)^2 - (1)(2) = 1 - 2 = -1 \)
El vector gradiente en el punto \((1, 2, -1) \) es \(\nabla f(1, 2, -1) = (0, 13, -1) \)
Estudiar si la función \(f(x, y) = |x| + |y| \) es diferenciable en el origen \((0, 0) \)
Para que una función sea diferenciable en un punto es condición necesaria que existan todas sus derivadas parciales en dicho punto;
si alguna de ellas no existe, la función no puede ser diferenciable.
Planteamos la derivada parcial respecto de \(x \) en \((0, 0) \) aplicando directamente la definición mediante límite: $$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h| + |0| - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} $$
Analizamos los límites laterales cuando \(h \to 0 \): por la derecha (\(h > 0 \)) se tiene \(\lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1 \), mientras que por la izquierda (\(h < 0 \)) se tiene \(\lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1 \); al ser distintos, no existe la derivada parcial \(f_x(0, 0) \)
Como la existencia de las derivadas parciales es una condición estrictamente necesaria para la diferenciabilidad, la no existencia de \(f_x(0, 0) \) impide que la función sea diferenciable en dicho punto
La función \(f(x, y) = |x| + |y| \) no es diferenciable en el origen \((0, 0) \)
Dada la función \(f(x, y) = 2x^2 - xy + 3y^2 \), calcular la derivada direccional en el punto \(P(1, 2) \) en la dirección hacia el punto \(Q(4, 6) \)
Al ser un polinomio, la función es diferenciable en todo el plano; por tanto, calculamos el vector director entre los puntos, lo normalizamos para obtener un vector unitario y aplicamos el producto escalar del gradiente por dicho vector unitario.
Hallamos el vector director que une \(P(1, 2) \) con \(Q(4, 6) \): $$\mathbf{v} = \vec{PQ} = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4) $$
Calculamos el módulo del vector \(\mathbf{v} \) para normalizarlo: $$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$; por tanto, el vector unitario en la dirección de \(P \) a \(Q \) es $$\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) $$
Calculamos el gradiente de \(f \) derivando parcialmente: \(f_x = 4x - y \) y \(f_y = -x + 6y \); evaluando en el punto \(P(1, 2) \) obtenemos $$\nabla f(1, 2) = (4(1) - 2, -1 + 6(2)) = (2, 11) $$
Aplicamos la fórmula de la derivada direccional para funciones diferenciables mediante producto escalar: $$D_{\mathbf{u}}f(1, 2) = \nabla f(1, 2) \cdot \mathbf{u} = (2, 11) \cdot \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) = 2 \cdot \frac{3}{5} + 11 \cdot \frac{4}{5} = \frac{6 + 44}{5} = \frac{50}{5} = 10 $$
La derivada direccional de \(f \) en el punto \((1, 2) \) en dirección hacia \((4, 6) \) vale \(D_{\mathbf{u}}f(1, 2) = 10 \)
Para la función \(f(x, y) = 4 - x^2 - 2y^2 \) en el punto \(P(1, 1) \): hallar la dirección y sentido de máximo crecimiento junto con su tasa máxima, la dirección y sentido de máximo decrecimiento, y la ecuación de la recta tangente a la curva de nivel que pasa por dicho punto
Calculamos el gradiente en el punto: el gradiente nos da la dirección de máximo crecimiento y su módulo la tasa máxima; el vector opuesto da la dirección de máximo decrecimiento; y el vector ortogonal nos da la dirección de la recta tangente a la curva de nivel.
Calculamos las derivadas parciales de \(f \): \(f_x = -2x \) y \(f_y = -4y \); evaluando en \(P(1, 1) \) obtenemos el vector gradiente \(\nabla f(1, 1) = (-2, -4) \)
La dirección y sentido de máximo crecimiento viene dada por el vector gradiente \(\nabla f(1, 1) = (-2, -4) \), o su vector unitario normalizado $$\mathbf{u}_{\text{máx}} = \frac{(-2, -4)}{\sqrt{(-2)^2 + (-4)^2}} = \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}\right) $$; la tasa máxima de crecimiento es el módulo del gradiente: $$\|\nabla f(1, 1)\| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $$
La dirección y sentido de máximo decrecimiento es la opuesta al gradiente: \(-\nabla f(1, 1) = (2, 4) \), con tasa mínima de variación igual a \(-2\sqrt{5} \)
La curva de nivel que pasa por \((1, 1) \) tiene valor \(c = f(1, 1) = 4 - 1 - 2 = 1 \), cuya ecuación es la elipse \(x^2 + 2y^2 = 3 \); como el gradiente \(\nabla f(1, 1) = (-2, -4) \) es perpendicular a la curva de nivel, la recta tangente en \((1, 1) \) tiene por vector normal \(\mathbf{n} = (-2, -4) \) y su ecuación es $$-2(x - 1) - 4(y - 1) = 0 \iff -2x + 2 - 4y + 4 = 0 \iff x + 2y - 3 = 0 $$
En \(P(1, 1) \), la dirección de máximo crecimiento es \(\nabla f(1, 1) = (-2, -4) \) con tasa \(2\sqrt{5} \), la de máximo decrecimiento es \((2, 4) \) con tasa \(-2\sqrt{5} \), y la recta tangente a la curva de nivel es \(x + 2y = 3 \)