Modelos y aplicaciones

1. La ley de enfriamiento de Newton: \(\frac{dT}{dt} = k(T - T_m)\) Un cuerpo a temperatura \(T\) situado en un medio a temperatura constante \(T_m\) intercambia calor con el medio. La ley de enfriamiento de Newton afirma que la velocidad de variación de la temperatura del cuerpo es proporcional a la diferencia entre su temperatura e la del medio. El modelo es la ecuación diferencial \(\frac{dT}{dt} = k(T - T_m)\), con \(k\) una constante negativa que depende del cuerpo e del medio. La constante es negativa porque, si el cuerpo está más caliente que el medio, su temperatura disminuye con el tiempo. Es una ecuación de variables separadas e su solución general es: \(T(t) = T_m + Ce^{kt}\), donde \(C = T(0) - T_m\) es la diferencia inicial de temperaturas. Como \(k < 0\), el término exponencial tiende a cero cuando \(t \to \infty\) Por tanto, la temperatura del cuerpo tiende a la del medio con el tiempo. Ejemplo: Un cuerpo a \(90\) grados en un medio a \(20\) grados sigue \(T(t) = 20 + 70e^{kt}\) La constante \(k\) se determina midiendo la temperatura en un instante posterior. 2. La desintegración radiactiva e la semivida Una sustancia radiactiva se desintegra con el tiempo: cada átomo tiene una probabilidad de desintegrarse que no depende de su edad. Por eso, la velocidad de desintegración es proporcional a la cantidad de sustancia presente. Si \(Q(t)\) es la cantidad en el instante \(t\), el modelo es: \(\frac{dQ}{dt} = -\lambda Q\), con \(\lambda > 0\) la constante de desintegración, propia de cada sustancia. Separando variables se obtiene la solución general \(Q(t) = Q_0 e^{-\lambda t}\), donde \(Q_0 = Q(0)\) es la cantidad inicial. La semivida o periodo de semidesintegración \(T_{1/2}\) es el tiempo necesario para que la cantidad se reduzca a la mitad. Cumple \(e^{-\lambda T_{1/2}} = \frac{1}{2}\), de donde \(\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}\) Ejemplo: El carbono \(14\) tiene una semivida de \(5730\) años. Su constante de desintegración es \(\lambda = \frac{\ln 2}{5730}\) por año. 3. El crecimiento de poblaciones: el modelo de Malthus Sea \(P(t)\) el número de individuos de una población en el instante \(t\) El modelo más simple supone que la tasa de crecimiento es proporcional al número de individuos: cuantos más individuos hay, más nacimientos se producen. La ecuación es: \(\frac{dP}{dt} = kP\), con \(k\) constante. Si \(k > 0\), la población crece; si \(k < 0\), decrece. Separando variables, \(\frac{dP}{P} = k\,dt\) Integrando los dos miembros, \(\ln P = kt + C\) La solución general es: \(P(t) = P_0 e^{kt}\), donde \(P_0 = P(0)\) es la población inicial. Se trata de un crecimiento exponencial, razonable a corto plazo, pero que no tiene en cuenta la limitación de recursos del medio. Ejemplo: Si una población se duplica cada \(3\) años, entonces \(e^{3k} = 2\), e \(k = \frac{\ln 2}{3}\) por año. 4. La datación por carbono \(14\) El carbono \(14\) es un isótopo radiactivo que se forma continuamente en la atmósfera e que los seres vivos absorben mientras están vivos. Mientras un organismo está vivo, la proporción de carbono \(14\) en su cuerpo se mantiene constante. Al morir, deja de absorberlo e la cantidad presente empieza a desintegrarse según la ley de desintegración radiactiva. Si \(Q_0\) es la cantidad en el momento de la muerte e \(Q\) la cantidad medida hoy, el tiempo \(t\) transcurrido cumple \(Q = Q_0 e^{-\lambda t}\) Despejando el tiempo, \(t = -\frac{1}{\lambda}\ln\frac{Q}{Q_0}\) Con la semivida del carbono \(14\) conocida, este tiempo es la edad estimada de la muestra. El método es válido para restos de hasta unos cincuenta mil años. Ejemplo: Si una muestra conserva el \(70\) por ciento del carbono \(14\) original, entonces \(\frac{Q}{Q_0} = 0,7\) La edad estimada es \(t = -\frac{5730}{\ln 2}\ln 0,7\) años. Ejemplo 1: Un cuerpo a \(90\) grados se enfría en un medio a \(20\) grados. Al cabo de \(10\) minutos su temperatura es de \(60\) grados. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que alcance los \(30\) grados?