Estudio y representación gráfica de funciones

1. El esquema del estudio de una función Representar la gráfica de una función exige reunir toda la información analítica disponible sobre ella. El estudio completo de una función \(f\) sigue este esquema ordenado. Primero, dominio, simetrías y periodicidad: dónde está definida y qué simetrías aprovechan el trabajo. Segundo, cortes con los ejes y signo: puntos donde la gráfica toca los ejes y regiones donde está por encima o por debajo del eje \(OX\) Tercero, asíntotas: rectas a las que se acerca la gráfica en los bordes del dominio o en el infinito. Cuarto, monotonía y extremos locales: crecimiento y decrecimiento a partir del signo de \(f'\) Quinto, concavidad, convexidad y puntos de inflexión: curvatura a partir del signo de \(f''\) Sexto, tabla de valores con los puntos notables y trazado de la gráfica respetando toda la información anterior. Cada paso utiliza los resultados de las secciones anteriores: este apartado los integra en un procedimiento único. Ejemplo: Para \(f(x) = x^3\) el esquema da: dominio \(\mathbb{R}\), simetría impar, corte en \((0, 0)\), sin asíntotas, estrictamente creciente, convexa para \(x > 0\) y cóncava para \(x < 0\), con inflexión en el origen. 2. Dominio, simetrías y periodicidad El dominio de \(f\) es el conjunto de valores de \(x\) para los que la expresión de \(f(x)\) tiene sentido. Las restricciones habituales son: los denominadores no pueden anularse; los radicandos de raíces de índice par no pueden ser negativos; los argumentos de los logaritmos deben ser estrictamente positivos; los argumentos del arco seno y del arco coseno deben estar en \([-1, 1]\) Una función es par si \(f(-x) = f(x)\) para todo \(x\) del dominio: su gráfica es simétrica respecto del eje \(OY\) y basta estudiarla para \(x \ge 0\) Una función es impar si \(f(-x) = -f(x)\): su gráfica es simétrica respecto del origen y basta estudiarla para \(x \ge 0\) Una función es periódica de periodo \(T > 0\) si \(f(x + T) = f(x)\) para todo \(x\): basta estudiarla en un intervalo de longitud \(T\) Ejemplo: Para \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}\) el dominio es \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) por el denominador. Como \(f(-x) = \frac{x^2 - 1}{-x} = -f(x)\), la función es impar: su gráfica es simétrica respecto del origen. 3. Cortes con los ejes y signo de la función El corte con el eje \(OY\), si existe, es el punto \((0, f(0))\): se obtiene evaluando la función en \(x = 0\) Los cortes con el eje \(OX\) son los puntos \((x, 0)\) donde \(f(x) = 0\): se obtienen resolviendo la ecuación \(f(x) = 0\) El signo de \(f\) indica en qué intervalos la gráfica está por encima del eje \(OX\) (donde \(f > 0\)) y en cuáles está por debajo (donde \(f < 0\)). Para determinarlo se marcan en la recta real los ceros de \(f\) y los puntos donde \(f\) no está definida, y se estudia el signo en cada intervalo resultante, ya que una función continua no puede cambiar de signo sin anularse. Esta información es imprescindible para dibujar correctamente las ramas de la gráfica cerca de las asíntotas verticales. Ejemplo: Para \(f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}\) el único cero es \(x = 0\) y los puntos de discontinuidad son \(x = \pm 1\) El signo de \(f\) es positivo en \((-\infty, -1)\) y en \((1, +\infty)\), y negativo en \((-1, 0)\) y en \((0, 1)\) 4. Asíntotas verticales La recta \(x = a\) es una asíntota vertical de \(f\) si \(\lim_{x \to a} |f(x)| = +\infty\) entendiendo el límite por la izquierda, por la derecha o bilateral. En la práctica aparecen en los puntos del borde del dominio donde la función no está definida: ceros del denominador de una fracción, el origen para el logaritmo, y similares. La posición de la gráfica respecto de la asíntota la da el signo de \(f(x)\) cuando \(x\) se acerca a \(a\) por cada lado: si \(f(x) \to +\infty\) la rama sube, y si \(f(x) \to -\infty\) la rama baja. Para determinarla se calculan los dos límites laterales \(\lim_{x \to a^-} f(x)\) y \(\lim_{x \to a^+} f(x)\) Ejemplo: La función \(f(x) = \frac{1}{x - 2}\) tiene la asíntota vertical \(x = 2\) Como \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty\) y \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty\), la rama izquierda baja y la rama derecha sube. 5. Asíntotas horizontales y oblicuas La recta \(y = b\) es una asíntota horizontal de \(f\) cuando \(x \to +\infty\) si \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = b\), y análogamente cuando \(x \to -\infty\) La posición de la gráfica respecto de la asíntota la da el signo de la diferencia \(f(x) - b\) para valores grandes de \(|x|\): si es positiva, la gráfica se acerca por encima; si es negativa, por debajo. La recta \(y = mx + n\) con \(m \ne 0\) es una asíntota oblicua cuando \(x \to +\infty\) si \(\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (mx + n)] = 0\), y análogamente en \(-\infty\) Los coeficientes se obtienen con los límites \(m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}\) y \(n = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - mx]\) Si existe asíntota horizontal en un extremo, no puede haber oblicua en ese mismo extremo. Para las funciones racionales, si el grado del numerador es menor que el del denominador hay asíntota horizontal \(y = 0\); si los grados son iguales, la asíntota es el cociente de los coeficientes principales; si el numerador supera en uno al denominador, hay asíntota oblicua, que se obtiene con la división de polinomios. Ejemplo: Para \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}\) se tiene \(m = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1}{x(x-1)} = 1\) y \(n = \lim_{x \to +\infty} \left[\frac{x^2+1}{x-1} - x\right] = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 1}{x - 1} = 1\) La recta \(y = x + 1\) es asíntota oblicua cuando \(x \to +\infty\) y cuando \(x \to -\infty\) 6. Límites de referencia para el estudio en el infinito El cálculo de asíntotas horizontales con exponenciales y logaritmos requiere algunos límites que se demuestran una vez y se usan como herramientas. Lema: para todo \(u > 0\) se cumple \(\ln u \le u - 1\) En efecto, la función \(g(u) = u - 1 - \ln u\) tiene derivada \(g'(u) = 1 - \frac{1}{u}\), que se anula en \(u = 1\) con cambio de negativa a positiva: \(u = 1\) es un mínimo absoluto y \(g(u) \ge g(1) = 0\) Con este lema: para \(x > 1\), \(\ln x = 2\ln(\sqrt{x}) \le 2(\sqrt{x} - 1) < 2\sqrt{x}\), luego \(0 < \frac{\ln x}{x} < \frac{2}{\sqrt{x}}\) y por el teorema del encaje \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0\) Con el cambio \(t = 1/x\) se obtiene \(\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{t \to +\infty} -\frac{\ln t}{t} = 0\) Para la exponencial se usa que \(e^t \ge t + 1 > t\) para todo \(t\) (la función \(h(t) = e^t - t\) tiene mínimo absoluto en \(t = 0\)). Para \(x > 0\), elevando al cuadrado \(e^{x/2} \ge \frac{x}{2}\) se obtiene \(e^x \ge \frac{x^2}{4}\), luego \(0 < x e^{-x} = \frac{x}{e^x} \le \frac{4}{x}\) y \(\lim_{x \to +\infty} x e^{-x} = 0\) Estos límites expresan que el logaritmo crece más despacio que cualquier potencia de \(x\) y que la exponencial crece más deprisa que cualquier potencia. Ejemplo: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x} = 0\), porque para \(x\) grande el numerador se comporta como \(2\ln x\) y el límite de referencia da cero. 7. Monotonía, extremos, curvatura y puntos de inflexión Con las derivadas calculadas se aplica todo lo desarrollado en la sección 1. 2. Se calcula \(f'(x)\) y se estudia su signo: los intervalos donde \(f'(x) > 0\) son de crecimiento estricto y donde \(f'(x) < 0\) son de decrecimiento estricto. Los puntos críticos (donde \(f'\) se anula o no existe) se clasifican con el criterio de la primera o de la segunda derivada, obteniendo los máximos y mínimos locales con sus valores. Se calcula \(f''(x)\) y se estudia su signo: donde \(f''(x) > 0\) la función es convexa y donde \(f''(x) < 0\) es cóncava. Los puntos donde \(f''\) se anula o no existe y cambia de signo son los puntos de inflexión, con sus coordenadas. Toda esta información se recoge en una tabla de signos que resume el comportamiento de \(f\), \(f'\) y \(f''\) en cada intervalo del dominio. Ejemplo: Para \(f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}\) se obtiene \(f'(x) = -\frac{2x}{(x^2-1)^2}\): la función crece en \((-\infty, -1)\) y en \((-1, 0)\), y decrece en \((0, 1)\) y en \((1, +\infty)\), con máximo local en \((0, 0)\) Además \(f''(x) = \frac{6x^2 + 2}{(x^2-1)^3}\): la función es convexa donde \(|x| > 1\) y cóncava donde \(|x| < 1\), sin puntos de inflexión. 8. Tabla de valores y trazado de la gráfica El último paso es dibujar la gráfica con toda la información reunida. Se trazan los ejes de coordenadas y se dibujan a trazos las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Se marcan los puntos notables: cortes con los ejes, máximos y mínimos locales y puntos de inflexión, calculando sus coordenadas exactas. Se añaden algunos puntos intermedios calculando valores de \(f\) en puntos cómodos, para fijar la posición de cada rama. Finalmente se trazan las ramas uniendo los puntos de forma suave, respetando en cada intervalo la monotonía (si sube o baja), la curvatura (si la curva mira hacia arriba o hacia abajo) y el comportamiento cerca de las asíntotas y en el infinito. Una gráfica es correcta cuando un lector puede leer en ella, sin hacer cálculos, el dominio, el signo, las asíntotas, los intervalos de monotonía y la curvatura. Ejemplo: Para \(f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}\) la tabla de valores \((-2, 4/3)\), \((0, 0)\), \((2, 4/3)\), junto con las asíntotas \(x = \pm 1 \ \text{e}\\y = 1\), determina el dibujo: dos ramas exteriores que bajan hacia la asíntota horizontal desde arriba y una rama central con forma de valle con mínimo en el origen. Ejemplo 1: Realizar el estudio completo y describir la gráfica de la función \(f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}\)