4.10 4.10 Probabilidad del complementario
Fórmula fundamental del complementario
Dado que \(A \) y \(\bar{A} \) son incompatibles y su unión es el espacio seguro (\(A \cup \bar{A} = E \)):
Despejando la probabilidad del complementario:
Si la probabilidad de que llueva mañana es \(0,3 \), la de que no llueva es \(1 - 0,3 = 0,7 \): el suceso «no llover» es el complementario de «llover».
Demostración de la fórmula
Al lanzar un dado, el complementario de \(A = \text{salir seis} \) es $$\bar{A} = \text{no salir seis} = \{1,2, 3,4, 5\} $$
Se cumple \(A \cup \bar{A} = \Omega \) y \(A \cap \bar{A} = \emptyset \)
A partir de estas dos propiedades se deduce la fórmula de la probabilidad del complementario.
Como \(A \) y \(\bar{A} \) son incompatibles, el tercer axioma, en su forma finita deducida en la sección 4.7, nos dice que \(P(A \cup \bar{A}) = P(A) + P(\bar{A}) \)
Pero sabemos que \(A \cup \bar{A} = \Omega \), y que \(P(\Omega) = 1 \)
Por tanto, \(P(A) + P(\bar{A}) = 1 \), y despejando queda \(P(\bar{A}) = 1 - P(A) \)
La estrategia de "al menos uno"
El cálculo de la probabilidad de que ocurra al menos un suceso entre varios suele ser sumamente complejo si se calcula directamente.
La regla del complementario proporciona un atajo extraordinario:
La probabilidad de obtener al menos un 6 en dos lanzamientos es $$1 - P(\text{ningún 6}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0,306 $$: mucho más corto que sumar los casos «exactamente uno» y «exactamente dos».
Cuándo conviene usarla
Como \(A \) y \(\bar{A} \) son incompatibles y cubren todo \(\Omega \), el tercer axioma da \(P(A) + P(\bar{A}) = P(\Omega) = 1 \), de donde \(P(\bar{A}) = 1 - P(A) \)
Esta fórmula es muy útil cuando calcular directamente la probabilidad del suceso que nos piden es complicado, pero calcular la del suceso contrario es fácil.
El caso más típico es el de al menos uno.
Si nos piden la probabilidad de obtener al menos un éxito en varias repeticiones, el suceso complementario es no obtener ningún éxito, que suele ser mucho más sencillo de calcular.
Al lanzar un dado equilibrado, calcula la probabilidad de no obtener un seis.
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar el suceso y su contrario.
A continuación calcularemos la probabilidad del suceso directo con la regla de Laplace.
Para terminar aplicaremos la fórmula del complementario.
Suceso directo y su probabilidad.
Sea \(A \) el suceso "obtener un seis".
El dado tiene 6 resultados equiprobables y solo uno es favorable, luego por la regla de Laplace:
Aplicación de la fórmula del complementario.
El suceso pedido, "no obtener un seis", es el complementario \(\bar{A} \)
Como \(A \cup \bar{A} = E \) y ambos son incompatibles, se cumple \(P(\bar{A}) = 1 - P(A) \)
Sustituyendo:
Conclusión: La probabilidad de no obtener un seis es \(\frac{5}{6} \approx 0,833 \)
Calcula la probabilidad de obtener al menos un seis al lanzar 4 dados equilibrados, el famoso problema que el caballero de Méré planteó a Pascal en el siglo XVII.
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por definir el suceso contrario, cuya probabilidad es directa gracias a la independencia de los lanzamientos.
A continuación calcularemos la probabilidad de no obtener ningún seis desarrollando el producto de las cuatro probabilidades.
Para terminar aplicaremos la fórmula del complementario para obtener la probabilidad de "al menos un seis".
El suceso contrario y su probabilidad.
El suceso contrario de "al menos un seis" es "no obtener ningún seis en los 4 lanzamientos".
En cada lanzamiento la probabilidad de no obtener un seis es \(\frac{5}{6} \) y los lanzamientos son independientes, de modo que por la regla de la multiplicación:
Fórmula del complementario.
Conclusión: La probabilidad de obtener al menos un seis al lanzar 4 dados es 0,518, es decir, un 51,8 %. Es apenas superior al 50 %, lo que explica por qué el caballero de Méré, que apostaba a este suceso, ganaba a la larga.
Sabiendo que P(A unión B) = 0,85, calcula la probabilidad de que no ocurra ni A ni B, es decir, P(A complementario intersección B complementario).
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por traducir "que no ocurra ni A ni B" al lenguaje de sucesos.
A continuación aplicaremos la primera ley de De Morgan para transformar la intersección de complementarios en el complementario de la unión.
Para terminar usaremos la fórmula del complementario con el dato del enunciado.
Traducción del enunciado al lenguaje de sucesos.
"Que no ocurra \(A \)" es el suceso complementario \(\bar{A} \) y "que no ocurra \(B \)" es \(\bar{B} \)
Que no ocurra ninguno de los dos es la intersección de ambos complementarios:
Aplicación de la primera ley de De Morgan.
La primera ley de De Morgan establece que la intersección de los complementarios es el complementario de la unión:
Por tanto, la probabilidad pedida es la probabilidad del complementario de la unión:
Fórmula del complementario y cálculo final.
Aplicamos \(P(\bar{S}) = 1 - P(S) \) al suceso \(S = A \cup B \):
Conclusión: La probabilidad de que no ocurra ni A ni B es 0,15.
Lanzamos un dado equilibrado 4 veces.
Calcula la probabilidad de obtener al menos un seis.
Explicación:
Para resolver este ejemplo empezaremos por observar que el cálculo directo de "al menos un seis" exigiría sumar las probabilidades de obtener exactamente uno, dos, tres y cuatro seises, lo cual es muy laborioso.
A continuación aplicaremos la estrategia del suceso contrario: calcular la probabilidad de no obtener ningún seis, que es mucho más sencilla porque los lanzamientos son independientes.
Para terminar obtendremos la probabilidad pedida restando de uno con la fórmula del complementario.
Probabilidad del suceso contrario.
El suceso contrario de "al menos un seis" es "no obtener ningún seis en los 4 lanzamientos".
Los lanzamientos son independientes y en cada uno la probabilidad de no obtener un seis es \(\frac{5}{6} \)
Por la regla de la multiplicación para sucesos independientes:
Aplicación de la fórmula del complementario.
Un suceso y su contrario son incompatibles y su unión es el espacio seguro, de modo que \(P(A) + P(\bar{A}) = 1 \), de donde \(P(A) = 1 - P(\bar{A}) \)
Aplicando esta fórmula al suceso "al menos un seis":
Conclusión: La probabilidad de obtener al menos un seis en 4 lanzamientos es \(\frac{671}{1296} \approx 0,5177 \), es decir, un 51,77 %.
En una prueba de control de calidad, la probabilidad de detectar un microdefecto en una pieza inspeccionada individualmente es de solo \(p = 0,08 \) (\(8\% \)).
Las inspecciones sucesivas son independientes entre sí.
¿Cuántas piezas como mínimo se deben inspeccionar para que la probabilidad de detectar al menos un microdefecto sea de al menos el \(95\% \)?
Explicación:
Para resolver este ejercicio formularemos el suceso complementario "no detectar ningún microdefecto en n piezas". Como las inspecciones son independientes, la probabilidad de este suceso conjunto es el producto de las probabilidades individuales.
Impondremos que uno menos esta probabilidad sea mayor o igual que 0,95 y despejaremos n mediante logaritmos.
Suceso complementario.
Sea \(n \) el número total de piezas inspeccionadas.
Sea el suceso \(A \) = "detectar al menos un microdefecto en las \(n \) piezas".
El suceso complementario es \(\overline{A} \) = "no detectar ningún microdefecto en ninguna de las \(n \) piezas".
Probabilidad del complementario.
En cada inspección individual:
Por independencia entre inspecciones:
Probabilidad del suceso objetivo.
Inecuación de fiabilidad del 95%.
Exigimos que \(P(A) \ge 0,95 \):
Resolución mediante logaritmos.
Tomamos logaritmos neperianos (recordando que \(\ln(0,92) < 0 \)):
Evaluamos numéricamente:
Redondeamos al entero inmediatamente superior:
Conclusión: Se deben inspeccionar al menos \(36 \) piezas para que la probabilidad de detectar al menos un microdefecto sea de al menos el \(95\% \) (\(P = 1 - (0,92)^{36} \approx 95,03\% \)).