4.4 4.4 Complementario de un conjunto y Leyes de De Morgan
Suceso contrario o complementario
El suceso contrario (o complementario) de \(A \), denotado \(\bar{A} \) (o \(A^c \)), es aquel que ocurre cuando no ocurre \(A \)
\(A \cup \bar{A} = E \), \(A \cap \bar{A} = \emptyset \), \(\bar{E} = \emptyset \), \(\bar{\emptyset} = E \)
En el lanzamiento de un dado, si \(A = \{2,4, 6\} \) es «número par», su complementario es \(\bar{A} = \{1,3, 5\} \), «número impar»: \(A \cup \bar{A} = E \) y \(A \cap \bar{A} = \emptyset \)
Leyes de De Morgan
Establecen la dualidad fundamental entre la unión y la intersección bajo la complementación.
1ª LEY DE DE MORGAN: COMPLEMENTARIO DE LA UNIÓN
El complementario de la unión es la intersección de los complementarios (no ocurre ni \(A \) ni \(B \)):
2ª LEY DE DE MORGAN: COMPLEMENTARIO DE LA INTERSECCIÓN
El complementario de la intersección es la unión de los complementarios (al menos uno de ellos no ocurre):
3ª LEY DE DE MORGAN: INVOLUCIÓN
El complementario del complementario es el suceso original (negar dos veces equivale a no negar):
Con \(A = \{1,2\} \) y \(B = \{2,3\} \) en \(E = \{1,2, 3,4\} \)
Comprobamos la 1ª ley (complementario de la unión):
Se verifica la primera ley.
Comprobamos la 2ª ley (complementario de la intersección):
Se verifica la segunda ley.
Comprobamos la 3ª ley (involución):
Se verifica la tercera ley (involución).
En el lanzamiento de un dado, con espacio muestral \(E = \{1,2, 3,4, 5,6\} \), sean \(A = \{1,2\} \) y \(B = \{2,3\} \)
Comprueba numéricamente la primera ley de De Morgan: \(\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B} \)
Para comprobar la primera ley de De Morgan calcularemos por separado el miembro de la izquierda y el de la derecha.
Empezaremos por la izquierda: primero la unión \(A \cup B \) y después su complementario en \(E \). A continuación calcularemos los complementarios \(\bar{A} \) y \(\bar{B} \), y después su intersección.
Para terminar compararemos ambos resultados.
Cálculo del miembro izquierdo.
La unión de \(A \) y \(B \) recoge el uno, el dos y el tres:
Por definición, el complementario de un suceso está formado por los elementos del espacio muestral que no pertenecen al suceso.
Los elementos de \(E \) que no están en \(\{1,2, 3\} \) son el cuatro, el cinco y el seis:
Cálculo del miembro derecho.
Calculamos cada complementario en \(E \): los elementos que no están en \(A \) son el tres, el cuatro, el cinco y el seis; los que no están en \(B \) son el uno, el cuatro, el cinco y el seis:
La intersección contiene los elementos comunes a ambos complementarios: el cuatro, el cinco y el seis (el tres solo está en el primero y el uno solo en el segundo):
Comparación de ambos miembros.
Hemos obtenido \(\overline{A \cup B} = \{4,5, 6\} \) y \(\bar{A} \cap \bar{B} = \{4,5, 6\} \)
Ambos miembros coinciden, luego la igualdad queda verificada numéricamente:
Con los sucesos dados se verifica la primera ley de De Morgan: el complementario de la unión es la intersección de los complementarios.
Sea \(E = \{1,2, 3,4, 5,6\} \) el espacio muestral del lanzamiento de un dado y \(A = \{2,3, 5\} \) el suceso "obtener un número primo".
Calcula el suceso complementario \(\bar{A} \)
Para calcular el complementario empezaremos por recordar su definición: \(\bar{A} \) está formado por los elementos del espacio muestral que no pertenecen a \(A \). A continuación recorreremos los seis resultados de \(E \) y descartaremos los que están en \(A \). Para terminar comprobaremos el resultado con la propiedad fundamental \(A \cup \bar{A} = E \)
Selección de los elementos que no están en A.
Por definición, \(\bar{A} = E \setminus A \): contiene los resultados de \(E \) que no están en \(A \)
Recorremos: el uno no está en \(A \); el dos sí está; el tres sí está; el cuatro no está; el cinco sí está; el seis no está.
Por tanto:
Comprobación con la propiedad fundamental.
Todo suceso cumple \(A \cup \bar{A} = E \): cada resultado o bien está en \(A \) o bien no está.
Comprobamos uniendo los dos conjuntos obtenidos:
Se cumple la propiedad, luego el cálculo es correcto.
El suceso contrario de "obtener un número primo" es \(\bar{A} = \{1,4, 6\} \), es decir, "obtener un número no primo" (el uno no se considera primo).
Con los mismos sucesos \(A = \{1,2\} \) y \(B = \{2,3\} \), pero tomando ahora el espacio muestral \(E = \{1,2, 3,4, 5\} \), comprueba numéricamente la primera ley de De Morgan: \(\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B} \)
Para comprobar la ley empezaremos por observar que el complementario depende del espacio muestral, de modo que al cambiar \(E \) cambian los complementarios aunque \(A \) y \(B \) sean los mismos.
A continuación calcularemos el miembro izquierdo: la unión y su complementario en el nuevo \(E \). Para terminar calcularemos el miembro derecho (los complementarios y su intersección) y compararemos.
Cálculo del miembro izquierdo.
La unión no depende del espacio muestral:
El complementario sí depende de \(E \): los elementos de \(\{1,2, 3,4, 5\} \) que no están en \(\{1,2, 3\} \) son el cuatro y el cinco:
Cálculo del miembro derecho.
Los complementarios en el nuevo espacio muestral son:
Su intersección contiene los elementos comunes: el cuatro y el cinco (el tres solo está en el primero y el uno solo en el segundo):
Comparación de ambos miembros.
Ambos miembros valen \(\{4,5\} \): coinciden exactamente, luego la ley queda verificada también en este espacio muestral.
La primera ley de De Morgan se verifica igualmente con \(E = \{1,2, 3,4, 5\} \); obsérvese que los complementarios han cambiado respecto al ejemplo 1 (porque dependen del espacio muestral), pero la igualdad sigue cumpliéndose.
Con \(E = \{1,2, 3,4, 5\} \), \(A = \{1,2\} \) y \(B = \{2,3\} \), comprueba numéricamente la segunda ley de De Morgan: \(\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B} \)
Para comprobar la segunda ley de De Morgan calcularemos por separado el miembro de la izquierda y el de la derecha.
Empezaremos por la izquierda: primero la intersección \(A \cap B \) y después su complementario en \(E \). A continuación calcularemos el miembro derecho con los complementarios \(\bar{A} \) y \(\bar{B} \), ya obtenidos en el ejemplo anterior, y después su unión.
Para terminar compararemos ambos resultados.
Cálculo del miembro izquierdo.
El único elemento común a \(A \) y \(B \) es el dos:
Su complementario en \(E \) está formado por todos los elementos excepto el dos:
Cálculo del miembro derecho.
Del ejemplo anterior sabemos que \(\bar{A} = \{3,4, 5\} \) y que \(\bar{B} = \{1,4, 5\} \)
Su unión recoge los elementos de al menos uno de los dos: el uno, el tres, el cuatro y el cinco:
Comparación de ambos miembros.
Ambos miembros valen \(\{1,3, 4,5\} \), luego la igualdad queda verificada numéricamente.
Se verifica la segunda ley de De Morgan: el complementario de la intersección es la unión de los complementarios.
Sea el universal \(U = \{1,2, 3,4, 5,6, 7,8, 9,10\} \) y sea \(A = \{2,4, 6,8, 10\} \), el conjunto de los números pares.
Calcular \(A^c \) y comprobar que \((A^c)^c = A \), que \(A \cup A^c = U \) y que \(A \cap A^c = \emptyset \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el complementario de \(A \) respecto del universal.
A continuación calcularemos el complementario del complementario y comprobaremos que se recupera \(A \)
Para terminar comprobaremos la unión y la intersección de \(A \) con su complementario.
Cálculo del complementario.
Los elementos del universal que no están en \(A \) son los impares: \(A^c = \{1,3, 5,7, 9\} \)
Comprobación del doble complementario.
Los elementos del universal que no están en \(A^c \) son \((A^c)^c = \{2,4, 6,8, 10\} = A \)
Unión e intersección con el complementario.
Reuniendo pares e impares se cubre todo el universal: $$A \cup A^c = \{1,2, 3,4, 5,6, 7,8, 9,10\} = U $$
Ningún número es par e impar a la vez: \(A \cap A^c = \emptyset \)
Todo elemento del universal está en \(A \) o en su complementario, pero nunca en los dos a la vez.
Estas tres comprobaciones confirman las propiedades básicas del complementario enunciadas en la teoría.