3.7 Método de Newton
El problema de resolver $$f(x) = 0 $$
Muchas ecuaciones no se pueden resolver con fórmulas exactas: por ejemplo, \(x^3 - 2x - 5 = 0 \) o \(e^x + x = 0 \) no admiten despeje con operaciones elementales.
El teorema de Bolzano (sección 1.4) permite localizar las soluciones:
si \(f \) es continua y cambia de signo en \([a, b] \), hay al menos una raíz en \((a, b) \)
El método de bisección aproxima esa raíz, pero lo hace lentamente: en cada paso el error se reduce solo a la mitad.
El método de Newton, que se estudia en esta sección, converge mucho más deprisa: en cada iteración el número de cifras decimales exactas se duplica aproximadamente.
La ecuación \(x^2 - 2 = 0 \) tiene por solución \(\sqrt{2} \), que no es un número racional;
para calcularla con muchas cifras decimales hace falta un método numérico como el de Newton.
Deducción geométrica del método
Sea \(f \) derivable y sea \(x_n \) una aproximación de la raíz \(r \) buscada.
La recta tangente a la gráfica de \(f \) en el punto \((x_n, f(x_n)) \) tiene ecuación \(y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n) \)
Si la tangente no es horizontal, es decir, si \(f'(x_n) \ne 0 \), corta al eje \(OX \) en un punto que está, en general, más cerca de la raíz que \(x_n \)
Imponiendo \(y = 0 \) se obtiene \(0 = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n) \), de donde se despeja el punto de corte: \(x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \)
Tomando ese corte como nueva aproximación se obtiene la fórmula de iteración de Newton: \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \)
Geométricamente, el método sustituye la curva por su tangente en cada paso y avanza hasta donde la tangente corta al eje.
Para \(f(x) = x^2 - 2 \) la fórmula de Newton es $$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n} $$, el clásico algoritmo babilónico para la raíz cuadrada.
El algoritmo y el criterio de parada
El método de Newton se aplica siguiendo estos pasos.
Primero, se escribe la ecuación en la forma \(f(x) = 0 \) y se elige una aproximación inicial \(x_0 \) próxima a la raíz (por ejemplo, localizada con el teorema de Bolzano).
Segundo, se itera la fórmula \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \) mientras \(f'(x_n) \ne 0 \)
Tercero, se detiene la iteración cuando dos aproximaciones consecutivas difieren menos que la tolerancia deseada, \(|x_{n+1} - x_n| < \varepsilon \), o cuando \(|f(x_{n+1})| \) es suficientemente pequeño.
Es prudente fijar también un número máximo de iteraciones:
si se supera sin haber convergido, el punto inicial probablemente no era adecuado.
Para aproximar \(\sqrt{2} \) con \(f(x) = x^2 - 2 \) y \(x_0 = 1 \): \(x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = 1,5 \) y \(x_2 = 1,5 - \frac{0,25}{3} \approx 1,4166667 \)
Convergencia del método
Si \(f \) es dos veces derivable con \(f'' \) continua en un entorno de \(r \), \(f(r) = 0 \) y \(f'(r) \ne 0 \) (la raíz es simple), entonces existe \(\delta > 0 \) tal que si \(|x_0 - r| < \delta \), la sucesión definida por la fórmula de Newton está bien definida y converge a \(r \). Además, la convergencia es cuadrática: el error \(e_n = x_n - r \) satisface \(e_{n+1} \approx -\frac{f''(r)}{2f'(r)} e_n^2 \), de modo que el número de cifras exactas se duplica en cada iteración.
La hipótesis \(f'(r) \ne 0 \) es esencial:
si la raíz es múltiple, el método sigue convergiendo pero pierde la velocidad cuadrática.
La demostración aplica la fórmula de Taylor de orden dos a \(f \) en torno a \(x_n \) y usa que \(f(r) = 0 \)
En la aproximación de \(\sqrt{2} \) del apartado anterior, el error pasa de \(|x_2 - \sqrt{2}| \approx 0,00245 \) a \(|x_3 - \sqrt{2}| \approx 0,0000021 \): se ha dividido por más de mil, coherente con la convergencia cuadrática.
Posibles fallos del método
El método de Newton no siempre converge: su éxito depende de la elección del punto inicial.
Si en algún paso \(f'(x_n) = 0 \), la tangente es horizontal, no corta al eje y la fórmula no se puede aplicar.
Si \(x_0 \) está lejos de la raíz, la sucesión puede divergir hacia el infinito o entrar en un ciclo sin acercarse nunca a la raíz.
Un ejemplo clásico de ciclo es \(f(x) = x^3 - 2x + 2 \) con \(x_0 = 0 \): se obtiene \(x_1 = 1 \) y \(x_2 = 0 \), de modo que la iteración oscila entre \(0 \) y \(1 \) indefinidamente.
Por eso es recomendable localizar primero la raíz con el teorema de Bolzano y elegir \(x_0 \) dentro de un intervalo pequeño que la contenga, donde además \(f' \) no se anule.
Cuando el método converge, en cambio, lo hace mucho más deprisa que la bisección: mientras la bisección gana una cifra binaria por paso, Newton duplica las cifras decimales exactas.
Para \(f(x) = x^3 - 2x + 2 \) con \(x_0 = 0 \): \(f(0) = 2 \) y \(f'(0) = -2 \), luego \(x_1 = 0 - \frac{2}{-2} = 1 \); \(f(1) = 1 \) y \(f'(1) = 1 \), luego \(x_2 = 1 - \frac{1}{1} = 0 \): el método ha vuelto al punto de partida y ciclará para siempre.
Aplicaremos la fórmula de Newton a \(f(x) = x^2 - 2 \) con \(x_0 = 1 \). La raíz es simple porque \(f'(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} \ne 0 \), así que la convergencia será cuadrática.
Iteraciones.
Control del error.
Se tiene \(|x_3 - x_2| \approx 0,0024510 \), mucho menor que \(|x_2 - x_1| = 0,0833333 \), coherente con la convergencia cuadrática.
Evaluando: \(f(x_3) = 1,4142157^2 - 2 \approx 0,0000060 \), luego $$|x_3 - \sqrt{2}| = \frac{|f(x_3)|}{x_3 + \sqrt{2}} < \frac{0,000006}{2,8} < 3 \cdot 10^{-6} < 10^{-5} $$
\(\sqrt{2} = 1,4142157 \) con un error menor que \(10^{-5} \) tras tres iteraciones.
Primero localizaremos la raíz con el teorema de Bolzano para elegir un buen punto inicial.
Después aplicaremos la fórmula de Newton a \(f(x) = x^3 - 2x - 5 \)
Localización y punto inicial.
Como \(f'(x) = 3x^2 - 2 > 0 \) para \(x \ge 2 \), la función es estrictamente creciente ahí y la raíz es única.
Tomamos \(x_0 = 2 \)
Iteraciones.
la raíz es $$r \approx 2,0945516 ,\ \text{con}\\|f(x_3)| < 2 \cdot 10^{-7} $$
Calcularemos las primeras iteraciones con la fórmula de Newton para \(f'(x) = 3x^2 - 2 \) y observaremos el comportamiento de la sucesión.
Primera iteración.
Segunda iteración.
Se ha vuelto al punto de partida: \(x_3 = 1 \), \(x_4 = 0 \), y así sucesivamente.
con \(x_0 = 0 \) el método no converge, sino que oscila entre \(0 \) y \(1 \): un punto inicial alejado de la raíz puede hacer fracasar el método de Newton.