4.7 4.7 Definición y axiomas de la probabilidad
Definición axiomática de Kolmogorov
La probabilidad es una función \(P: \mathcal{P}(E) \to \mathbb{R} \) que asigna a cada suceso \(A \) un número real cumpliendo tres axiomas inquebrantables:
Para cualquier suceso \(A \), su probabilidad está comprendida entre 0 y 1:
La probabilidad del suceso seguro \(E \) es la unidad:
Si \(A \cap B = \emptyset \), entonces \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)
En el lanzamiento de una moneda equilibrada, \(P(\{C\}) = 0,5 \) y \(P(\{+\}) = 0,5 \) cumplen los tres axiomas: son no negativas, \(P(E) = 0,5 + 0,5 = 1 \) y los dos sucesos elementales son incompatibles.
Consecuencias inmediatas de los axiomas
Los axiomas exigen, entre otras cosas, que la probabilidad del suceso seguro sea uno: al lanzar un dado, \(P(\Omega) = P(\{1,2, 3,4, 5,6\}) = 1 \), porque siempre sale alguno de los seis resultados.
De los tres axiomas se deducen, sin necesidad de hipótesis adicionales, las siguientes propiedades fundamentales.
En primer lugar, la probabilidad del suceso imposible es cero: \(P(\emptyset) = 0 \)
En efecto, consideremos la sucesión de sucesos \(\Omega, \emptyset, \emptyset, \dots \)
Son dos a dos incompatibles, porque \(\Omega \cap \emptyset = \emptyset \) y \(\emptyset \cap \emptyset = \emptyset \), y su unión es \(\Omega \), ya que añadir el vacío no aporta ningún elemento.
Aplicando el tercer axioma a esta sucesión:
Por el segundo axioma \(P(\Omega) = 1 \), luego \(1 = 1 + \sum_{n=2}^{\infty} P(\emptyset) \)
La serie es de términos no negativos por el primer axioma, así que su suma solo puede valer cero, y como todos los sumandos son iguales a \(P(\emptyset) \), se concluye que \(P(\emptyset) = 0 \)
Una vez probado esto, el tercer axioma implica la aditividad finita:
si \(A_1, \dots, A_n \) son incompatibles dos a dos, tomando \(A_{n+1} = \emptyset \), \(A_{n+2} = \emptyset \), y así sucesivamente, la serie se reduce a una suma finita, $$P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n P(A_i) $$, porque la cola es una suma de ceros.
En segundo lugar, la probabilidad del suceso contrario:
si \(A^c \) denota el suceso contrario de \(A \), es decir, el conjunto de resultados de \(\Omega \) que no están en \(A \), entonces \(P(A^c) = 1 - P(A) \)
Esto se debe a que \(A \cup A^c = \Omega \) y ambos son incompatibles, luego por aditividad finita \(P(\Omega) = P(A) + P(A^c) \), es decir, \(1 = P(A) + P(A^c) \) por el segundo axioma.
En tercer lugar, la monotonía:
si \(A \subseteq B \), entonces \(P(A) \leq P(B) \)
Intuitivamente, un suceso más pequeño no puede ser más probable que uno que lo contiene.
La demostración usa que, al estar \(A \) contenido en \(B \), se tiene \(B = A \cup (B \setminus A) \), y que \(A \) y \(B \setminus A \) son incompatibles, porque ningún elemento puede estar a la vez en \(A \) y fuera de \(A \)
Por aditividad finita \(P(B) = P(A) + P(B \setminus A) \), y como \(P(B \setminus A) \geq 0 \) por el primer axioma, se concluye que \(P(B) \geq P(A) \)
Regla de Laplace para sucesos equiprobables
Cuando todos los sucesos elementales del espacio muestral tienen la misma posibilidad de ocurrir:
Al extraer una bola de una urna con 3 rojas y 7 azules, la probabilidad de «bola roja» es \(P(R) = \frac{3}{10} = 0,3 \): tres casos favorables entre diez posibles equiprobables.
Calcula la probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado cúbico equilibrado.
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar que los sucesos elementales son equiprobables (el dado está equilibrado).
A continuación contaremos los casos posibles y los casos favorables al suceso "obtener un número primo". Para terminar aplicaremos la regla de Laplace y simplificaremos.
Verificación de las hipótesis y casos posibles.
Al tratarse de un dado equilibrado, las seis caras tienen la misma probabilidad de salir: los sucesos elementales son equiprobables y la regla de Laplace es aplicable.
Los casos posibles son los seis resultados del espacio muestral \(E = \{1,2, 3,4, 5,6\} \)
Recuento de casos favorables.
El suceso \(A \), "obtener un número primo", está formado por los primos del dado: el dos, el tres y el cinco (el uno no es primo; el cuatro y el seis son compuestos).
Luego hay tres casos favorables:
Aplicación de la regla de Laplace.
Conclusión: \(P(A) = \frac{1}{2} = 0,5 \) (un cincuenta por ciento).
Demuestra, a partir de los axiomas de Kolmogorov, que la probabilidad del suceso imposible es cero: \(P(\emptyset) = 0 \)
Explicación:
Para demostrar este resultado empezaremos por recordar los axiomas que vamos a usar: el axioma 2 (\(P(E) = 1 \)) y el axioma 3 (aditividad para sucesos incompatibles).
A continuación expresaremos el espacio muestral \(E \) como unión de \(E \) y \(\emptyset \), comprobando que son incompatibles.
Para terminar aplicaremos el axioma 3 y despejaremos \(P(\emptyset) \)
Expresión de E como unión de sucesos incompatibles.
Por las propiedades de los conjuntos, unir cualquier conjunto con el vacío lo deja inalterado, y la intersección de cualquier conjunto con el vacío es vacía:
La segunda igualdad nos dice que \(E \) y \(\emptyset \) son sucesos incompatibles (su intersección es vacía), luego podemos aplicarles el axioma 3 de aditividad.
Aplicación del axioma 3.
El axioma 3 establece que si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades.
Aplicándolo a \(E \) y \(\emptyset \):
Pero por el paso anterior \(E \cup \emptyset = E \), luego el miembro izquierdo de la igualdad es \(P(E) \):
Sustitución del axioma 2 y despeje.
Por el axioma 2 (certidumbre), \(P(E) = 1 \)
Sustituyendo en la igualdad anterior:
Restando uno en ambos miembros de la igualdad (operación válida en cualquier ecuación), obtenemos:
Conclusión: Queda demostrado a partir de los axiomas que \(P(\emptyset) = 0 \)
Calcula la probabilidad de extraer un rey de una baraja española de 40 cartas.
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar que la regla de Laplace es aplicable (extracción al azar: sucesos equiprobables).
A continuación contaremos los casos favorables (los cuatro reyes) y los casos posibles (las cuarenta cartas).
Para terminar aplicaremos la regla de Laplace y simplificaremos el resultado.
Casos favorables y casos posibles.
Al extraer la carta al azar, las cuarenta cartas son equiprobables.
Los casos posibles son cuarenta.
Los casos favorables al suceso "obtener un rey" son los cuatro reyes de la baraja (uno por palo).
Aplicación de la regla de Laplace.
Conclusión: \(P(\text{Rey}) = \frac{1}{10} = 0,1 \) (un diez por ciento).
Se considera el espacio muestral \(\Omega = \{a, b, c\} \) y se propone la asignación \(P(\{a\}) = 0,5 \), \(P(\{b\}) = 0,3 \), \(P(\{c\}) = 0,2 \)
Comprueba que esta asignación define una probabilidad sobre \(\Omega \) y calcula \(P(\{a, b\}) \)
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar que la asignación propuesta verifica los tres axiomas de Kolmogorov sobre los sucesos elementales.
A continuación extenderemos la probabilidad al suceso pedido usando la aditividad para sucesos incompatibles.
Para terminar interpretaremos el resultado obtenido.
Comprobación de los axiomas sobre los sucesos elementales.
El axioma de no negatividad se cumple porque \(0,5 \geq 0 \), \(0,3 \geq 0 \) y \(0,2 \geq 0 \)
El axioma de normalización exige que la suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales sea uno:
Como los sucesos elementales son dos a dos incompatibles, el axioma de aditividad permite extender la probabilidad a cualquier suceso sumando las probabilidades de sus elementos.
La asignación define, por tanto, una probabilidad válida.
Cálculo de la probabilidad del suceso pedido.
El suceso \(\{a, b\} \) es la unión de los sucesos elementales incompatibles \(\{a\} \) y \(\{b\} \), luego por el tercer axioma:
Así pues, \(P(\{a, b\}) = 0,8 \)
Interpretación del resultado.
Conclusión:
El valor \(0,8 \) es coherente con los axiomas: está entre cero y uno, como exige la no negatividad junto con la monotonía, ya que \(\{a, b\} \subseteq \Omega \) y por tanto \(P(\{a, b\}) \leq P(\Omega) = 1 \)
Hemos verificado así que la asignación propuesta es una probabilidad legítima.
En una urna hay diez bolas numeradas del \(1 \) al \(10 \) y se extrae una al azar.
Sea \(A \) el suceso salir número par.
Calcula \(P(A) \) y \(P(A^c) \) aplicando la propiedad del suceso contrario, y comprueba el resultado por conteo directo.
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por describir el espacio muestral y el suceso pedido.
A continuación calcularemos la probabilidad del suceso mediante el cociente de casos favorables entre casos posibles.
Para terminar obtendremos la probabilidad del suceso contrario con la fórmula deducida de los axiomas y la verificaremos por conteo directo.
Descripción del espacio muestral y del suceso.
El espacio muestral es \(\Omega = \{1,2, 3,4, 5,6, 7,8, 9,10\} \), con diez resultados equiprobables.
El suceso salir número par es \(A = \{2,4, 6,8, 10\} \), que contiene cinco resultados.
Su contrario, salir número impar, es \(A^c = \{1,3, 5,7, 9\} \)
Cálculo de la probabilidad del suceso.
Como los diez resultados son equiprobables, cada suceso elemental tiene probabilidad \(\frac{1}{10} \), y por aditividad:
Es decir, \(P(A) = 0,5 \)
Probabilidad del suceso contrario y comprobación.
Aplicando la consecuencia de los axiomas, \(P(A^c) = 1 - P(A) \):
Por conteo directo, \(A^c \) tiene cinco resultados de diez, luego \(P(A^c) = \frac{5}{10} = 0,5 \)
Conclusión:
Ambos procedimientos coinciden, lo que confirma la validez de la fórmula del suceso contrario deducida de los axiomas.
Se lanzan dos dados equilibrados y se considera la suma de las puntuaciones obtenidas.
Describe el espacio muestral, calcula cuántos resultados tiene y halla la probabilidad de que la suma sea siete.
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por describir el espacio muestral como el conjunto de parejas ordenadas y contar sus elementos.
A continuación identificaremos el suceso suma siete listando las parejas que lo componen.
Para terminar aplicaremos el tercer axioma sobre los sucesos elementales equiprobables para calcular la probabilidad.
Espacio muestral y número de resultados.
El primer dado puede salir de seis formas y, para cada una de ellas, el segundo también de seis formas.
Por tanto el espacio muestral es el conjunto de las treinta y seis parejas ordenadas \(\Omega = \{(1,1), (1,2), \dots, (6,6)\} \)
El número total de resultados es \(6 \cdot 6 = 36 \), todos ellos equiprobables por ser los dados equilibrados.
El suceso suma siete.
La suma vale siete exactamente en las parejas \((1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) \)
Llamando \(S \) a este suceso, $$S = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\} $$, que contiene seis sucesos elementales.
Cálculo de la probabilidad.
Como los treinta y seis resultados son equiprobables, cada suceso elemental tiene probabilidad \(\frac{1}{36} \)
El suceso \(S \) es la unión de seis sucesos elementales incompatibles, luego por el tercer axioma:
Conclusión:
La probabilidad de que la suma de dos dados sea siete es \(\frac{1}{6} \)
Es la suma más probable porque es la que más parejas la producen: seis de las treinta y seis posibles.
Al extraer una carta al azar de una baraja de 40 naipes, calcula la probabilidad de obtener un as aplicando la regla de Laplace.
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar que se cumplen las hipótesis de la regla de Laplace: todos los sucesos elementales son equiprobables al extraer la carta al azar.
A continuación contaremos los casos favorables (los cuatro ases) y los casos posibles (las cuarenta cartas).
Para terminar aplicaremos la regla de Laplace y simplificaremos el resultado.
Verificación de las hipótesis.
La regla de Laplace solo puede aplicarse cuando todos los sucesos elementales del espacio muestral tienen la misma probabilidad de ocurrir.
Al extraer una carta "al azar" de la baraja, cada una de las cuarenta cartas tiene la misma posibilidad de salir, luego los sucesos son equiprobables y la regla es aplicable.
Recuento de casos.
Los casos posibles son las cuarenta cartas de la baraja.
Los casos favorables al suceso "obtener un as" son los cuatro ases (uno por cada palo: oros, copas, espadas y bastos).
Aplicación de la regla de Laplace.
Por la regla de Laplace, la probabilidad es el cociente entre los casos favorables y los casos posibles:
Es decir, hay un \(10\% \) de probabilidad de extraer un as.
Conclusión: \(P(\text{As}) = \frac{1}{10} = 0,1 \) (un diez por ciento).