3.2 Índices compuestos: Laspeyres, Paasche, Fisher y Edgeworth
Índices compuestos: Laspeyres, Paasche, Fisher y Edgeworth-Marshall
Un número índice es una medida relativa que compara la magnitud de una variable en dos momentos del tiempo.
Para un solo bien, el índice simple de precios se obtiene dividiendo el precio del año actual entre el precio del año base y multiplicando por cien.
El problema nace cuando la cesta contiene varios bienes heterogéneos: no tiene sentido sumar el precio del pan con el precio de la leche, porque son magnitudes expresadas en unidades distintas.
La única magnitud homogénea es el dinero: el gasto total o valor de la cesta.
Se denota por \(p_{it} \) el precio del bien \(i \) en el periodo \(t \), y por \(q_{it} \) la cantidad de ese bien en ese periodo.
El año base se denota por \(0 \), de modo que \(p_{i0} \) y \(q_{i0} \) son el precio y la cantidad del bien \(i \) en el año base.
El valor o gasto total de la cesta en el periodo \(t \) es \(V_t = \sum_{i=1}^{n} p_{it} q_{it} \)
Un índice de precios debe medir cuánto han variado los precios manteniendo las cantidades fijas, y un índice de cantidades debe medir cuánto ha variado el volumen físico manteniendo los precios fijos.
Para mantener algo fijo hay que ponderar: las cantidades ponderan a los precios y los precios ponderan a las cantidades.
La pregunta clave es qué año suministra las ponderaciones: el año base o el año actual.
De la respuesta a esa pregunta nacen los índices de Laspeyres y de Paasche.
Para comparar la inflación entre 2020 y 2024 no basta el precio del pan: hay que agregar los precios de toda la cesta de la compra ponderando cada bien, y decidir si las ponderaciones son las de 2020 (Laspeyres) o las de 2024 (Paasche).
El índice media agregativa simple
Los números índices complejos surgen cuando la magnitud cuya evolución se quiere estudiar no es susceptible de ser definida, observada o medida en la práctica, normalmente por su carácter multidimensional (ejemplo: la producción nacional).
Una primera solución es la agregación o suma de los datos de cada grupo: con \(k \) grupos \(G_1, G_2, \ldots, G_k \) se define el índice media agregativa simple
La agregación generalmente no es posible debido a las distintas unidades que presenta la magnitud en cada uno de los grupos: no se pueden sumar kilos con litros.
Dos grupos producen la misma magnitud medida en unidades distintas (toneladas y metros cúbicos): la suma directa de toneladas y metros cúbicos carece de sentido, y por eso hay que pasar a la segunda solución, que trabaja con índices simples sin unidades en cada grupo.
Índices de medias simples: aritmética, geométrica y armónica
Cuando no tiene sentido la agregación de cantidades por problemas de unidades, la solución es calcular un número índice simple (sin unidades) de la magnitud en cada grupo, \(I_t^{0,i} = \frac{x_{it}}{x_{i0}} \) para \(i = 1, \ldots, k \), y resumir con una media estos \(k \) índices.
Dependiendo del tipo de media utilizada se obtiene un número índice complejo distinto:
índice media aritmética simple (I.M.A.S.): \(I_t^0 = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} I_t^{0,i} \);
índice media geométrica simple (I.M.G.S.): \(I_t^0 = \sqrt[k]{\prod_{i=1}^{k} I_t^{0,i}} \);
índice media armónica simple (I.M.AR.S.): $$I_t^0 = \frac{k}{\sum_{i=1}^{k} 1 / I_t^{0,i}} $$
Tres grupos tienen índices simples 110,120 y 130.
La media aritmética simple es \((110 + 120 + 130) / 3 = 120 \)
La media geométrica simple es \(\sqrt[3]{110 \cdot 120 \cdot 130} = 119,72 \)
La media armónica simple es \(3 / (1/110 + 1/120 + 1/130) = 119,44 \)
Ponderaciones: los índices ponderados
En los casos anteriores se le ha dado a todos los grupos la misma importancia (peso) en la construcción del índice complejo.
Usualmente se le asignan pesos distintos a cada grupo en función de su importancia: al grupo \(G_i \) se le asigna un peso \(a_i \geq 0 \) y se trabaja con el peso normalizado \(\alpha_i = \frac{a_i}{\sum_i a_i} \in [0,1] \)
Se obtienen así cuatro índices ponderados:
índice media agregativa ponderada (I.M.AG.P.): $$I_t^0 = \frac{\sum_{i=1}^{k} \alpha_i x_{it}}{\sum_{i=1}^{k} \alpha_i x_{i0}} $$;
índice media aritmética ponderada (I.M.A.P.): \(I_t^0 = \sum_{i=1}^{k} \alpha_i I_t^{0,i} \);
índice media geométrica ponderada (I.M.G.P.): $$I_t^0 = \prod_{i=1}^{k} \left(I_t^{0,i}\right)^{\alpha_i} $$;
índice media armónica ponderada (I.M.AR.P.): $$I_t^0 = \frac{1}{\sum_{i=1}^{k} \alpha_i / I_t^{0,i}} $$
En el IPC la vivienda pesa más que el ocio: el índice media aritmética ponderada multiplica el índice simple de cada grupo por su peso \(\alpha_i \) (con \(\sum_i \alpha_i = 1 \)) y suma.
Propiedades de los índices complejos ponderados
Los índices media agregativa y media geométrica son, formalmente, un índice simple, por lo que cumplen básicamente las mismas propiedades.
1) Identidad: la cumplen los cuatro índices complejos.
2) Inversión: la cumplen solo el media agregativa y el media geométrica.
3) Circular: la cumplen solo el media agregativa y el media geométrica.
4) Homogeneidad: la cumplen todos menos el media agregativa.
5) Inversión de los factores: la cumple solo el media geométrica.
6) Igualdad de tasas de variación: no la cumple ninguno.
El índice media aritmética ponderada cumple la identidad (si nada cambia, el índice vale 100) pero no la inversión: calculado del año base al actual y del actual al base, el producto no vale 1.
Por eso, cuando se exige reversibilidad, se prefiere el índice media geométrica ponderada.
Repercusión y participación
En la práctica se utiliza frecuentemente el índice media aritmética ponderada, por su facilidad de cálculo y por la facilidad para analizar la influencia que tiene cada grupo en la evolución del índice.
En el instante \(s \) el índice vale \(I_s^0 = \sum_{i=1}^{k} \alpha_i I_s^{0,i} \) y en el instante \(t \) vale \(I_t^0 = \sum_{i=1}^{k} \alpha_i I_t^{0,i} \)
La variación del índice entre ambos instantes es $$\Delta I_{st} = I_t^0 - I_s^0 = \sum_{i=1}^{k} \alpha_i \left(I_t^{0,i} - I_s^{0,i}\right) = \sum_{i=1}^{k} \alpha_i \Delta I_{st}^i $$
REPERCUSIÓN: aportación, en términos absolutos, de cada grupo en la variación absoluta del índice global: \(R_i = \alpha_i \Delta I_{st}^i \)
Se cumple que $$\mathrm{signo}(R_i) = \mathrm{signo}(\Delta I_{st}^i) $$ y que \(\sum_i R_i = \Delta I_{st} \)
PARTICIPACIÓN: aportación, en términos relativos, de cada grupo en la variación absoluta del índice global: $$P_i = \frac{R_i}{\Delta I_{st}} = \frac{\alpha_i \Delta I_{st}^i}{\Delta I_{st}} $$
El signo de \(P_i \) es positivo si $$\mathrm{signo}(R_i) = \mathrm{signo}(\Delta I_{st}) $$ y negativo en caso contrario, y se cumple que \(\sum_i P_i = 1 \)
Un índice media aritmética ponderada de dos grupos tiene pesos \(\alpha_1 = 0,6 \) y \(\alpha_2 = 0,4 \)
Entre \(s \) y \(t \) los índices de los grupos pasan de 100 a 110 y de 100 a 105.
Las repercusiones son \(R_1 = 0,6 \cdot 10 = 6 \) y \(R_2 = 0,4 \cdot 5 = 2 \), y en efecto \(6 + 2 = 8 \) es la variación del índice global.
Las participaciones son \(P_1 = 6/8 = 0,75 \) y \(P_2 = 2/8 = 0,25 \): el primer grupo explica el 75 por ciento de la subida.
El índice de Lowe de precios y de cantidades
Los precios vienen expresados como cocientes entre unidades monetarias y unidades físicas y no pueden sumarse; al multiplicar precios por cantidades se obtienen valores en unidades monetarias, que sí pueden sumarse.
Si fijamos las cantidades en un instante determinado \(b \), la variación del índice se deberá únicamente a los precios: índice de precios de Lowe $$\frac{\sum_i p_{it} q_{ib}}{\sum_i p_{i0} q_{ib}} $$
Si fijamos los precios en un instante determinado \(b \), la variación se deberá únicamente a las cantidades: índice de cantidades de Lowe $$\frac{\sum_i p_{ib} q_{it}}{\sum_i p_{ib} q_{i0}} $$
El índice de Lowe es la forma general:
si el periodo de ponderación es el año base (\(b = 0 \)) se obtiene el índice de Laspeyres, y si es el año corriente (\(b = t \)) se obtiene el índice de Paasche.
El índice de Lowe con ponderaciones de un año intermedio \(b \) generaliza a Laspeyres (\(b = 0 \)) y a Paasche (\(b = t \)): fijar las cantidades en \(b \) deja que solo los precios muevan el índice.
El índice de Laspeyres de precios
El índice de Laspeyres de precios mide cuánto costaría en el año actual la cesta que se compraba en el año base.
La deducción es constructiva: se parte del coste de una cesta genérica con cantidades \(q_i \) valorada a precios del periodo \(t \), es decir, \(\sum p_{it} q_i \)
Se impone la condición de que la cesta sea la del año base, \(q_i = q_{i0} \), con lo que el coste a precios actuales queda \(\sum p_{it} q_{i0} \)
Ese coste se compara con el coste de la misma cesta a precios del año base, \(\sum p_{i0} q_{i0} \), y se multiplica por cien para expresarlo en base cien.
Representa el cambio en el valor de las cantidades del periodo base respecto a precios corrientes y constantes.
La interpretación es directa: el índice de Laspeyres de precios mide la variación de los precios manteniendo fija la cesta del año base.
Un valor de \(118 \) significa que la cesta del año base cuesta un \(18 \) por ciento más que en el año base.
El índice de Laspeyres admite además una lectura muy útil: es una media aritmética ponderada de los índices simples de precios de cada bien.
En efecto, dividiendo numerador y denominador por el gasto del año base se obtiene $$L_p = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \frac{p_{it}}{p_{i0}} \cdot 100 $$, donde cada ponderación $$\alpha_i = \frac{p_{i0} q_{i0}}{\sum p_{i0} q_{i0}} $$ es la proporción del valor de las cantidades del periodo base a precios del periodo base que se debe al grupo \(i \)
Se puede trabajar con los conceptos de repercusión y participación, y es muy utilizado por su facilidad de cálculo.
Una cesta contiene tres bienes: pan, leche y huevos.
Pan: en el año base el precio es \(1 \) y la cantidad es \(100 \); en el año actual el precio es \(1,2 \) y la cantidad es \(90 \)
Leche: en el año base el precio es \(2 \) y la cantidad es \(50 \); en el año actual el precio es \(2,5 \) y la cantidad es \(55 \)
Huevos: en el año base el precio es \(3 \) y la cantidad es \(30 \); en el año actual el precio es \(3,3 \) y la cantidad es \(35 \)
El denominador del índice es el gasto de la cesta del año base: \(1 \cdot 100 + 2 \cdot 50 + 3 \cdot 30 = 290 \)
El numerador es el coste de esa misma cesta a precios actuales: $$1,2 \cdot 100 + 2,5 \cdot 50 + 3,3 \cdot 30 = 344 $$
Por tanto \(L_p = \frac{344}{290} \cdot 100 = 118,62 \)
La cesta del año base cuesta un \(18,62 \) por ciento más que en el año base.
El índice de Laspeyres de cantidades
La construcción es simétrica: ahora lo que se mantiene fijo son los precios del año base y lo que varía son las cantidades.
El índice de Laspeyres de cantidades mide la variación del volumen físico de la cesta valorado a precios constantes del año base, eliminando así el efecto de los precios.
Representa el cambio en el valor de las cantidades del periodo corriente respecto al base, siempre a precios constantes del periodo base.
También es un índice tipo media aritmética ponderada, con las mismas ponderaciones $$\alpha_i = \frac{p_{i0} q_{i0}}{\sum p_{i0} q_{i0}} $$ que el índice de Laspeyres de precios.
Con la misma cesta del apartado anterior, el valor de las cantidades actuales a precios del año base es \(1 \cdot 90 + 2 \cdot 55 + 3 \cdot 35 = 305 \)
El denominador sigue siendo el gasto del año base, \(290 \)
Luego \(L_q = \frac{305}{290} \cdot 100 = 105,17 \)
El volumen físico de la cesta ha crecido un \(5,17 \) por ciento a precios constantes.
El índice de Paasche de precios y de cantidades
El índice de Paasche de precios compara el coste de la cesta del año actual a precios actuales con el coste de esa misma cesta a precios del año base.
La deducción impone ahora la condición \(q_i = q_{it} \): la cesta es la del año actual.
El coste de la cesta actual a precios actuales es \(\sum p_{it} q_{it} \) y a precios del año base es \(\sum p_{i0} q_{it} \)
Representa el cambio en el valor de las cantidades del periodo corriente respecto a precios corrientes y constantes.
Es el deflacionador o deflactor implícito del PIB.
La diferencia conceptual con Laspeyres está en la ponderación: Laspeyres pondera con las cantidades del año base y Paasche con las del año actual.
Laspeyres mantiene la cesta fija y no recoge que los consumidores sustituyen los bienes que más se encarecen por otros relativamente más baratos: por eso tiende a sobrestimar la subida de precios.
Paasche usa la cesta actual y sí recoge esa sustitución, pero exige conocer las cantidades de cada año, lo que lo hace más costoso de calcular; tiende a subestimar la subida.
De forma análoga se define el índice de Paasche de cantidades, que representa el cambio en el valor de las cantidades del periodo corriente respecto al periodo base, siempre a precios corrientes: $$P_q = \frac{\sum p_{it} q_{it}}{\sum p_{it} q_{i0}} \cdot 100 $$
Con la misma cesta, el gasto actual es $$1,2 \cdot 90 + 2,5 \cdot 55 + 3,3 \cdot 35 = 361 $$
El coste de la cesta actual a precios del año base es \(1 \cdot 90 + 2 \cdot 55 + 3 \cdot 35 = 305 \)
Por tanto \(P_p = \frac{361}{305} \cdot 100 = 118,36 \)
Es menor que el de Laspeyres (\(118,62 \)) porque la cesta actual ya incorpora la sustitución hacia los bienes relativamente más baratos.
El índice ideal de Fisher
El índice ideal de Fisher se define como una media geométrica de los índices de Laspeyres y de Paasche, tanto para precios como para cantidades.
La media geométrica es la media natural de los cocientes:
si un cociente \(r \) y su inverso \(\frac{1}{r} \) se promedian geométricamente, el resultado es \(\sqrt{r \cdot \frac{1}{r}} = 1 \), mientras que la media aritmética \(\frac{r + 1/r}{2} \) es mayor que \(1 \)
En logaritmos, la media geométrica es el punto medio exacto entre ambos índices: \(\ln F = \frac{\ln L + \ln P}{2} \)
Fisher trata simétricamente al año base y al año actual: no privilegia ninguna de las dos cestas, y por eso verifica la propiedad de inversión de los factores, que se verifica cuando al multiplicar un índice de precios por uno de cantidades se obtiene un índice de valor.
Con la misma cesta, \(F_p = \sqrt{118,62 \cdot 118,36} = 118,49 \)
Para las cantidades se necesita el índice de Paasche de cantidades: \(P_q = \frac{361}{344} \cdot 100 = 104,94 \)
Entonces \(F_q = \sqrt{105,17 \cdot 104,94} = 105,06 \)
El índice de Edgeworth-Marshall
El índice de Edgeworth-Marshall es otro compromiso entre Laspeyres y Paasche: en lugar de promediar los índices, promedia las cestas.
La deducción parte de la misma idea constructiva, pero la cesta elegida es la suma de las cantidades de los dos años: \(q_{i0} + q_{it} \)
Usar la semisuma \(\frac{q_{i0} + q_{it}}{2} \) es equivalente, porque el factor \(\frac{1}{2} \) se cancela en el cociente.
Con la misma cesta, las cantidades suma de los dos años son \(190 \) para el pan, \(105 \) para la leche y \(65 \) para los huevos.
El numerador es $$1,2 \cdot 190 + 2,5 \cdot 105 + 3,3 \cdot 65 = 705 $$
El denominador es \(1 \cdot 190 + 2 \cdot 105 + 3 \cdot 65 = 595 \)
Por tanto \(EM_p = \frac{705}{595} \cdot 100 = 118,49 \)
Coincide prácticamente con el de Fisher, como suele ocurrir en la práctica.
Índices en cadena
Los números índices en cadena fueron introducidos por Marshall para que verificaran la propiedad circular, y se definen de manera recurrente:
Desarrollando la recurrencia: $$IC_t^0 = I_t^{t-1} \cdot IC_{t-1}^0 = I_t^{t-1} \cdot I_{t-1}^{t-2} \cdot IC_{t-2}^{t-2} = \ldots = I_t^{t-1} \cdot I_{t-1}^{t-2} \cdots I_1^0 $$
Cada eslabón \(I_t^{t-1} \) compara el periodo \(t \) con el periodo inmediatamente anterior, y el producto de los eslabones reconstruye el índice con base fija en \(0 \)
Por construcción, el índice en cadena verifica la propiedad circular: \(IC_t^s \cdot IC_s^u = IC_t^u \)
Si los eslabones anuales valen \(I_1^0 = 1,04 \), \(I_2^1 = 1,03 \ \text{e}\ I_3^2 = 1,05 \), entonces \(IC_3^0 = 1,04 \cdot 1,03 \cdot 1,05 = 1,1248 \), es decir, 112,48 en base 100.14. Propiedades o tests de los índices.
Un buen índice debería cumplir ciertas propiedades formales, llamadas tests.
Test de identidad:
si los precios del año actual coinciden con los del año base, el índice debe valer \(100 \)
Lo cumplen Laspeyres, Paasche y Fisher:
si \(p_{it} = p_{i0} \) para todo \(i \), los tres cocientes valen \(1 \)
Test de reversibilidad temporal: el índice calculado del año base al año actual, multiplicado por el calculado en sentido inverso, debe valer \(1 \), es decir, \(I_{0t} \cdot I_{t0} = 1 \)
Laspeyres no lo cumple: con la cesta del ejemplo, el índice inverso es \(L_{t0} = \frac{305}{361} \cdot 100 = 84,49 \), y en tantos por uno \(1,1862 \cdot 0,8449 = 1,0022 \), distinto de \(1 \)
Paasche tampoco lo cumple, por la misma razón.
Fisher sí lo cumple: el índice de Laspeyres en un sentido es el inverso del de Paasche en el sentido contrario, de modo que al tomar la media geométrica ambos sentidos se compensan exactamente.
Numéricamente, \(P_{t0} = \frac{290}{344} \cdot 100 = 84,30 \), con lo que \(F_{t0} = \sqrt{84,49 \cdot 84,30} = 84,39 \), y \(1,1849 \cdot 0,8439 = 1,00 \) salvo redondeo.
Test de inversión de los factores: el producto del índice de precios por el índice de cantidades, calculados con la misma fórmula, debe ser igual al índice de valor $$V = \frac{\sum p_{it} q_{it}}{\sum p_{i0} q_{i0}} \cdot 100 $$
Es la lectura económica de la descomposición del valor: la variación del gasto total se descompone en el producto de la variación de precios por la variación de cantidades, \(V = I_p \cdot I_q \)
Con la cesta del ejemplo y valores sin redondear, el índice de valor es \(V = \frac{361}{290} \cdot 100 = 124,48 \)
Laspeyres no cumple el test: \(L_p \cdot L_q = 1,2476 \), es decir, \(124,76 \), distinto de \(124,48 \)
Paasche tampoco lo cumple: \(P_p \cdot P_q = 1,2421 \), es decir, \(124,21 \)
Fisher sí lo cumple: \(F_p \cdot F_q = 1,2448 \), es decir, \(124,48 \), igual al índice de valor.
La razón algebraica es que \(L_p \cdot P_q = V \) y \(P_p \cdot L_q = V \), de modo que $$F_p \cdot F_q = \sqrt{(L_p \cdot P_q)(P_p \cdot L_q)} = V $$
Ninguno de los tres cumple el test circular, que exigiría transitividad entre tres periodos; solo los índices simples lo verifican.
El índice de Fisher cumple el test de reversibilidad temporal porque es la media geométrica de Laspeyres y Paasche, que se compensan al invertir el sentido: \(F_{0t} \cdot F_{t0} = 1 \)
Enunciado:
La siguiente tabla recoge los precios y las cantidades vendidas de dos bienes en 2023 (año base) y 2024.
Bien 1: en 2023 el precio es \(10 \) y la cantidad es \(200 \); en 2024 el precio es \(12 \) y la cantidad es \(210 \)
Bien 2: en 2023 el precio es \(20 \) y la cantidad es \(100 \); en 2024 el precio es \(26 \) y la cantidad es \(80 \)
Se pide:
a) calcular el índice de Laspeyres de precios con base 2023;
b) calcular el índice de Laspeyres de cantidades;
c) interpretar ambos resultados.
El año base es 2023 y el año actual es2024.
El índice de Laspeyres de precios fija las cantidades del año base y el de cantidades fija los precios del año base.
El procedimiento es siempre el mismo: primero se escriben los operandos, después se opera.
La fórmula del índice de Laspeyres de precios es $$L_p = \frac{\sum p_{it} q_{i0}}{\sum p_{i0} q_{i0}} \cdot 100 $$
El denominador común es el gasto del año base: \(10 \cdot 200 + 20 \cdot 100 = 4000 \)
El numerador del índice de precios es el coste de la cesta base a precios de 2024: \(12 \cdot 200 + 26 \cdot 100 = 5000 \)
De donde \(L_p = \frac{5000}{4000} \cdot 100 = 125 \)
El numerador del índice de cantidades es el valor de las cantidades de 2024 a precios de 2023: \(10 \cdot 210 + 20 \cdot 80 = 3700 \)
De donde \(L_q = \frac{3700}{4000} \cdot 100 = 92,5 \)
El índice de precios \(125 \) indica que la cesta de 2023 cuesta un \(25 \) por ciento más en 2024.
El índice de cantidades \(92,5 \) indica que el volumen físico cayó un \(7,5 \) por ciento a precios constantes.
El índice de Laspeyres de precios es \(125 \) y el de cantidades es \(92,5 \)
Los precios subieron un \(25 \) por ciento con cesta fija de 2023, mientras que el volumen físico se redujo un \(7,5 \) por ciento.
Enunciado:
Con los datos del ejemplo anterior, se pide:
a) calcular el índice de Paasche de precios;
b) calcular el índice de Fisher de precios;
c) explicar por qué el índice de Paasche es menor que el de Laspeyres.
El índice de Paasche pondera con la cesta del año actual (2024) y el de Fisher es la media geométrica de ambos.
Se reutilizan los cálculos del ejemplo anterior: el denominador del índice de Paasche de precios es el numerador del índice de Laspeyres de cantidades, \(3700 \)
La fórmula del índice de Paasche de precios es $$P_p = \frac{\sum p_{it} q_{it}}{\sum p_{i0} q_{it}} \cdot 100 $$
El numerador es el gasto de 2024: \(12 \cdot 210 + 26 \cdot 80 = 4600 \)
De donde \(P_p = \frac{4600}{3700} \cdot 100 = 124,32 \)
El índice de Fisher de precios es la media geométrica: \(F_p = \sqrt{125 \cdot 124,32} = 124,66 \)
El precio del bien 1 pasó de \(10 \) a \(12 \) (un \(20 \) por ciento más) y el del bien 2 de \(20 \) a \(26 \) (un \(30 \) por ciento más).
El bien 2, que es el que más se encareció, vio caer su cantidad de \(100 \) a \(80 \): los consumidores lo sustituyeron por el bien 1.
Paasche pondera con la cesta de 2024, que ya incorpora esa sustitución, y por eso da menos peso al bien más encarecido y resulta menor que Laspeyres (\(124,32 \) frente a \(125 \)).
El índice de Paasche de precios es \(124,32 \) y el de Fisher es \(124,66 \)
La diferencia entre Paasche y Laspeyres refleja el efecto sustitución: Laspeyres sobrestima la subida al mantener la cesta de 2023.
Enunciado:
Con los datos anteriores, se pide:
a) calcular el índice de Paasche de cantidades y el índice de valor;
b) comprobar si la pareja de índices de Laspeyres y la pareja de índices de Fisher verifican el test de inversión de los factores.
El test de inversión de los factores exige que el producto del índice de precios por el índice de cantidades sea igual al índice de valor.
Se necesitan los cuatro índices y el índice de valor, calculados con los mismos datos.
El índice de Paasche de cantidades es \(P_q = \frac{4600}{5000} \cdot 100 = 92 \)
El numerador \(4600 \) es el gasto de 2024, calculado en el ejemplo 2.
El denominador \(5000 \) es el coste de la cesta base a precios de 2024, calculado en el ejemplo 1.
El índice de valor es \(V = \frac{4600}{4000} \cdot 100 = 115 \)
El gasto total creció un \(15 \) por ciento entre 2023 y 2024.
Para Laspeyres, en tantos por uno: \(1,25 \cdot 0,925 = 1,1563 \)
El producto es \(115,63 \), distinto de \(115 \): Laspeyres no verifica el test.
El índice de Fisher de cantidades es \(F_q = \sqrt{92,5 \cdot 92} = 92,25 \)
El producto es \(1,2466 \cdot 0,9225 = 1,1500 \)
El producto es \(115,00 \), igual al índice de valor: Fisher sí verifica el test.
La pareja de Laspeyres no verifica la inversión de los factores (\(115,63 \) frente a \(115 \)).
La pareja de Fisher sí la verifica: el crecimiento del gasto del \(15 \) por ciento se descompone exactamente en efecto precio (\(F_p = 124,66 \)) por efecto cantidad (\(F_q = 92,25 \)).