4.8 4.8 Sucesos compatibles e incompatibles
Definición y distinción clave
- Sucesos incompatibles (mutuamente excluyentes): No pueden ocurrir simultáneamente.
Su intersección es vacía:
- Sucesos compatibles: Pueden ocurrir a la vez en una misma realización del experimento:
¡ALERTA CONCEPTUAL!
Incompatibilidad \(\ne \) Independencia:
Si dos sucesos no imposibles (\(P(A)>0, P(B)>0 \)) son incompatibles (\(P(A \cap B) = 0 \)), entonces nunca son independientes , ya que \(P(A) \cdot P(B) > 0 \ne P(A \cap B) \)
En un dado, «sacar un 1» y «sacar un 6» son incompatibles (no pueden ocurrir a la vez), mientras que «sacar par» y «sacar mayor que 3» son compatibles: comparten el 4 y el 6, luego \(P(A \cap B) > 0 \)
La intersección vacía como criterio
Al lanzar un dado, \(A = \{1\} \) y \(B = \{2,4, 6\} \) son incompatibles, porque \(A \cap B = \emptyset \): ningún resultado es a la vez un uno y un número par.
El criterio operativo es siempre el mismo: calcular la intersección.
Si la intersección contiene algún elemento, los sucesos son compatibles;
si la intersección es el conjunto vacío, son incompatibles.
Este criterio vale también para más de dos sucesos: una familia de sucesos es dos a dos incompatible cuando la intersección de cada pareja es vacía.
Un caso particular importante es el de un suceso y su contrario: \(A \) y \(A^c \) son siempre incompatibles, ya que \(A \cap A^c = \emptyset \) por definición de contrario.
Incompatibilidad no implica independencia
Al lanzar un dado, si \(A = \text{salir par} \), su contrario es \(A^c = \text{salir impar} \)
Siempre son incompatibles: \(A \cap A^c = \emptyset \), porque ningún resultado es par e impar a la vez.
Como ya advertimos en la sección 4.12, no debe confundirse la incompatibilidad con la independencia.
La incompatibilidad es una propiedad de los conjuntos: \(A \cap B = \emptyset \)
La independencia es una propiedad de las probabilidades: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
Si \(A \) y \(B \) son incompatibles y ambos tienen probabilidad positiva, entonces \(P(A \cap B) = 0 \) mientras que \(P(A) \cdot P(B) > 0 \), luego son dependientes: saber que ocurrió \(A \) nos garantiza que \(B \) no ha ocurrido.
Solo en el caso degenerado en que uno de los dos tenga probabilidad cero pueden ser a la vez incompatibles e independientes.
Al lanzar un dado equilibrado de 6 caras, considera los sucesos \(A \), "sacar un número menor que 3", y \(B \), "sacar un número mayor que 4".
Determina si son compatibles o incompatibles.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir cada suceso como conjunto de resultados elementales.
A continuación calcularemos su intersección para ver si comparten algún resultado.
Para terminar aplicaremos la definición de incompatibilidad y obtendremos la probabilidad de la intersección.
Escritura de los sucesos como conjuntos.
El suceso "sacar un número menor que 3" está formado por los resultados 1 y 2, luego \(A = \{1,2\} \)
El suceso "sacar un número mayor que 4" está formado por los resultados 5 y 6, luego \(B = \{5,6\} \)
Cálculo de la intersección y conclusión.
Ningún resultado pertenece a la vez a ambos conjuntos, por lo que la intersección es el conjunto vacío:
Al no poder ocurrir simultáneamente, los sucesos \(A \) y \(B \) son incompatibles, y en consecuencia su probabilidad conjunta es nula:
Los sucesos son incompatibles.
Al extraer una carta de una baraja española de 40 cartas, considera los sucesos \(A \), "sacar una copa", y \(B \), "sacar un as".
Determina si son compatibles o incompatibles.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar qué cartas pertenecen a cada suceso.
A continuación calcularemos la intersección de ambos sucesos buscando las cartas comunes a los dos.
Para terminar aplicaremos la definición de compatibilidad y calcularemos la probabilidad de la intersección con la regla de Laplace.
Identificación de las cartas de cada suceso.
El suceso \(A \) está formado por las 10 copas de la baraja y el suceso \(B \) por los 4 ases.
La carta "as de copas" es a la vez una copa y un as, luego pertenece a los dos sucesos.
Intersección de los sucesos y compatibilidad.
La intersección contiene exactamente esa carta común:
Como la intersección no es vacía, ambos sucesos pueden ocurrir a la vez: son compatibles.
Por la regla de Laplace, con 40 cartas equiprobables:
que es mayor que cero, como exige la definición de sucesos compatibles.
Los sucesos son compatibles, con probabilidad de intersección igual a 1/
40.
Sean dos sucesos A y B con P(A) = 0,3 y P(B) = 0,4, que además son incompatibles.
Determina si A y B son independientes.
Para resolver este ejemplo empezaremos por obtener la probabilidad de la intersección a partir de la hipótesis de incompatibilidad.
A continuación recordaremos la caracterización de la independencia mediante el producto de las probabilidades marginales.
Para terminar compararemos ambos valores y extraeremos la conclusión sobre la dependencia.
Probabilidad de la intersección por incompatibilidad.
Si dos sucesos son incompatibles, su intersección es vacía y por tanto su probabilidad es cero:
Producto de las probabilidades marginales.
Dos sucesos no imposibles son independientes si y solo si la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades.
Calculamos dicho producto:
Comparación y conclusión.
La probabilidad de la intersección es \(P(A \cap B) = 0 \), mientras que el producto de las marginales es \(P(A) \cdot P(B) = 0,12 \)
Como \(0 \ne 0,12 \), se tiene que \(P(A \cap B) \ne P(A) \cdot P(B) \), de modo que los sucesos no verifican la condición de independencia: son dependientes.
Queda así ilustrada la alerta conceptual de la sección: incompatibilidad no es lo mismo que independencia; de hecho, dos sucesos no imposibles incompatibles nunca son independientes.
A y B no son independientes, sino dependientes.
Una urna contiene bolas de tres colores: rojas, azules y verdes.
Se extrae una bola al azar.
Sean \(R \) el suceso salir bola roja, \(A \) el suceso salir bola azul y \(V \) el suceso salir bola verde.
Estudia la compatibilidad de cada pareja y calcula \(P(R \cup A) \) sabiendo que hay \(3 \) bolas rojas, \(2 \) azules y \(5 \) verdes.
Para resolver este ejemplo empezaremos por analizar la compatibilidad de las tres parejas de sucesos.
A continuación calcularemos las probabilidades individuales de cada suceso.
Para terminar obtendremos la probabilidad de la unión usando la propiedad de los sucesos incompatibles.
Compatibilidad de las parejas.
Cada extracción da una única bola de un único color, luego ningún resultado pertenece a dos de estos sucesos a la vez:
Las tres parejas son incompatibles: los sucesos son dos a dos mutuamente excluyentes.
Esta es la situación típica de una partición del espacio muestral por colores.
Probabilidades individuales.
La urna contiene \(3 + 2 + 5 = 10 \) bolas en total, todas equiprobables:
Probabilidad de la unión de incompatibles.
Como \(R \) y \(A \) son incompatibles, el tercer axioma de Kolmogorov permite sumar directamente:
Es decir, \(P(R \cup A) = 0,5 \)
Este ejemplo anticipa la fórmula de la unión de la sección 4.9: cuando los sucesos son incompatibles, la intersección tiene probabilidad cero y la fórmula general se reduce a la suma.
Se lanza un dado equilibrado.
Sean \(P \) el suceso salir número par y \(M \) el suceso salir múltiplo de tres.
Calcula \(P(P \cup M) \) de dos formas: por conteo directo y comprobando si se puede sumar las probabilidades.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir los dos sucesos y sus probabilidades individuales.
A continuación estudiaremos su intersección para decidir si son compatibles o incompatibles.
Para terminar calcularemos la probabilidad de la unión por conteo directo y analizaremos si la suma directa habría sido correcta.
Los sucesos y sus probabilidades.
Estudio de la intersección.
\(P \cap M = \{6\} \), porque el seis es par y múltiplo de tres a la vez.
La intersección no es vacía: \(P \) y \(M \) son compatibles, luego el tercer axioma no se aplica directamente a su unión.
Cálculo de la probabilidad de la unión.
Por conteo directo: \(P \cup M = \{2,3, 4,6\} \), que tiene cuatro elementos de seis, luego \(P(P \cup M) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
Si sumáramos directamente obtendríamos $$P(P) + P(M) = 0,5 + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} $$, un valor incorrecto porque el seis se habría contado dos veces.
La probabilidad correcta es \(\frac{2}{3} \), no \(\frac{5}{6} \)
El tercer axioma solo autoriza sumar probabilidades cuando los sucesos son incompatibles; con sucesos compatibles hay que descontar la intersección.
En el lanzamiento de un dado equilibrado de 6 caras: 1) Estudia si los sucesos \(A = \{1,2\} \) y \(B = \{5,6\} \) son compatibles o incompatibles.
2) Estudia si los sucesos \(A = \{2,4, 6\} \) (número par) y \(C = \{1,2, 3\} \) (número menor que 4) son compatibles o incompatibles.
Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar que dos sucesos son incompatibles cuando su intersección es el conjunto vacío y compatibles cuando comparten al menos un resultado elemental.
A continuación calcularemos la intersección de cada pareja de sucesos para decidir en qué caso estamos.
Para terminar obtendremos la probabilidad de cada intersección con la regla de Laplace.
Los sucesos \(A = \{1,2\} \) y \(B = \{5,6\} \) son incompatibles.
Los resultados 1 y 2 no coinciden con ninguno de los resultados 5 y 6, de modo que no existe ningún resultado elemental común a ambos sucesos:
Como la intersección es vacía, los sucesos no pueden ocurrir simultáneamente: son incompatibles, y por tanto su probabilidad conjunta es nula:
Los sucesos \(A = \{2,4, 6\} \) y \(C = \{1,2, 3\} \) son compatibles.
El resultado 2 pertenece tanto al suceso "número par" como al suceso "número menor que 4", luego la intersección no es vacía:
Como comparten el resultado 2, ambos sucesos pueden ocurrir a la vez en una misma realización del experimento: son compatibles, y por la regla de Laplace su intersección tiene probabilidad
que es mayor que cero, como exige la definición de sucesos compatibles.
Los sucesos \(A = \{1,2\} \) y \(B = \{5,6\} \) son incompatibles, mientras que los sucesos \(A = \{2,4, 6\} \) y \(C = \{1,2, 3\} \) son compatibles.