4.1 4.1 Conceptos fundamentales
Conjunto, elemento y pertenencia
Como anticipo de lo que veremos, si \(A = \{1,2, 3\} \), entonces \(2 \in A \) y \(5 \notin A \)
Un conjunto es una colección bien definida de objetos: bien definida significa que, dado cualquier objeto, podemos decidir sin ambigüedad si pertenece o no al conjunto.
Cada uno de los objetos que forman un conjunto se llama elemento del conjunto.
Los conjuntos se nombran habitualmente con letras mayúsculas: \(A \), \(B \), \(C \)
Los elementos se nombran con letras minúsculas: \(x \), \(n \)
La relación entre un elemento y un conjunto se llama pertenencia.
Si \(x \) es un elemento del conjunto \(A \), escribimos \(x \in A \)
Si \(x \) no es un elemento de \(A \), escribimos \(x \notin A \)
El conjunto universal y el conjunto vacío
Sea \(V = \{a, e, i, o, u\} \) el conjunto de las vocales.
Se cumple \(e \in V \), porque la e es una vocal, pero \(b \notin V \), porque la be es una consonante.
Cuando trabajamos con conjuntos, todos los elementos que nos interesan pertenecen a un conjunto grande de referencia, que se llama conjunto universal y se denota \(U \)
Por ejemplo, si hablamos de números del uno al diez, podemos tomar como universal \(U = \{1,2, 3,4, 5,6, 7,8, 9,10\} \)
El conjunto que no tiene ningún elemento se llama conjunto vacío y se denota \(\emptyset \)
Es único: solo hay un conjunto sin elementos.
Subconjunto e igualdad de conjuntos
Si trabajamos con los resultados de un dado, tomamos \(U = \{1,2, 3,4, 5,6\} \) como universal.
El conjunto de los resultados múltiplos de siete dentro de \(U \) no tiene elementos: es el conjunto vacío \(\emptyset \)
Un conjunto \(A \) es un subconjunto de otro conjunto \(B \), lo que se escribe \(A \subseteq B \), cuando todo elemento de \(A \) es también elemento de \(B \)
Si además \(A \) y \(B \) no son el mismo conjunto, decimos que \(A \) es un subconjunto propio de \(B \), y se escribe \(A \subset B \)
Dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos.
Es decir, \(A = B \) si se cumple a la vez que \(A \subseteq B \) y que \(B \subseteq A \)
El orden en que se escriban los elementos no importa: \(\{1,2, 3\} \) y \(\{3,2, 1\} \) son el mismo conjunto.
Tampoco importa si un elemento aparece repetido: \(\{1,1, 2\} \) es igual a \(\{1,2\} \)
Descripción por extensión y por comprensión
Sean \(A = \{2,4\} \) y \(B = \{1,2, 3,4\} \)
Todo elemento de \(A \) está en \(B \), luego \(A \subset B \); en cambio \(\{1,2\} = \{2,1\} \), porque el orden no importa.
Hay dos formas de describir un conjunto.
Por extensión, enumerando todos sus elementos entre llaves: \(A = \{1,2, 3,4\} \)
Por comprensión, indicando la propiedad que cumplen sus elementos: $$B = \{x \mid x \text{ es par}, \; 2 \leq x \leq 10\} $$, que es otra forma de escribir \(B = \{2,4, 6,8, 10\} \)
Diagramas de Venn
El conjunto de los números primos menores que diez se escribe por comprensión como \(P = \{x \mid x \text{ es primo}, \; x < 10\} \), y por extensión como \(P = \{2,3, 5,7\} \)
Los conjuntos se representan mediante diagramas de Venn como regiones cerradas del plano, normalmente círculos u óvalos, dibujadas dentro de un rectángulo que representa al conjunto universal \(U \)
Los elementos se dibujan como puntos dentro de la región que les corresponde.
Si un conjunto \(B \) está contenido en otro \(A \), su círculo se dibuja completamente dentro del círculo de \(A \)
Si dos conjuntos no tienen elementos en común, sus círculos se dibujan separados;
si comparten elementos, se dibujan solapados, y la zona de solapamiento contiene a los elementos comunes.
Experimento aleatorio y espacio muestral
Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no puede predecirse con certeza antes de realizarlo, aun conociendo las condiciones iniciales (por ejemplo, lanzar un dado equilibrado).
El espacio muestral \(E \) (o \(\Omega \)) es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento aleatorio:
En el lanzamiento de un dado y una moneda a la vez, cada resultado es una pareja ordenada con el valor del dado y el de la moneda: el espacio muestral tiene \(6 \cdot 2 = 12 \) sucesos elementales, desde \((1, C) \) hasta \((6, +) \)
El suceso «sacar número par y cara» es el suceso compuesto \(\{(2, C), (4, C), (6, C)\} \)
Sucesos aleatorios
- Suceso elemental: Cada uno de los resultados individuales que forman \(E \) (subconjuntos con un solo elemento \(\{e_i\} \)).
- Suceso compuesto: Subconjunto formado por dos o más sucesos elementales (ej. "obtener número par": \(\{2,4, 6\} \)).
- Suceso seguro: El propio espacio muestral \(E \) (ocurre siempre).
- Suceso imposible: El conjunto vacío \(\emptyset \) (nunca puede ocurrir).
En el lanzamiento de dos dados, el suceso «suma 12» es un suceso elemental, \(\{(6,6)\} \), mientras que «suma 7» es un suceso compuesto con seis elementos, \(\{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\} \)
El suceso «suma 13» es el suceso imposible, porque ninguna pareja de caras suma trece.
En el lanzamiento de un dado cúbico equilibrado, escribe el espacio muestral \(E \)
Determina el suceso compuesto \(A \), definido como "sacar mayor que 4", e identifica el suceso "sacar un 8".
Para resolver este ejemplo empezaremos por enumerar las seis caras del dado para obtener el espacio muestral.
A continuación seleccionaremos los resultados que cumplen la condición "mayor que 4" para construir el suceso \(A \). Para terminar aplicaremos la definición de suceso imposible al suceso "sacar un 8".
Determinación del espacio muestral.
Un dado cúbico tiene seis caras numeradas del 1 al 6; cada lanzamiento produce necesariamente uno de esos seis valores y no puede producir ningún otro.
Por definición, el espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados:
Construcción del suceso compuesto A.
El suceso \(A \) recoge los resultados que verifican la propiedad "sacar mayor que 4".
Recorremos los elementos de \(E \) y conservamos los estrictamente mayores que 4: el uno no lo es, el dos no lo es, el tres no lo es, el cuatro no lo es (es igual, no mayor), el cinco sí lo es y el seis sí lo es.
Por tanto:
El suceso \(A \) consta de dos sucesos elementales, luego es un suceso compuesto.
Identificación del suceso "sacar un 8".
El número ocho no pertenece al espacio muestral \(E \), porque el dado solo tiene caras del 1 al 6.
Por tanto, el conjunto de resultados favorables al suceso "sacar un 8" no contiene ningún elemento: es el conjunto vacío.
Por definición, el conjunto vacío es el suceso imposible, aquel que nunca puede ocurrir:
El espacio muestral del dado es \(E = \{1,2, 3,4, 5,6\} \), el suceso "sacar mayor que 4" es el suceso compuesto \(A = \{5,6\} \), y el suceso "sacar un 8" es el suceso imposible \(\emptyset \)
Al lanzar una moneda dos veces, el espacio muestral es \(E = \{(C, C), (C, +), (+, C), (+, +)\} \)
Determina el suceso \(B \), definido como "obtener al menos una cara", e indica cuántos sucesos elementales lo forman.
Para resolver este ejemplo empezaremos por interpretar la expresión "al menos una cara" como la condición de que el número de caras sea mayor o igual que uno.
A continuación comprobaremos uno a uno los cuatro sucesos elementales del espacio muestral.
Para terminar formaremos el suceso \(B \) con los resultados que verifiquen la condición y lo clasificaremos según su número de elementos.
Interpretación de la condición.
La expresión "al menos una cara" significa que el número de caras del resultado es mayor o igual que uno; en particular, incluye los casos de exactamente una cara y de dos caras, y excluye únicamente el caso de cero caras.
Comprobación de cada suceso elemental.
Recorremos los cuatro pares ordenados de \(E \): el par \((C, C) \) tiene dos caras, luego verifica la condición; el par \((C, +) \) tiene exactamente una cara, luego también la verifica; el par \((+, C) \) tiene exactamente una cara, luego también la verifica; y el par \((+, +) \) no tiene ninguna cara, luego no la verifica.
Por tanto, el suceso \(B \) está formado por los tres primeros resultados:
Clasificación del suceso \(B \)
El suceso \(B \) contiene tres sucesos elementales (tres resultados individuales), de modo que es un suceso compuesto.
El único resultado del espacio muestral que no pertenece a \(B \) es el par \((+, +) \), el de cero caras.
El suceso "obtener al menos una cara" es \(B = \{(C, C), (C, +), (+, C)\} \), un suceso compuesto formado por tres sucesos elementales.
De una urna con bolas numeradas del 1 al 10 se extrae una bola al azar.
Escribe el espacio muestral \(E \) y determina el suceso \(C \), definido como "obtener un múltiplo de 3".
Para resolver este ejemplo empezaremos por enumerar las diez bolas de la urna para obtener el espacio muestral.
A continuación recordaremos qué significa ser múltiplo de 3 y seleccionaremos los números del 1 al 10 que lo sean.
Para terminar formaremos el suceso \(C \) y lo clasificaremos.
Determinación del espacio muestral.
La urna contiene diez bolas numeradas correlativamente del 1 al 10; la extracción produce necesariamente uno de esos diez números y ningún otro.
Por definición de espacio muestral:
Selección de los múltiplos de 3.
Un número es múltiplo de 3 cuando existe un entero \(k \) tal que el número es igual a \(3 \cdot k \)
Recorriendo los valores de \(k \) obtenemos: \(3 \cdot 1 = 3 \), \(3 \cdot 2 = 6 \), \(3 \cdot 3 = 9 \), y \(3 \cdot 4 = 12 \), que ya excede el diez y queda fuera de la urna.
Por tanto, los múltiplos de 3 entre el 1 y el 10 son el tres, el seis y el nueve:
Clasificación del suceso \(C \)
El suceso \(C \) está formado por tres sucesos elementales, luego es un suceso compuesto.
El espacio muestral de la extracción es \(E = \{1,2, 3,4, 5,6, 7,8, 9,10\} \) y el suceso "obtener un múltiplo de 3" es el suceso compuesto \(C = \{3,6, 9\} \)
Sean \(A = \{1,2, 3,4\} \) y \(B = \{2,4\} \)
Determinar si \(B \subseteq A \), si \(A \subseteq B \) y si \(A = B \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar si cada elemento de \(B \) pertenece también a \(A \)
A continuación haremos la comprobación en sentido contrario, de \(A \) hacia \(B \)
Para terminar usaremos ambas comprobaciones para decidir sobre la igualdad de los conjuntos.
Comprobación de la inclusión de B en A.
Los elementos de \(B \) son \(2 \) y \(4 \)
Se cumple que \(2 \in A \) y que \(4 \in A \)
Como todo elemento de \(B \) está en \(A \), concluimos que \(B \subseteq A \)
Comprobación de la inclusión de A en B.
El elemento \(1 \) cumple que \(1 \in A \) pero \(1 \notin B \)
Basta un solo contraejemplo para afirmar que \(A \not\subseteq B \)
Como \(A \subseteq B \) no se cumple, los conjuntos no tienen los mismos elementos y por tanto \(A \neq B \)
Además, al cumplirse \(B \subseteq A \) sin haber igualdad, \(B \) es un subconjunto propio de \(A \): \(B \subset A \)
En el diagrama de Venn, el círculo de \(B \) quedaría dibujado dentro del círculo de \(A \)
Escribir por comprensión el conjunto \(C = \{2,4, 6,8, 10\} \) y describir cómo se representarían en un diagrama de Venn \(C \) y \(D = \{1,2, 3,4, 5,6, 7,8, 9,10\} \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar la propiedad común a todos los elementos de \(C \)
A continuación escribiremos el conjunto por comprensión usando esa propiedad.
Para terminar comprobaremos la relación de inclusión entre \(C \) y \(D \) y describiremos su diagrama de Venn.
Identificación de la propiedad común.
Los elementos \(2 \), \(4 \), \(6 \), \(8 \) y \(10 \) son exactamente los números pares comprendidos entre \(2 \) y \(10 \)
Todo número par se puede escribir como \(2n \) con \(n \) natural.
Escritura por comprensión.
Con la propiedad anterior: \(C = \{x \mid x = 2n, \; n = 1,2, 3,4, 5\} \)
Relación entre C y D y su diagrama de Venn.
Cada elemento de \(C \), por ser un número entre \(2 \) y \(10 \), pertenece a \(D \); por tanto \(C \subseteq D \)
Además \(1 \in D \) pero \(1 \notin C \), luego la inclusión es propia: \(C \subset D \)
En el diagrama de Venn se dibuja un círculo grande etiquetado \(D \) que contiene los puntos del uno al diez, y dentro de él un círculo más pequeño etiquetado \(C \) que contiene los puntos dos, cuatro, seis, ocho y diez; los puntos uno, tres, cinco, siete y nueve quedan dentro de \(D \) pero fuera de \(C \)
Sea el universal \(U = \{1,2, 3,4, 5,6, 7,8, 9,10, 11,12\} \)
Se definen $$A = \{x \in U \mid x \text{ es múltiplo de } 2\} $$, $$B = \{x \in U \mid x \text{ es múltiplo de } 3\} $$ y $$C = \{x \in U \mid x \text{ es múltiplo de } 6\} $$
Escribir los tres conjuntos por extensión, estudiar las inclusiones entre ellos y describir su diagrama de Venn.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir cada conjunto por extensión, listando los elementos del universal que cumplen la propiedad que lo define.
A continuación estudiaremos las relaciones de inclusión entre los tres conjuntos, usando que todo múltiplo de seis es múltiplo de dos y de tres.
Para terminar describiremos el diagrama de Venn correspondiente a esta situación.
Escritura por extensión.
Los múltiplos de dos entre uno y doce son \(A = \{2,4, 6,8, 10,12\} \)
Los múltiplos de tres entre uno y doce son \(B = \{3,6, 9,12\} \)
Los múltiplos de seis entre uno y doce son \(C = \{6,12\} \)
Estudio de las inclusiones.
Todo múltiplo de seis es múltiplo de dos:
si \(x = 6n \), entonces \(x = 2 \cdot (3n) \), que es múltiplo de dos.
Por tanto cada elemento de \(C \) está en \(A \) y se cumple \(C \subseteq A \)
Del mismo modo, si \(x = 6n \), entonces \(x = 3 \cdot (2n) \), que es múltiplo de tres.
Por tanto cada elemento de \(C \) está en \(B \) y se cumple \(C \subseteq B \)
En cambio \(2 \in A \) pero \(2 \notin B \), luego \(A \not\subseteq B \)
Y \(3 \in B \) pero \(3 \notin A \), luego \(B \not\subseteq A \)
Diagrama de Venn.
En el diagrama se dibuja el rectángulo del universal \(U \) con los doce puntos numerados.
Dentro se dibujan dos círculos solapados, uno para \(A \) y otro para \(B \)
La zona de solapamiento contiene a los múltiplos comunes de dos y de tres, es decir, a \(\{6,12\} \)
Como \(C \) está contenido tanto en \(A \) como en \(B \), su círculo quedaría dibujado completamente dentro de esa zona de solapamiento.
El conjunto \(C \) de los múltiplos de seis coincide con los múltiplos comunes de dos y de tres: ser múltiplo de seis equivale a ser múltiplo de dos y de tres a la vez.
Las inclusiones \(C \subseteq A \) y \(C \subseteq B \) se visualizan dibujando el círculo de \(C \) dentro del solapamiento de los otros dos.
En el experimento aleatorio de lanzar una moneda dos veces consecutivas, determina el espacio muestral \(E \)
Identifica los sucesos elementales e indica los elementos del suceso compuesto \(A \), definido como "sacar exactamente una cara".
Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar la definición de espacio muestral como el conjunto de todos los posibles resultados del experimento.
A continuación enumeraremos de forma ordenada los resultados del doble lanzamiento, distinguiendo el orden de las dos monedas.
Para terminar identificaremos los sucesos elementales y seleccionaremos aquellos que verifican la propiedad "exactamente una cara" para construir el suceso compuesto \(A \)
Enumeración ordenada de todos los resultados.
Cada lanzamiento tiene dos resultados posibles: cara (\(C \)) o cruz (\(+ \)).
Como se lanza dos veces consecutivas, cada resultado del experimento es un par ordenado en el que distinguimos la primera moneda de la segunda; por ejemplo, \((C, +) \) significa cara en la primera y cruz en
la segunda, y es distinto de \((+, C) \)
Recorriendo todas las combinaciones obtenemos, por definición de espacio muestral, el conjunto de todos los posibles resultados:
Identificación de los sucesos elementales.
Por definición, un suceso elemental es cada uno de los resultados individuales del espacio muestral, es decir, cada subconjunto de \(E \) formado por un único elemento.
Como el espacio muestral que acabamos de obtener contiene cuatro resultados distintos, hay cuatro sucesos elementales: uno por cada par ordenado de \(E \)
Construcción del suceso compuesto A.
El suceso \(A \) está definido por la propiedad "sacar exactamente una cara", es decir, contiene aquellos resultados del espacio muestral en los que aparece una sola cara.
Recorremos uno a uno los cuatro resultados de \(E \): el par \((C, C) \) tiene dos caras, luego no pertenece a \(A \); el par \((C, +) \) tiene exactamente una cara, luego sí pertenece; el par \((+, C) \) tiene exactamente una cara, luego también pertenece; y el par \((+, +) \) no tiene ninguna cara, luego no pertenece.
Por tanto:
El suceso \(A \) está formado por dos sucesos elementales, de modo que es un suceso compuesto.
El espacio muestral del lanzamiento de dos monedas es \(E = \{(C, C), (C, +), (+, C), (+, +)\} \), con cuatro sucesos elementales, y el suceso compuesto "sacar exactamente una cara" es \(A = \{(C, +), (+, C)\} \)