Series de potencias y radio de convergencia

1. Definición de serie de potencias. En las secciones anteriores, los términos \(a_n\) de la serie eran números fijos. Ahora permitimos que los términos dependan de una variable real \(x\), de modo que la «suma» ya no es un número, sino una función de \(x\) Definición (serie de potencias). Dada una sucesión de números reales \(\{c_n\}_{n\ge 0}\) e un punto \(a\) real, se llama serie de potencias centrada en \(a\) a la expresión \(\sum_{n=0}^{+\infty} c_n (x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots\), donde \(x\) es una variable real. Los números \(c_n\) se llaman coeficientes de la serie, e \(a\) es el centro. Para cada valor concreto de \(x\), la serie de potencias se convierte en una serie numérica ordinaria, que puede converger o divergir. El objetivo de esta sección es determinar exactamente para qué valores de \(x\) la serie converge. Mediante el cambio de variable \(t = x - a\) siempre se puede suponer que el centro es \(a = 0\) e trabajar con series de la forma \(\sum_{n=0}^{+\infty} c_n x^n\); lo haremos a menudo para simplificar la notación. Ejemplo: la serie \(\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = 1 + x + x^2 + \cdots\) es una serie de potencias centrada en \(0\) con coeficientes \(c_n = 1\) para todo \(n\); es la serie geométrica de razón \(x\), que converge si e solo si \(|x| < 1\), e entonces su suma es \(\frac{1}{1-x}\) 2. Teorema del radio de convergencia. Teorema (radio de convergencia): Si se considera una serie de potencias \(\sum_{n=0}^{+\infty} c_n (x-a)^n\), entonces existe un valor \(R\) con \(0 \le R \le +\infty\), llamado radio de convergencia, tal que: si \(|x-a| < R\), la serie converge absolutamente; si \(|x-a| > R\), la serie diverge; y si \(|x-a| = R\), es decir, en los extremos del intervalo, el comportamiento puede ser cualquiera: la serie puede converger o divergir, e hay que estudiar cada extremo por separado. El intervalo abierto \((a-R, a+R)\) se llama intervalo de convergencia (abierto); el intervalo de convergencia definitivo, que puede ser abierto, cerrado o semiabierto, se obtiene añadiendo los extremos que resulten convergentes. Los casos extremos del teorema son \(R = 0\) (la serie solo converge en el punto \(x = a\)) e \(R = +\infty\) (la serie converge para todo \(x\) real). Ejemplo: la serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}\) tiene radio de convergencia \(R = 1\) (se calculará en el apartado siguiente); converge absolutamente para \(|x| < 1\) e diverge para \(|x| > 1\); en los extremos \(x = 1\) e \(x = -1\) habrá que estudiar la serie numérica resultante por separado. 3. Cálculo del radio de convergencia. El radio de convergencia se calcula en la práctica a partir de los coeficientes \(c_n\), aplicando los criterios del cociente o de la raíz a la serie numérica \(\sum_{n=0}^{+\infty} c_n (x-a)^n\) para \(x\) fijo, e resolviendo la desigualdad que garantiza la convergencia. Método del cociente. Si existe el límite \(L = \lim_{n\to+\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|\) (finito o \(+\infty\)), entonces \(R = \frac{1}{L}\), con las convenciones \(\frac{1}{0} = +\infty\) y \(frac{1}{+\infty} = 0\) Método de la raíz. Si existe el límite \(L = \lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|c_n|}\) (finito o \(+\infty\)), entonces igualmente \(R = \frac{1}{L}\) La justificación es la siguiente: aplicado el criterio del cociente a la serie numérica de término \(a_n = c_n(x-a)^n\), se tiene \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \to L|x-a|\); hay convergencia absoluta si \(L|x-a| < 1\), es decir, si \(|x-a| < \frac{1}{L}\), e divergencia si \(L|x-a| > 1\) Cuando los coeficientes contienen factoriales, suele ser más cómodo el método del cociente; cuando contienen potencias enésimas explícitas, el de la raíz. Ejemplo: para \(\sum_{n=0}^{+\infty} n!\, x^n\) se tiene \(c_n = n!\) e \(\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| = n+1 \to +\infty\); luego \(R = 0\): la serie solo converge en \(x = 0\) 4. Estudio de los extremos del intervalo de convergencia. Una vez calculado el radio \(R\), la convergencia en el interior \(|x-a| < R\) es absoluta e en el exterior \(|x-a| > R\) hay divergencia; falta estudiar los dos extremos \(x = a-R\) y \(x = a+R\) (cuando \(0 < R < +\infty\)). En cada extremo, la serie de potencias se convierte en una serie numérica concreta, a la que se aplican los criterios de las secciones anteriores: comparación, cociente, raíz e Leibniz, entre otros. Cada extremo se estudia de forma independiente: puede converger absolutamente, converger condicionalmente o divergir, sin que el comportamiento de un extremo condicione el del otro. El intervalo de convergencia definitivo es, por tanto, uno de los cuatro siguientes: \((a-R, a+R)\), \([a-R, a+R)\), \((a-R, a+R]\) o \([a-R, a+R]\) Ejemplo: para \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}\) se tiene \(R = 1\). En \(x = 1\) se obtiene la serie armónica \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\), que diverge; en \(x = -1\) se obtiene la armónica alternada \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}\), que converge condicionalmente por el criterio de Leibniz. El intervalo de convergencia es \([-1, 1)\) 5. Derivación e integración término a término. Una de las propiedades más notables de las series de potencias es que, dentro del intervalo abierto de convergencia, se comportan como si fueran polinomios: se pueden derivar e integrar término a término. Teorema (derivación e integración término a término): Si \(f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n (x-a)^n\) es una serie de potencias con radio de convergencia \(R > 0\), entonces, para todo \(x\) con \(|x-a| < R\): La función \(f\) es derivable, e su derivada se obtiene derivando término a término: \(f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n c_n (x-a)^{n-1}\). La función \(f\) es integrable, e su primitiva se obtiene integrando término a término: \(\int f(x)\,dx = C + \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{c_n}{n+1}(x-a)^{n+1}\), donde \(C\) es una constante arbitraria. En ambos casos, la nueva serie tiene el mismo radio de convergencia \(R\). Por inducción, \(f\) es de clase \(C^\infty\) (infinitamente derivable) en el interior del intervalo de convergencia, e todas sus derivadas se obtienen derivando término a término. Conviene subrayar que el radio no cambia al derivar o integrar; lo que puede cambiar es el comportamiento en los extremos del intervalo. La derivación e la integración término a término son herramientas muy potentes para calcular la suma de series que, a priori, parecen difíciles de abordar: si se conoce la suma de una serie de potencias, derivando o integrando la igualdad se obtiene la suma de una nueva serie relacionada. Ejemplo: partiendo de \(\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\) para \(|x| < 1\) e derivando término a término, se obtiene \(\sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}\); multiplicando por \(x\) resulta \(\sum_{n=1}^{+\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}\) para \(|x| < 1\) 6. Series de Taylor. Derivando repetidamente la serie \(f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n (x-a)^n\) en el centro \(x = a\) se obtiene \(f(a) = c_0\), \(f'(a) = c_1\), \(f''(a) = 2c_2\), \(f'''(a) = 6c_3\), e en general \(f^{(n)}(a) = n!\, c_n\), de donde \(c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\) Es decir: si una función es suma de una serie de potencias, esa serie tiene que ser necesariamente la serie de Taylor de la función en el centro. Definición (serie de Taylor). Dada una función \(f\) infinitamente derivable en un entorno del punto \(a\), se llama serie de Taylor de \(f\) alrededor de \(a\) a la serie de potencias \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots\) Cuando \(a = 0\), la serie se llama también serie de Maclaurin de \(f\) La serie de Taylor de una función siempre se puede construir formalmente; la cuestión no trivial es saber si converge e si su suma coincide con \(f(x)\) Cuando una función coincide con su serie de Taylor en un entorno de \(a\), se dice que es analítica en \(a\) Las funciones elementales habituales son analíticas; sus series de Maclaurin son las siguientes. \(e^x = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\), para \(x \in \mathbb{R}\) \(\operatorname{sen} x = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\), para \(x \in \mathbb{R}\) \(\cos x = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\), para \(x \in \mathbb{R}\) \(\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\), para \(x \in (-1, 1]\) \(\arctan x = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots\), para \(x \in [-1, 1]\) Ejemplo: la serie \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\) se reconoce como la serie de Maclaurin de \(\cos x\); por tanto, su suma es \(\cos x\) para todo \(x\) real. Ejemplo 1: Determina el radio e el intervalo de convergencia de \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(x-2)^n}{n\cdot 3^n}\)