4.3 4.3 Propiedades de la unión y la intersección
Propiedades fundamentales de las operaciones
| Propiedad | Unión ($$\cup $$) | Intersección ($$\cap $$) |
|---|---|---|
| Conmutativa | $$A \cup B = B \cup A $$ | $$A \cap B = B \cap A $$ |
| Asociativa | $$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $$ | $$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) $$ |
| Idempotencia | $$A \cup A = A $$ | $$A \cap A = A $$ |
| Elemento neutro | $$A \cup \emptyset = A $$ | $$A \cap E = A $$ |
| Absorción | $$A \cup (A \cap B) = A $$ | $$A \cap (A \cup B) = A $$ |
Con \(A = \{1,2, 3\} \) se comprueba la idempotencia: \(A \cup A = \{1,2, 3\} = A \) y \(A \cap A = A \); unir o intersecar un suceso consigo mismo no añade ni quita ningún resultado.
Leyes distributivas
Distributiva de la unión respecto de la intersección:
Distributiva de la intersección respecto de la unión:
Con \(A = \{1,2\} \), \(B = \{2,3\} \) y \(C = \{3,4\} \): \(B \cap C = \{3\} \), luego \(A \cup (B \cap C) = \{1,2, 3\} \); y \((A \cup B) \cap (A \cup C) = \{1,2, 3\} \). Ambos miembros coinciden.
Con los mismos conjuntos \(A = \{1,2\} \), \(B = \{2,3\} \) y \(C = \{3,4\} \), comprueba numéricamente la ley distributiva $$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) $$
Para comprobar esta ley distributiva calcularemos por separado el miembro de la izquierda y el de la derecha, operando siempre desde los paréntesis hacia fuera.
Empezaremos por la izquierda: primero la intersección interior \(B \cap C \) y después su unión con \(A \). A continuación haremos lo mismo con la derecha: las uniones \(A \cup B \) y \(A \cup C \), y después su intersección.
Para terminar compararemos ambos resultados.
Cálculo del miembro izquierdo.
El único elemento común a \(B \) y \(C \) es el tres (el dos solo está en B y el cuatro solo en C):
Ahora unimos con \(A \): el uno y el dos están en A, y el tres está en la intersección:
Cálculo del miembro derecho.
La unión de \(A \) y \(B \) recoge el uno, el dos y el tres:
La unión de \(A \) y \(C \) recoge el uno, el dos, el tres y el cuatro:
La intersección de ambos resultados contiene los elementos comunes: el uno, el dos y el tres (el cuatro solo está en el segundo):
Comparación de ambos miembros.
Ambos miembros valen \(\{1,2, 3\} \), luego la igualdad queda verificada numéricamente:
Con los conjuntos dados se verifica numéricamente la ley distributiva de la unión respecto de la intersección.
Para cualquier suceso \(A \) contenido en el espacio muestral \(E \), comprueba con un ejemplo numérico que se cumplen \(A \cup E = E \) y \(A \cap \emptyset = \emptyset \)
Para comprobar estas propiedades empezaremos por recordar que el espacio muestral \(E \) contiene todos los resultados posibles y que el conjunto vacío \(\emptyset \) no contiene ninguno.
A continuación tomaremos un suceso concreto \(A \) y calcularemos su unión con \(E \). Para terminar calcularemos su intersección con el conjunto vacío.
Unión de un suceso con el espacio muestral.
Tomamos el espacio muestral del dado \(E = \{1,2, 3,4, 5,6\} \) y el suceso \(A = \{2,4\} \), que está contenido en \(E \)
Por definición, la unión \(A \cup E \) contiene los elementos que están en al menos uno de los dos.
Como todo elemento de \(A \) ya está en \(E \), la unión no añade nada nuevo:
El espacio muestral actúa como elemento absorbente de la unión: unir cualquier suceso con \(E \) devuelve \(E \)
Intersección de un suceso con el conjunto vacío.
Por definición, la intersección \(A \cap \emptyset \) contiene los elementos que pertenecen a ambos conjuntos a la vez.
Como el conjunto vacío no tiene ningún elemento, es imposible que haya elementos comunes:
El conjunto vacío actúa como elemento absorbente de la intersección: intersecar cualquier suceso con \(\emptyset \) devuelve \(\emptyset \)
Queda comprobado que \(A \cup E = E \) (el espacio muestral es absorbente para la unión) y que \(A \cap \emptyset = \emptyset \) (el vacío es absorbente para la intersección).
De forma dual, \(\emptyset \) es el elemento neutro de la unión (\(A \cup \emptyset = A \)) y \(E \) el de la intersección (\(A \cap E = A \)).
Comprueba numéricamente la ley de absorción \(A \cap (A \cup B) = A \) con los conjuntos \(A = \{1,2\} \) y \(B = \{2,3\} \)
Para comprobar la ley de absorción empezaremos por calcular la unión interior \(A \cup B \). A continuación intersecaremos el resultado con \(A \), quedándonos solo con los elementos comunes.
Para terminar compararemos el resultado con el suceso \(A \) original.
Cálculo de la unión interior.
La unión de \(A \) y \(B \) recoge los elementos de al menos uno de los dos: el uno está solo en A, el dos está en ambos y el tres está solo en B:
Intersección con A.
Intersecamos \(A \) con el resultado anterior: los elementos comunes a \(\{1,2\} \) y \(\{1,2, 3\} \) son el uno y el dos:
Queda comprobada numéricamente la ley de absorción \(A \cap (A \cup B) = A \): al intersecar \(A \) con una unión que ya lo contiene, se recupera \(A \)
Sean los conjuntos \(A = \{1,2\} \), \(B = \{2,3\} \) y \(C = \{3,4\} \)
Comprueba numéricamente que se cumple la ley distributiva $$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) $$
Para comprobar esta ley distributiva calcularemos por separado el miembro de la izquierda y el de la derecha, operando siempre desde los paréntesis hacia fuera.
Empezaremos por la izquierda: primero la unión interior \(B \cup C \) y después su intersección con \(A \). A continuación haremos lo mismo con la derecha: las intersecciones \(A \cap B \) y \(A \cap C \), y después su unión.
Para terminar compararemos ambos resultados.
Cálculo del miembro izquierdo.
Operamos primero el paréntesis interior: la unión de \(B \) y \(C \) recoge el dos (solo en B), el tres (en ambos) y el cuatro (solo en C):
Ahora intersecamos con \(A \): el único elemento común a \(\{1,2\} \) y \(\{2,3, 4\} \) es el dos:
Cálculo del miembro derecho.
Calculamos primero las intersecciones interiores.
Los elementos comunes a \(A \) y \(B \) son el dos (el uno solo está en A y el tres solo en B):
Los elementos comunes a \(A \) y \(C \) no existen (el uno y el dos no están en C; el tres y el cuatro no están en A):
Ahora unimos ambos resultados; por la propiedad del elemento neutro, unir con el vacío no añade ningún elemento:
Comparación de ambos miembros.
Hemos obtenido \(A \cap (B \cup C) = \{2\} \) y \((A \cap B) \cup (A \cap C) = \{2\} \)
Ambos miembros valen lo mismo, luego la igualdad queda verificada numéricamente:
Con los conjuntos dados se verifica numéricamente la ley distributiva de la intersección respecto de la unión.
Demuestra y verifica numéricamente que para cualesquiera sucesos \(A \) y \(B \), la expresión conjuntista \((A \cup B) \cap (A \cup \overline{B}) \) se simplifica exactamente al suceso \(A \)
Para resolver este ejercicio utilizaremos la propiedad distributiva de la unión respecto de la intersección en sentido inverso, extrayendo el suceso A común.
Después aplicaremos la ley de la contradicción para conjuntos (B intersección no B es el conjunto vacío) y la propiedad del elemento neutro para la unión.
Expresión algebraica inicial.
Aplicación de la propiedad distributiva en sentido inverso.
Por la propiedad distributiva: $$X \cup (Y \cap Z) = (X \cup Y) \cap (X \cup Z) $$
Tomando \(X = A \), \(Y = B \) y \(Z = \overline{B} \):
Propiedad del complementario (conjunto vacío).
Un suceso y su complementario no tienen elementos comunes:
Sustituyendo:
Elemento neutro de la unión.
El conjunto vacío es el elemento neutro para la operación unión:
Queda demostrada la identidad teórica.
Verificación numérica en un espacio muestral.
Consideramos el espacio muestral \(E = \{1,2, 3,4\} \), con \(A = \{1,2\} \) y \(B = \{2,3\} \)
El complementario de B es \(\overline{B} = \{1,4\} \)
Calculamos:
Intersecamos ambos conjuntos:
La ley distributiva permite reducir la expresión a $$A \cup (B \cap \overline{B}) = A \cup \emptyset = A $$, verificándose la igualdad tanto formal como numéricamente.