4.11 4.11 Combinatoria
El principio de multiplicación
En esta sección contaremos resultados para calcular probabilidades: una apuesta de lotería elige \(6 \) números entre \(49 \) sin importar el orden, luego hay \(\binom{49}{6} = 13983816 \) apuestas posibles y la probabilidad de acertar los seis es \(\frac{1}{13983816} \)
La herramienta básica es el principio de multiplicación.
Si un experimento se realiza en \(k \) etapas sucesivas, y la etapa \(i \) tiene \(n_i \) resultados posibles con independencia de lo ocurrido en las etapas anteriores, entonces el número total de resultados del experimento es el producto \(n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k \)
Variaciones con y sin repetición
Al lanzar una moneda tres veces hay \(2 \) resultados posibles en cada tirada, con independencia de las anteriores, luego el número total de secuencias es \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8 \): CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC y XXX.
Las variaciones con repetición cuentan las secuencias ordenadas de longitud \(k \) que se pueden formar con \(n \) elementos, pudiendo repetir elementos.
Por el principio de multiplicación, en cada una de las \(k \) posiciones hay \(n \) opciones, luego el número de variaciones con repetición es \(VR_{n,k} = n^k \)
Las variaciones sin repetición cuentan las secuencias ordenadas de longitud \(k \) con \(n \) elementos, sin poder repetir.
En la primera posición hay \(n \) opciones, en la segunda \(n - 1 \), y así hasta la posición \(k ,\ \text{con}\ n - k + 1 \) opciones.
El número de variaciones sin repetición es $$V_{n,k} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) $$
Definiendo el factorial de \(n \) como el producto $$n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 $$, con el convenio \(0! = 1 \), que hace que las fórmulas sigan valiendo en los casos límite, el número de variaciones se escribe de forma compacta como \(V_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!} \)
Permutaciones
Una quiniela de \(14 \) partidos con signos 1, X, 2 admite repetición e importa el orden: hay \(VR_{3,14} = 3^{14} = 4782969 \) quinielas posibles.
En cambio, el podio de una carrera con \(8 \) corredores no admite repetición: hay \(V_{8,3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336 \) podios posibles.
Las permutaciones son el caso particular de las variaciones sin repetición en el que se ordenan todos los elementos, es decir, \(k = n \)
El número de formas de ordenar \(n \) elementos distintos es \(P_n = n! \)
Si hay elementos repetidos, por ejemplo \(n_1 \) de un tipo, \(n_2 \) de otro, hasta \(n_r \), el número de permutaciones con repetición es $$PR_{n; n_1, \ldots, n_r} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_r!} $$
Combinaciones y números combinatorios
Cinco libros distintos se pueden ordenar en una estantería de \(P_5 = 5! = 120 \) formas.
Las letras de ANA, con la A repetida dos veces, admiten \(PR_{3; 2,1} = \frac{3!}{2!} = 3 \) ordenaciones: AAN, ANA y NAA.
Las combinaciones cuentan los subconjuntos no ordenados de \(k \) elementos elegidos entre \(n \), sin repetición.
Cada subconjunto de \(k \) elementos se puede ordenar de \(k! \) formas, así que dividiendo las variaciones sin repetición entre \(k! \) se obtiene el número combinatorio $$C_{n,k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} $$, que se lee ene sobre ka.
Los números combinatorios cumplen la simetría \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \), que se comprueba directamente en la fórmula: $$\binom{n}{n-k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot (n-(n-k))!} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} = \binom{n}{k} $$, porque elegir los \(k \) elementos que sí tomamos equivale a elegir los \(n-k \) que dejamos fuera.
También cumplen la relación de Stifel, $$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} $$, con una interpretación directa: fijemos uno de los \(n \) elementos; los subconjuntos de \(k \) elementos que lo contienen son \(\binom{n-1}{k-1} \), pues hay que elegir los otros \(k-1 \) entre los \(n-1 \) restantes, y los que no lo contienen son \(\binom{n-1}{k} \); sumando ambos grupos, disjuntos entre sí, se obtienen todos los subconjuntos.
Criterio para elegir la técnica
Elegir \(6 \) números entre \(49 \) sin importar el orden da $$C_{49,6} = \binom{49}{6} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6!} = 13983816 $$ combinaciones posibles.
El criterio para elegir la técnica es preguntarse dos cosas: importa el orden, y se puede repetir.
Orden sí y repetición sí: variaciones con repetición.
Orden sí y repetición no: variaciones sin repetición, o permutaciones si se usan todos los elementos.
Orden no y repetición no: combinaciones.
Una quiniela de lotería consiste en elegir 6 números distintos entre el 1 y el 49, sin importar el orden.
Calcula la probabilidad de acertar los 6 números con una sola apuesta.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar qué técnica de recuento corresponde al experimento.
A continuación calcularemos el número total de apuestas posibles.
Para terminar aplicaremos la regla de Laplace dividiendo los casos favorables entre los casos posibles.
Identificamos la técnica de recuento.
Elegimos 6 números de 49, sin repetición y sin que importe el orden, luego son combinaciones: \(C_{49,6} = \binom{49}{6} \)
Calculamos el número total de apuestas posibles.
Hay casi 14 millones de apuestas posibles.
Aplicamos la regla de Laplace.
Solo una apuesta contiene los 6 números ganadores, así que los casos favorables son 1 y \(P(\text{acertar los 6}) = \frac{1}{13983816} \), aproximadamente \(0,0000000715 \)
La probabilidad es minúscula porque el número de combinaciones posibles es enorme.
Un código de acceso tiene 4 dígitos, cada uno del 0 al 9, pudiendo repetirse dígitos.
Calcula la probabilidad de acertar el código al primer intento.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la técnica de recuento adecuada para los códigos.
A continuación calcularemos cuántos códigos distintos existen.
Para terminar aplicaremos la regla de Laplace.
Identificamos la técnica de recuento.
En un código el orden importa, 1234 no es 4321, y los dígitos se pueden repetir, luego son variaciones con repetición: \(VR_{10,4} = 10^4 \)
Calculamos el número total de códigos posibles.
Hay 10000 códigos distintos, del 0000 al 9999.
Aplicamos la regla de Laplace.
Solo un código es el correcto, luego \(P(\text{acertar}) = \frac{1}{10000} = 0,0001 \)
De una baraja española de 40 cartas se reparten 4 cartas a un jugador, sin importar el orden.
Calcula la probabilidad de que las 4 cartas sean del mismo palo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la técnica de recuento para las manos de 4 cartas.
A continuación calcularemos los casos posibles y los casos favorables usando números combinatorios.
Para terminar aplicaremos la regla de Laplace.
Identificamos la técnica de recuento.
Una mano es un subconjunto no ordenado de 4 cartas elegidas entre 40, sin repetición, luego son combinaciones: los casos posibles son \(\binom{40}{4} \)
Calculamos los casos posibles.
Calculamos los casos favorables.
Para que las 4 cartas sean del mismo palo, primero elegimos el palo, hay 4 palos, y después elegimos 4 cartas entre las 10 de ese palo, $$\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 $$
Los casos favorables son \(4 \cdot 210 = 840 \)
Aplicamos la regla de Laplace.
$$P(\text{mismo palo}) = \frac{840}{91390} \approx 0,00919 $$, es decir, algo menos del uno por ciento.
el principio de multiplicación genera las cuatro técnicas de recuento, variaciones con repetición \(n^k \), variaciones sin repetición \(\frac{n!}{(n-k)!} \), permutaciones \(n! \) y combinaciones \(\binom{n}{k} \), y con ellas se calculan los casos favorables y los casos posibles de la regla de Laplace cuando los resultados son equiprobables.