Máximos y mínimos absolutos

Question

1. Máximos y mínimos absolutos: definición Sea $f$ una función definida en un conjunto $A$ Se dice que $f$ tiene un máximo absoluto en $c \in A$ si $f(c) \ge f(x)$ para todo $x \in A$; el valor $f(c)$ se llama valor máximo absoluto de $f$ en $A$ Se dice que $f$ tiene un mínimo absoluto en $c \in A$ si $f(c) \le f(x)$ para todo $x \in A$; el valor $f(c)$ se llama valor mínimo absoluto de $f$ en $A$ A diferencia de los extremos locales, que comparan con un entorno, los extremos absolutos comparan con todo el conjunto $A$: son los valores mayor y menor que la función alcanza en $A$ Un extremo absoluto interior es también un extremo local, pero un extremo local no tiene por qué ser absoluto. Ejemplo: La función $f(x) = x^2$ en el conjunto $A = [-1, 2]$ tiene mínimo absoluto $0$ en $x = 0$ y máximo absoluto $4$ en $x = 2$ El punto $x = 0$ es a la vez mínimo local y mínimo absoluto. 2. El teorema de Weierstrass No toda función continua alcanza sus valores extremos: hacen falta hipótesis sobre el conjunto. Teorema (de Weierstrass, de los valores extremos): Si $f$ es continua en el intervalo cerrado y acotado $[a, b]$, entonces existen puntos $c, d \in [a, b]$ tales que $f(c)$ es el máximo absoluto y $f(d)$ es el mínimo absoluto de $f$ en $[a, b]$ Las dos hipótesis son esenciales. Si el intervalo no es cerrado, el extremo puede no alcanzarse: la función $f(x) = x$ en $(0, 1)$ no tiene máximo absoluto, aunque sus valores se acercan a $1$ tanto como se quiera. Si la función no es continua, el extremo puede no alcanzarse: la función que vale $0$ en $[0, 1)$ y $-1$ en $x = 1$ no tiene máximo absoluto en $[0, 1]$ El teorema garantiza la existencia, pero no dice dónde están los extremos: para localizarlos se usa el apartado siguiente. Ejemplo: La función $f(x) = \frac{1}{x}$ en el intervalo $(0, 1]$ es continua pero el intervalo no es cerrado. Tiene mínimo absoluto $1$ en $x = 1$, pero no tiene máximo absoluto, porque $f(x) \to +\infty$ cuando $x \to 0^+$ 3. Dónde pueden estar los extremos absolutos Sea $f$ continua en $[a, b]$ Si $f$ tiene un extremo absoluto en un punto interior $c \in (a, b)$, entonces ese punto es también un extremo local, luego por el teorema de Fermat $c$ es un punto crítico: $f'(c) = 0$ o $f'$ no existe en $c$ Por tanto, los extremos absolutos de una función continua en $[a, b]$ solo pueden estar en tres tipos de puntos: los puntos críticos interiores, el extremo izquierdo $a$ y el extremo derecho $b$ Esta observación convierte la búsqueda en un procedimiento finito: basta evaluar $f$ en una lista de candidatos y comparar los valores. Ejemplo: Para $f(x) = |x|$ en $[-2, 1]$, el único punto crítico interior es $x = 0$, donde la derivada no existe. Los candidatos son $-2$, $0$ y $1$, con valores $2$, $0$ y $1$ respectivamente. 4. Procedimiento en intervalos cerrados Para hallar los extremos absolutos de una función $f$ continua en $[a, b]$ se siguen estos pasos. Primero, se hallan los puntos críticos de $f$ en el intervalo abierto $(a, b)$: se calcula $f'(x)$ y se resuelve $f'(x) = 0$, añadiendo los puntos donde $f'$ no exista. Segundo, se evalúa $f$ en cada punto crítico y en los dos extremos $a$ y $b$ Tercero, se comparan los valores obtenidos: el mayor es el máximo absoluto y el menor es el mínimo absoluto. El teorema de Weierstrass garantiza que este procedimiento siempre produce los extremos. Ejemplo: Para $f(x) = x^3 - 3x^2$ en $[-1, 3]$ se tiene $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$, con puntos críticos $x = 0$ y $x = 2$ Los valores son $f(-1) = -4$, $f(0) = 0$, $f(2) = -4$, $f(3) = 0$ El máximo absoluto es $0$, alcanzado en $x = 0$ y en $x = 3$; el mínimo absoluto es $-4$, alcanzado en $x = -1$ y en $x = 2$ 5. Intervalos no compactos: estudio con límites Si el conjunto no es un intervalo cerrado y acotado, el teorema de Weierstrass no se aplica y hay que estudiar el comportamiento de $f$ en los bordes mediante límites. En un intervalo abierto $(a, b)$ se calculan los puntos críticos interiores y se comparan sus valores con los límites $\lim_{x \to a^+} f(x)$ y $\lim_{x \to b^-} f(x)$: si un valor crítico supera a ambos límites laterales, es el máximo absoluto; si es inferior a ambos, es el mínimo absoluto. En un intervalo no acotado, como $[a, +\infty)$ o $(-\infty, +\infty)$, se estudian además los límites cuando $x \to +\infty$ o $x \to -\infty$ Si $f$ tiende a $+\infty$ en todos los bordes, el menor valor crítico es el mínimo absoluto; si tiende a $-\infty$, el mayor valor crítico es el máximo absoluto. Ejemplo: Para $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ en $\mathbb{R}$ se tiene $f'(x) = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$, con puntos críticos $x = -1$ y $x = 1$ Los valores son $f(-1) = -1/2$ y $f(1) = 1/2$ Como $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$, el máximo absoluto es $1/2$ en $x = 1$ y el mínimo absoluto es $-1/2$ en $x = -1$ 6. Problemas de optimización Muchos problemas consisten en maximizar o minimizar una magnitud sometida a una condición: son los problemas de optimización. El método consta de cuatro fases. Primera, identificar la magnitud que se quiere optimizar y la variable o variables de las que depende. Segunda, usar la condición del problema para expresar la magnitud como función de una sola variable, determinando su dominio con sentido físico o geométrico. Tercera, hallar los extremos absolutos de esa función en su dominio con los procedimientos de los apartados 4 y 5. Cuarta, traducir el resultado matemático a la respuesta del problema, con sus unidades. La fase decisiva es la segunda: una buena elección de la variable simplifica todos los cálculos posteriores. Ejemplo: Entre todos los rectángulos de perímetro $20$, el de área máxima se obtiene así: si $x$ es la base, la altura es $10 - x$ y el área es $A(x) = x(10 - x)$ con $0 < x < 10$ Como $A'(x) = 10 - 2x$ se anula en $x = 5$ y $A$ tiende a $0$ en los bordes, el máximo absoluto es $A(5) = 25$: el rectángulo óptimo es el cuadrado de lado $5$ Ejemplo 1: Hallar los máximos y mínimos absolutos de la función $f(x) = x^3 - 3x + 1$ en el intervalo $[-2, 2]$ Explicación: La función es un polinomio, luego es continua en el intervalo cerrado y el teorema de Weierstrass garantiza que alcanza sus extremos absolutos. Se aplica el procedimiento de tres pasos: puntos críticos, evaluación y comparación. PASO 1: Puntos críticos en $(-2, 2)$ $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$ $f'(x) = 0$ equivale a $x = -1$ o $x = 1$; la derivada existe en todo punto, así que estos son todos los puntos críticos. PASO 2: Evaluación de $f$ en los puntos críticos y en los extremos del intervalo. $f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1$ $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$ PASO 3: Comparación de los valores. El mayor valor obtenido es $3$ y el menor es $-1$ Conclusión: El máximo absoluto de $f$ en $[-2, 2]$ es $3$, alcanzado en $x = -1$ y en $x = 2$; el mínimo absoluto es $-1$, alcanzado en $x = -2$ y en $x = 1$ Ejemplo 2: Se quiere construir una caja de base cuadrada y sin tapa con un volumen de $108$ decímetros cúbicos. Determinar las dimensiones de la caja que minimizan la cantidad de material necesario. Explicación: La cantidad de material es proporcional a la superficie de la caja. Se expresa la superficie como función del lado de la base usando la condición del volumen, y se busca su mínimo absoluto en $(0, +\infty)$ estudiando los límites en los bordes. PASO 1: Planteamiento. Sea $x$ el lado de la base (en decímetros) y sea $h$ la altura. La condición de volumen es $x^2 h = 108$, de donde $h = \frac{108}{x^2}$ con $x > 0$ La superficie (base más cuatro caras laterales, sin tapa) es $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \frac{108}{x^2} = x^2 + \frac{432}{x}$ PASO 2: Puntos críticos de $S$ $S'(x) = 2x - \frac{432}{x^2} = \frac{2x^3 - 432}{x^2}$ $S'(x) = 0$ equivale a $2x^3 = 432$, es decir, $x^3 = 216$, de donde $x = 6$ PASO 3: Carácter del punto crítico y comportamiento en los bordes. $S''(x) = 2 + \frac{864}{x^3} > 0$ para todo $x > 0$, luego $x = 6$ es un mínimo local. Además $\lim_{x \to 0^+} S(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to +\infty} S(x) = +\infty$, así que el mínimo local es el mínimo absoluto. La altura correspondiente es $h = \frac{108}{36} = 3$ Conclusión: La caja que minimiza el material tiene base cuadrada de $6$ decímetros de lado y $3$ decímetros de altura, con superficie mínima $S(6) = 36 + 72 = 108$ decímetros cuadrados. Ejemplo 3: Estudiar los extremos absolutos de la función $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ en el intervalo $(0, +\infty)$ Explicación: El intervalo no es cerrado ni acotado, así que el teorema de Weierstrass no se aplica directamente. Se hallan los puntos críticos y se comparan sus valores con los límites en los bordes $0$ y $+\infty$ PASO 1: Puntos críticos. $f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$ $f'(x) = 0$ equivale a $\ln x = 1$, es decir, $x = e$ Como $f'(x) > 0$ en $(0, e)$ y $f'(x) < 0$ en $(e, +\infty)$, en $x = e$ hay un máximo local con valor $f(e) = 1/e$ PASO 2: Límites en los bordes. $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = -\infty$, porque el numerador tiende a $-\infty$ y el denominador a $0^+$ $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$, porque el logaritmo crece más despacio que cualquier potencia de $x$ PASO 3: Decisión. El valor $f(e) = 1/e > 0$ supera al límite $0$ en $+\infty$, luego es el máximo absoluto. Como la función tiende a $-\infty$ cuando $x \to 0^+$, no está acotada inferiormente y no tiene mínimo absoluto. Conclusión: La función alcanza su máximo absoluto $1/e$ en $x = e$ y no tiene mínimo absoluto en $(0, +\infty)$

Accepted Answer

Enunciado del ejercicio

1. Máximos y mínimos absolutos: definición Sea $f$ una función definida en un conjunto $A$ Se dice que $f$ tiene un máximo absoluto en $c \in A$ si $f(c) \ge f(x)$ para todo $x \in A$; el valor $f(c)$ se llama valor máximo absoluto de $f$ en $A$ Se dice que $f$ tiene un mínimo absoluto en $c \in A$ si $f(c) \le f(x)$ para todo $x \in A$; el valor $f(c)$ se llama valor mínimo absoluto de $f$ en $A$ A diferencia de los extremos locales, que comparan con un entorno, los extremos absolutos comparan con todo el conjunto $A$: son los valores mayor y menor que la función alcanza en $A$ Un extremo absoluto interior es también un extremo local, pero un extremo local no tiene por qué ser absoluto. Ejemplo: La función $f(x) = x^2$ en el conjunto $A = [-1, 2]$ tiene mínimo absoluto $0$ en $x = 0$ y máximo absoluto $4$ en $x = 2$ El punto $x = 0$ es a la vez mínimo local y mínimo absoluto. 2. El teorema de Weierstrass No toda función continua alcanza sus valores extremos: hacen falta hipótesis sobre el conjunto. Teorema (de Weierstrass, de los valores extremos): Si $f$ es continua en el intervalo cerrado y acotado $[a, b]$, entonces existen puntos $c, d \in [a, b]$ tales que $f(c)$ es el máximo absoluto y $f(d)$ es el mínimo absoluto de $f$ en $[a, b]$ Las dos hipótesis son esenciales. Si el intervalo no es cerrado, el extremo puede no alcanzarse: la función $f(x) = x$ en $(0, 1)$ no tiene máximo absoluto, aunque sus valores se acercan a $1$ tanto como se quiera. Si la función no es continua, el extremo puede no alcanzarse: la función que vale $0$ en $[0, 1)$ y $-1$ en $x = 1$ no tiene máximo absoluto en $[0, 1]$ El teorema garantiza la existencia, pero no dice dónde están los extremos: para localizarlos se usa el apartado siguiente. Ejemplo: La función $f(x) = \frac{1}{x}$ en el intervalo $(0, 1]$ es continua pero el intervalo no es cerrado. Tiene mínimo absoluto $1$ en $x = 1$, pero no tiene máximo absoluto, porque $f(x) \to +\infty$ cuando $x \to 0^+$ 3. Dónde pueden estar los extremos absolutos Sea $f$ continua en $[a, b]$ Si $f$ tiene un extremo absoluto en un punto interior $c \in (a, b)$, entonces ese punto es también un extremo local, luego por el teorema de Fermat $c$ es un punto crítico: $f'(c) = 0$ o $f'$ no existe en $c$ Por tanto, los extremos absolutos de una función continua en $[a, b]$ solo pueden estar en tres tipos de puntos: los puntos críticos interiores, el extremo izquierdo $a$ y el extremo derecho $b$ Esta observación convierte la búsqueda en un procedimiento finito: basta evaluar $f$ en una lista de candidatos y comparar los valores. Ejemplo: Para $f(x) = |x|$ en $[-2, 1]$, el único punto crítico interior es $x = 0$, donde la derivada no existe. Los candidatos son $-2$, $0$ y $1$, con valores $2$, $0$ y $1$ respectivamente. 4. Procedimiento en intervalos cerrados Para hallar los extremos absolutos de una función $f$ continua en $[a, b]$ se siguen estos pasos. Primero, se hallan los puntos críticos de $f$ en el intervalo abierto $(a, b)$: se calcula $f'(x)$ y se resuelve $f'(x) = 0$, añadiendo los puntos donde $f'$ no exista. Segundo, se evalúa $f$ en cada punto crítico y en los dos extremos $a$ y $b$ Tercero, se comparan los valores obtenidos: el mayor es el máximo absoluto y el menor es el mínimo absoluto. El teorema de Weierstrass garantiza que este procedimiento siempre produce los extremos. Ejemplo: Para $f(x) = x^3 - 3x^2$ en $[-1, 3]$ se tiene $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$, con puntos críticos $x = 0$ y $x = 2$ Los valores son $f(-1) = -4$, $f(0) = 0$, $f(2) = -4$, $f(3) = 0$ El máximo absoluto es $0$, alcanzado en $x = 0$ y en $x = 3$; el mínimo absoluto es $-4$, alcanzado en $x = -1$ y en $x = 2$ 5. Intervalos no compactos: estudio con límites Si el conjunto no es un intervalo cerrado y acotado, el teorema de Weierstrass no se aplica y hay que estudiar el comportamiento de $f$ en los bordes mediante límites. En un intervalo abierto $(a, b)$ se calculan los puntos críticos interiores y se comparan sus valores con los límites $\lim_{x \to a^+} f(x)$ y $\lim_{x \to b^-} f(x)$: si un valor crítico supera a ambos límites laterales, es el máximo absoluto; si es inferior a ambos, es el mínimo absoluto. En un intervalo no acotado, como $[a, +\infty)$ o $(-\infty, +\infty)$, se estudian además los límites cuando $x \to +\infty$ o $x \to -\infty$ Si $f$ tiende a $+\infty$ en todos los bordes, el menor valor crítico es el mínimo absoluto; si tiende a $-\infty$, el mayor valor crítico es el máximo absoluto. Ejemplo: Para $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ en $\mathbb{R}$ se tiene $f'(x) = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$, con puntos críticos $x = -1$ y $x = 1$ Los valores son $f(-1) = -1/2$ y $f(1) = 1/2$ Como $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$, el máximo absoluto es $1/2$ en $x = 1$ y el mínimo absoluto es $-1/2$ en $x = -1$ 6. Problemas de optimización Muchos problemas consisten en maximizar o minimizar una magnitud sometida a una condición: son los problemas de optimización. El método consta de cuatro fases. Primera, identificar la magnitud que se quiere optimizar y la variable o variables de las que depende. Segunda, usar la condición del problema para expresar la magnitud como función de una sola variable, determinando su dominio con sentido físico o geométrico. Tercera, hallar los extremos absolutos de esa función en su dominio con los procedimientos de los apartados 4 y 5. Cuarta, traducir el resultado matemático a la respuesta del problema, con sus unidades. La fase decisiva es la segunda: una buena elección de la variable simplifica todos los cálculos posteriores. Ejemplo: Entre todos los rectángulos de perímetro $20$, el de área máxima se obtiene así: si $x$ es la base, la altura es $10 - x$ y el área es $A(x) = x(10 - x)$ con $0 < x < 10$ Como $A'(x) = 10 - 2x$ se anula en $x = 5$ y $A$ tiende a $0$ en los bordes, el máximo absoluto es $A(5) = 25$: el rectángulo óptimo es el cuadrado de lado $5$ Ejemplo 1: Hallar los máximos y mínimos absolutos de la función $f(x) = x^3 - 3x + 1$ en el intervalo $[-2, 2]$

Explicación

La función es un polinomio, luego es continua en el intervalo cerrado y el teorema de Weierstrass garantiza que alcanza sus extremos absolutos. Se aplica el procedimiento de tres pasos: puntos críticos, evaluación y comparación.

PASO 1

Puntos críticos en $(-2, 2)$

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$$

$f'(x) = 0$ equivale a $x = -1$ o $x = 1$; la derivada existe en todo punto, así que estos son todos los puntos críticos.

PASO 2

Evaluación de $f$ en los puntos críticos y en los extremos del intervalo.

$$f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1$$

$$f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$$

$$f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$$

$$f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$$

PASO 3

Comparación de los valores.

El mayor valor obtenido es $3$ y el menor es $-1$

Conclusión

El máximo absoluto de $f$ en $[-2, 2]$ es $3$, alcanzado en $x = -1$ y en $x = 2$; el mínimo absoluto es $-1$, alcanzado en $x = -2$ y en $x = 1$

Ejemplo 2:

Se quiere construir una caja de base cuadrada y sin tapa con un volumen de $108$ decímetros cúbicos. Determinar las dimensiones de la caja que minimizan la cantidad de material necesario.

Explicación

La cantidad de material es proporcional a la superficie de la caja. Se expresa la superficie como función del lado de la base usando la condición del volumen, y se busca su mínimo absoluto en $(0, +\infty)$ estudiando los límites en los bordes.

PASO 1

Planteamiento. Sea $x$ el lado de la base (en decímetros) y sea $h$ la altura.

La condición de volumen es $x^2 h = 108$, de donde $h = \frac{108}{x^2}$ con $x > 0$ La superficie (base más cuatro caras laterales, sin tapa) es:

$$S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \frac{108}{x^2} = x^2 + \frac{432}{x}$$

PASO 2

Puntos críticos de $S$

$$S'(x) = 2x - \frac{432}{x^2} = \frac{2x^3 - 432}{x^2}$$

$S'(x) = 0$ equivale a $2x^3 = 432$, es decir, $x^3 = 216$, de donde $x = 6$

PASO 3

Carácter del punto crítico y comportamiento en los bordes.

$S''(x) = 2 + \frac{864}{x^3} > 0$ para todo $x > 0$, luego $x = 6$ es un mínimo local. Además $\lim_{x \to 0^+} S(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to +\infty} S(x) = +\infty$, así que el mínimo local es el mínimo absoluto. La altura correspondiente es $h = \frac{108}{36} = 3$

Conclusión

La caja que minimiza el material tiene base cuadrada de $6$ decímetros de lado y $3$ decímetros de altura, con superficie mínima $S(6) = 36 + 72 = 108$ decímetros cuadrados.

Ejemplo 3:

Estudiar los extremos absolutos de la función $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ en el intervalo $(0, +\infty)$

Explicación

El intervalo no es cerrado ni acotado, así que el teorema de Weierstrass no se aplica directamente. Se hallan los puntos críticos y se comparan sus valores con los límites en los bordes $0$ y $+\infty$

PASO 1

Puntos críticos.

$$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$

$f'(x) = 0$ equivale a $\ln x = 1$, es decir, $x = e$

Como $f'(x) > 0$ en $(0, e)$ y $f'(x) < 0$ en $(e, +\infty)$, en $x = e$ hay un máximo local con valor $f(e) = 1/e$

PASO 2

Límites en los bordes.

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = -\infty$, porque el numerador tiende a $-\infty$ y el denominador a $0^+$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$, porque el logaritmo crece más despacio que cualquier potencia de $x$

PASO 3

Decisión.

El valor $f(e) = 1/e > 0$ supera al límite $0$ en $+\infty$, luego es el máximo absoluto. Como la función tiende a $-\infty$ cuando $x \to 0^+$, no está acotada inferiormente y no tiene mínimo absoluto.

Conclusión

La función alcanza su máximo absoluto $1/e$ en $x = e$ y no tiene mínimo absoluto en $(0, +\infty)$

Máximos y mínimos absolutos

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