EDO: conceptos básicos y verificación de soluciones
1. Qué es una ecuación diferencial ordinaria La incógnita que se quiere encontrar es una función \(y\) de una variable independiente \(x\) Una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación que relaciona la variable independiente \(x\), la función incógnita \(y\) e sus derivadas \(y'\), \(y''\), etc. En forma general se escribe \(F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0\) El adjetivo «ordinaria» indica que solo intervienen derivadas respecto de una única variable independiente. Cuando la variable independiente representa el tiempo, se denota por \(t\) e la incógnita por \(y(t)\) Ejemplo: La expresión \(y' - x^2 y = 0\) es una ecuación diferencial ordinaria. La incógnita es \(y\) como función de \(x\) e interviene su primera derivada \(y'\) 2. El orden \(n\) de una ecuación diferencial ordinaria El orden de una ecuación diferencial ordinaria es el orden de la derivada de mayor orden que aparece en ella. La ecuación \(y' = f(x)\) es de orden \(1\) La ecuación \(y'' + y = 0\) es de orden \(2\) El orden es importante porque determina cuántas constantes arbitrarias tendrá la solución general e cuántas condiciones iniciales se necesitan para seleccionar una solución particular. Ejemplo: La ecuación \(y'' + y = 0\) es de orden \(2\) Su solución general dependerá de dos constantes arbitrarias. 3. Qué es una solución de una ecuación diferencial ordinaria Una solución de una ecuación diferencial ordinaria en un intervalo \(I\) es una función \(y\) derivable en \(I\) tantas veces como indique el orden de la ecuación, tal que al sustituirla e sus derivadas en la ecuación se obtiene una igualdad válida para todo \(x\) de \(I\) Es decir, la sustitución debe convertir la ecuación en una identidad en \(x\) Resolver la ecuación es encontrar todas sus soluciones. Ejemplo: La función \(y(x) = \cos x\) es solución de \(y'' + y = 0\) Sus derivadas son \(y'(x) = -\operatorname{sen} x \ \text{e}\ y''(x) = -\cos x\) Al sustituir se obtiene \(y'' + y = -\cos x + \cos x = 0\) para todo \(x\) 4. Solución general, solución particular e condiciones iniciales La solución general de una ecuación de orden \(n\) es una expresión que contiene todas las soluciones de la ecuación e que depende de \(n\) constantes arbitrarias. Estas constantes se denotan habitualmente \(C_1\), \(C_2\), etc. Una solución particular es la que resulta de dar valores concretos a dichas constantes. Para seleccionar una solución particular se imponen condiciones iniciales: los valores de la función e de sus primeras \(n-1\) derivadas en un punto \(x_0\) El conjunto formado por la ecuación diferencial junto con las condiciones iniciales se llama problema de valor inicial. Ejemplo: La expresión \(y(x) = Ce^{kx} ,\ \text{con}\ C\) arbitraria, es la solución general de \(y' = ky\) Con la condición inicial \(y(0) = y_0\) se obtiene \(C = y_0\) La solución particular es \(y(x) = y_0 e^{kx}\) 5. Verificación de soluciones por sustitución Para comprobar si una función candidata es solución de una ecuación diferencial se sigue un procedimiento de sustitución directa. Primero se calculan las derivadas de la candidata hasta el orden de la ecuación. Después se sustituyen la función e sus derivadas en la ecuación. Por último se simplifica e se comprueba si el resultado es una identidad en \(x\) Si se obtiene una identidad, la candidata es solución. En caso contrario, la candidata no es solución. Ejemplo: La función \(y(x) = x^2\) no es solución de \(y' = 2y\) Su derivada es \(y'(x) = 2x\), e \(2x\) no es idénticamente igual a \(2x^2\) Ejemplo 1: Comprueba que la función definida por \(y(x) = e^{x^3/3}\) es solución de la ecuación diferencial \(y' - x^2 y = 0\) e halla la solución particular que cumple la condición inicial \(y(0) = 2\)
se calcula la derivada de la candidata, se sustituye en la ecuación e se comprueba que resulta una identidad; después se escribe la familia de soluciones con la constante arbitraria e se impone la condición inicial.
se deriva la candidata. Por la regla de la cadena,
se sustituye en la ecuación. Se obtiene
\(y' - x^2 y = x^2 e^{x^3/3} - x^2 e^{x^3/3} = 0\), que es una identidad en \(x\). La candidata es solución.
la solución general es \(y(x) = Ce^{x^3/3}\). La condición \(y(0) = 2\) da \(2 = Ce^0\), es decir, \(C = 2\)
la función es solución de la ecuación e la solución particular pedida es:
se deriva dos veces la familia propuesta, se sustituye en la ecuación e se verifica la identidad para cualesquiera valores de las constantes; después se imponen las dos condiciones iniciales.
se calculan las derivadas.
se sustituye en la ecuación.
idénticamente. La familia propuesta es la solución general.
se imponen las condiciones iniciales. \(y(0) = C_1 = 1\)\(y'(0) = C_2 = 0\)
la familia es la solución general de la ecuación e la solución particular pedida es:
el procedimiento es el mismo que en el ejemplo anterior: derivar dos veces, sustituir en la ecuación e imponer las condiciones iniciales para determinar las constantes.
se calculan las derivadas.
\(y''(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\), que coincide con \(y(x)\)
al sustituir, \(y'' - y = 0\) idénticamente. La familia es la solución general.
se imponen las condiciones iniciales. \(y(0) = C_1 + C_2 = 3\)\(y'(0) = C_1 - C_2 = 1\). Sumando e restando las dos igualdades, \(C_1 = 2 \ \text{y}\ C_2 = 1\)
la familia es la solución general de la ecuación e la solución particular pedida es: