3.1 Índices simples, cambio de base y tasas de variación
El problema de comparar magnitudes económicas en el tiempo
Para estudiar la evolución de una magnitud económica necesitamos comparar su valor en distintos momentos del tiempo.
Llamaremos \(X \) a la magnitud y \(x_t \) a su valor observado en el periodo \(t \)
La comparación directa de los valores absolutos es insuficiente por dos motivos.
En primer lugar, magnitudes distintas se miden en unidades distintas, de modo que sus evoluciones no se pueden comparar entre sí.
En segundo lugar, un mismo incremento absoluto significa cosas muy distintas según el nivel de partida: ganar 1000 euros no es lo mismo partiendo de 2000 que partiendo de 200000.
Necesitamos por tanto una medida relativa y sin unidades, que exprese cada valor en proporción a un valor de referencia.
Esa medida es el número índice.
El precio del pan pasó de 1 a 1,20 euros y el de un coche de 20000 a 21000: el incremento absoluto (0,20 frente a 1000) no es comparable, pero el índice con base en el primer año (120 frente a 105) sí permite comparar ambas evoluciones.
El número índice: definición, periodo base y periodo actual
1. Un número índice es una cantidad, es decir, un número adimensional, que muestra, mediante sus variaciones, los cambios que experimenta una magnitud, ya sea en el espacio o en el tiempo, que no es susceptible de medida directa en sí misma ni de observación directa en la práctica (ejemplos: el consumo o la producción nacional).
Interesa estudiar las variaciones del índice porque representan, a su vez, las variaciones de la magnitud objeto de estudio.
Para definirlo se trabaja con dos instantes de tiempo diferenciados: el periodo base o de referencia, que denotamos \(t = 0 \), y el periodo corriente o actual, que denotamos \(t \)
El consumo nacional no se puede observar directamente hogar por hogar, pero su número índice sí permite seguir su evolución en el tiempo a partir de muestras y estimaciones.
Del mismo modo, el volumen del comercio de un país es una magnitud multidimensional que solo se puede estudiar a través de sus índices.
El índice simple: definición y lectura
2. El número índice simple es un coeficiente o cantidad sin dimensiones que estudia las variaciones de una magnitud bien definida, observable en la práctica y medible.
Se define como el cociente entre el valor que toma la magnitud en el instante corriente y el valor que toma en el periodo base:
Definido como cociente, es una cantidad sin dimensiones expresada en tanto por uno;
si multiplicamos el cociente por 100 obtenemos su valor en tanto por ciento, que llamaremos base 100.
Como cociente entre magnitudes no negativas, siempre es un número no negativo.
Proporciona el valor relativo de la magnitud en el periodo corriente \(t \) con respecto al que presenta en el periodo base \(0 \):
si \(I_t^0 > 1 \) entonces \(x_t > x_0 \) y la magnitud ha aumentado;
si \(I_t^0 < 1 \) entonces \(x_t < x_0 \) y la magnitud ha disminuido;
si \(I_t^0 = 1 \) entonces \(x_t = x_0 \) y la magnitud no ha variado.
La base 100 no aporta información matemática nueva: es una convención de legibilidad que conecta directamente con el lenguaje de los porcentajes.
En el periodo base el índice vale exactamente 100, y un índice de 125 se lee de inmediato como el 125 por ciento del valor base, es decir, un 25 por ciento más.
El precio de un bien fue de 4 euros en 2020, que tomamos como base, y de 6 euros en 2025.
Escribimos los operandos: \(x_{2020} = 4 \) y \(x_{2025} = 6 \)
El índice en tanto por uno vale \(I_{2025}^{2020} = \frac{6}{4} = 1,5 \), y en base 100 vale 150.
El precio de 2025 es 1,5 veces el de 2020, es decir, un 50 por ciento más, y las unidades ya no aparecen en el resultado.
Propiedades del índice simple
1) Identidad: \(I_t^t = 1 \), porque \(\frac{x_t}{x_t} = 1 \)
2) Inversión: \(I_t^s = \frac{1}{I_s^t} \), porque \(\frac{x_t}{x_s} = \frac{1}{x_s / x_t} \)
3) Circular: \(I_t^s \cdot I_s^u = I_t^u \), porque $$\frac{x_t}{x_s} \cdot \frac{x_s}{x_u} = \frac{x_t}{x_u} $$
De la propiedad circular y de la propiedad de identidad se obtiene la propiedad de inversión.
4) Homogeneidad: el número índice simple es invariante ante cambios de escala.
Si \(y_t = k \cdot x_t \), entonces $$I_t^0(Y) = \frac{y_t}{y_0} = \frac{k \cdot x_t}{k \cdot x_0} = \frac{x_t}{x_0} = I_t^0(X) $$
5) Igualdad de tasas de variación: la variación relativa que experimenta la magnitud en \(t \) con respecto a \(s \) es igual a la variación relativa que experimenta el índice, con base \(0 \), en el mismo periodo.
Esta propiedad se demuestra en el apartado 8.
Con \(x_0 = 50 \), \(x_1 = 60 \) y \(x_2 = 75 \), los índices son \(I_1^0 = 1,2 \ \text{e}\\I_2^1 = 1,25 \): por la propiedad circular, \(I_2^0 = 1,2 \cdot 1,25 = 1,5 \), que coincide con \(\frac{75}{50} \)
Cambio de base: deducción de la fórmula
Supongamos que disponemos de la serie de índices con base en el periodo \(0 \) y queremos reexpresarla con base en otro periodo \(s > 0 \)
Por definición, el índice con la nueva base es \(I_t^s = \frac{x_t}{x_s} \), y en base 100 se multiplica por 100.
El problema es que normalmente no observamos los valores \(x_t \), sino solo los índices calculados con la base antigua.
Escribimos los dos índices con base \(0 \) que sí conocemos: $$I_t^0 = \frac{x_t}{x_0} \ \text{e}\\I_s^0 = \frac{x_s}{x_0} $$
Dividimos miembro a miembro: $$\frac{I_t^0}{I_s^0} = \frac{x_t / x_0}{x_s / x_0} = \frac{x_t}{x_s} = I_t^s $$
El valor \(x_0 \) se cancela y desaparece de la expresión.
Esto es posible gracias a la propiedad circular, siempre que conozcamos el valor del índice del periodo \(s \) con base \(0 \)
En base 100 la fórmula de cambio de base queda \(I_t^s = \frac{I_t^0}{I_s^0} \cdot 100 \)
La idea es sencilla: el índice del periodo \(s \) con la base antigua mide el crecimiento acumulado entre \(0 \) y \(s \), de modo que dividir por él elimina ese crecimiento y deja solo el crecimiento posterior a \(s \)
Una serie de precios con base 2020 toma los valores $$I_{2023}^{2020} = 130 \ \text{e}\\I_{2025}^{2020} = 150 $$
Para tomar 2023 como nueva base dividimos por el índice de 2023: $$I_{2025}^{2023} = \frac{150}{130} \cdot 100 = 115,38 $$
Entre 2023 y 2025 los precios subieron un \(15,38\ \% \)
Enlace de series con distinta base
Es frecuente que una serie se interrumpa y continúe con otra de base distinta: la serie antigua, con base \(0 \), cubre los periodos hasta \(s \), y la serie nueva, con base \(s \), cubre desde \(s \) en adelante.
Ambas series se solapan en el periodo \(s \), aunque con valores distintos: la antigua vale \(I_s^0 \) y la nueva vale 100 por definición.
Para obtener una única serie continua con base \(s \) aplicamos el cambio de base a los valores antiguos: \(I_t^s = \frac{I_t^0}{I_s^0} \cdot 100 \) para \(t < s \), y conservamos la serie nueva para \(t \geq s \)
Definiendo el coeficiente de enlace \(k = \frac{100}{I_s^0} \), el enlace se escribe de forma compacta como \(I_t^s = k \cdot I_t^0 \) para los periodos anteriores a \(s \)
El coeficiente \(k \) es el factor que convierte el valor \(I_s^0 \) en 100, y al multiplicar toda la serie antigua por él se preservan exactamente las variaciones relativas entre periodos.
Serie antigua con base 2020: \(I_{2020}^{2020} = 100 \), \(I_{2021}^{2020} = 105 \), \(I_{2022}^{2020} = 112 \)
Serie nueva con base 2022: \(I_{2022}^{2022} = 100 \), \(I_{2023}^{2022} = 104 \)
El coeficiente de enlace es \(k = \frac{100}{112} = 0,8929 \)
La serie enlazada con base 2022 queda: \(I_{2020}^{2022} = 0,8929 \cdot 100 = 89,29 \) y \(I_{2021}^{2022} = 0,8929 \cdot 105 = 93,75 \)
A partir de 2022 se conserva la serie nueva: 100 en 2022 y 104 en 2023.7. Índices simples de precios, de cantidades y de valor.
Si la magnitud del número índice simple es un precio se habla de número índice simple de precios: \(I_t^0(p) = \frac{p_t}{p_0} \)
Si la magnitud es una cantidad se habla de número índice simple de cantidades: \(I_t^0(q) = \frac{q_t}{q_0} \)
Cuando se trabaja con precios de productos y cantidades de esos productos surge inmediatamente el concepto de valor de la cantidad al precio considerado: \(v_t = p_t \cdot q_t \) (por ejemplo, 2 euros/kilo por 3 kilos son 6 euros).
Su índice simple es el número índice simple de valor: \(I_t^0(v) = \frac{v_t}{v_0} \)
Si al multiplicar un índice de precios por un índice de cantidades se obtiene un índice de valor, se verifica la propiedad de inversión de los factores.
Los números índices simples verifican esta propiedad:
Un producto costaba \(p_0 = 2 \) euros/kilo y se vendían \(q_0 = 3 \) kilos, luego \(v_0 = 6 \) euros.
En el periodo actual \(p_t = 3 \) euros/kilo y \(q_t = 4 \) kilos, luego \(v_t = 12 \) euros.
Tasas de variación
El índice mide niveles relativos; la tasa de variación mide el ritmo de cambio entre dos periodos.
la variación absoluta experimentada por \(X \) con referencia al valor que tenía en el instante inicial \(s \)
La tasa de variación está expresada en tanto por uno;
si el cociente se multiplica por 100 queda expresada en tanto por ciento.
La variación absoluta \(\Delta x_{st} \) está expresada en las mismas unidades que la magnitud.
Operando se obtiene la relación directa con el índice simple: \(TV_{st} = \frac{x_t}{x_s} - 1 = I_t^s - 1 \), y despejando \(I_t^s = TV_{st} + 1 \)
El signo informa del sentido del cambio:
si \(x_t > x_s \) entonces \(I_t^s > 1 \) y \(TV_{st} > 0 \);
si \(x_t < x_s \) entonces \(I_t^s < 1 \) y \(TV_{st} < 0 \);
si \(x_t = x_s \) entonces \(I_t^s = 1 \) y \(TV_{st} = 0 \)
Si la magnitud ha aumentado un 15 por ciento, la tasa de variación en tanto por uno es 0,15 y el índice simple correspondiente es 1,15: el valor de la magnitud en \(t \) es 1,15 veces el valor que presentaba en \(s \), es decir, un 15 por ciento superior.
Si ha disminuido un 15 por ciento, la tasa es \(-0,15 \) y el índice es 0,85: el valor en \(t \) es 0,85 veces el de \(s \), un 15 por ciento inferior.
La tasa de variación de \(X \) en un determinado periodo de tiempo es igual a la tasa de variación del índice correspondiente con base \(0 \):
Por eso la tasa también se puede calcular directamente con los índices: al dividir dos índices, el 100 y el valor \(x_0 \) se cancelan.
Tasa media anual acumulativa: deducción con la media geométrica
Cuando se conocen las tasas de \(n \) periodos, se busca una tasa única \(\bar{r} \) que, aplicada de forma constante en cada periodo, conduzca del valor inicial \(x_0 \) al valor final \(x_n \)
Construimos primero la evolución real periodo a periodo: \(x_1 = x_0 \cdot (1 + r_1) \)
Sustituyendo sucesivamente obtenemos $$x_2 = x_1 \cdot (1 + r_2) = x_0 \cdot (1 + r_1) \cdot (1 + r_2) $$, y en general $$x_n = x_0 \cdot (1 + r_1) \cdot (1 + r_2) \cdots (1 + r_n) $$
Imponemos ahora la condición de tasa constante: \(x_n = x_0 \cdot (1 + \bar{r})^n \)
Igualando ambas expresiones de \(x_n \) y cancelando \(x_0 \) queda $$(1 + \bar{r})^n = (1 + r_1) \cdot (1 + r_2) \cdots (1 + r_n) $$
Despejando la base: $$1 + \bar{r} = \left[(1 + r_1) \cdot (1 + r_2) \cdots (1 + r_n)\right]^{1/n} $$, es decir, $$\bar{r} = \left[(1 + r_1) \cdot (1 + r_2) \cdots (1 + r_n)\right]^{1/n} - 1 $$
El factor \(1 + \bar{r} \) es la media geométrica de los factores de crecimiento \(1 + r_i \)
Como además \((1 + \bar{r})^n = \frac{x_n}{x_0} \), la tasa también se calcula directamente desde los extremos: $$\bar{r} = \left(\frac{x_n}{x_0}\right)^{1/n} - 1 $$
¿Por qué media geométrica y no aritmética?
Porque el crecimiento se compone de forma multiplicativa, no aditiva: cada periodo multiplica el resultado acumulado del anterior.
La media aritmética de las tasas solo sería correcta si los incrementos se sumaran siempre sobre la misma base, lo cual no ocurre.
Cuando todas las tasas son iguales, ambas medias coinciden; en cuanto difieren, la aritmética distorsiona el crecimiento real, como mostrará el Ejemplo 3.
Un fondo sube un 10 % el primer año y baja un 10 %
el segundo: la media aritmética de las tasas es 0 %, pero el capital final es \(1,1 \cdot 0,9 = 0,99 \) del inicial; la tasa media acumulativa es \(\sqrt{0,99} - 1 \approx -0,005 \), es decir, del \(-0,5\% \)
Los precios medios anuales de un bien, en euros, fueron: 5,00 en 2019,5,20 en 2020,5,60 en 2021,6,10 en 2022,6,40 en 2023 y 6,60 en 2024.
Calcula el índice simple de precios con base 2019, cambia la base del índice a 2022 y halla las tasas de variación interanuales de los precios.
Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la definición de índice simple con base en 2019 a cada precio anual.
A continuación aplicaremos la fórmula de cambio de base para reexpresar la serie con base en 2022.
Para terminar calcularemos las tasas de variación interanuales con la definición de tasa de variación.
Índice simple con base 2019.
El valor base es \(x_{2019} = 5,00 \)
Aplicamos \(I_t^{2019} = \frac{x_t}{x_{2019}} \cdot 100 \) a cada año:
| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| $$I_{2019}^{2019} $$ | $$\frac{5,00}{5,00} \cdot 100 = 100 $$ |
| $$I_{2020}^{2019} $$ | $$\frac{5,20}{5,00} \cdot 100 = 104 $$ |
| $$I_{2021}^{2019} $$ | $$\frac{5,60}{5,00} \cdot 100 = 112 $$ |
| $$I_{2022}^{2019} $$ | $$\frac{6,10}{5,00} \cdot 100 = 122 $$ |
| $$I_{2023}^{2019} $$ | $$\frac{6,40}{5,00} \cdot 100 = 128 $$ |
| $$I_{2024}^{2019} $$ | $$\frac{6,60}{5,00} \cdot 100 = 132 $$ |
Cambio de base a 2022.
El índice de 2022 con la base antigua es \(I_{2022}^{2019} = 122 \)
Aplicamos $$I_t^{2022} = \frac{I_t^{2019}}{122} \cdot 100 $$:
| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| $$I_{2019}^{2022} $$ | $$\frac{100}{122} \cdot 100 = 81,97 $$ |
| $$I_{2020}^{2022} $$ | $$\frac{104}{122} \cdot 100 = 85,25 $$ |
| $$I_{2021}^{2022} $$ | $$\frac{112}{122} \cdot 100 = 91,80 $$ |
| $$I_{2022}^{2022} $$ | $$\frac{122}{122} \cdot 100 = 100 $$ |
| $$I_{2023}^{2022} $$ | $$\frac{128}{122} \cdot 100 = 104,92 $$ |
| $$I_{2024}^{2022} $$ | $$\frac{132}{122} \cdot 100 = 108,20 $$ |
Tasas de variación interanuales.
Aplicamos $$TV_{t-1,t} = \frac{x_t - x_{t-1}}{x_{t-1}} \cdot 100 $$:
| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| $$TV_{2019,2020} $$ | $$\frac{5,20 - 5,00}{5,00} \cdot 100 = \frac{0,20}{5,00} \cdot 100 = 4,00 $$ |
| $$TV_{2020,2021} $$ | $$\frac{5,60 - 5,20}{5,20} \cdot 100 = \frac{0,40}{5,20} \cdot 100 = 7,69 $$ |
| $$TV_{2021,2022} $$ | $$\frac{6,10 - 5,60}{5,60} \cdot 100 = \frac{0,50}{5,60} \cdot 100 = 8,93 $$ |
| $$TV_{2022,2023} $$ | $$\frac{6,40 - 6,10}{6,10} \cdot 100 = \frac{0,30}{6,10} \cdot 100 = 4,92 $$ |
| $$TV_{2023,2024} $$ | $$\frac{6,60 - 6,40}{6,40} \cdot 100 = \frac{0,20}{6,40} \cdot 100 = 3,13 $$ |
El índice con base 2019 muestra que entre 2019 y 2024 los precios subieron un 32 por ciento.
Con base 2022 la lectura es directa respecto a ese año: en 2024 los precios están un \(8,20\ \% \) por encima de 2022.
Las tasas interanuales revelan que el mayor encarecimiento se produjo en 2022, con un \(8,93\ \% \), y que el ritmo se moderó en los años siguientes.
Se dispone del índice simple de salarios con base 2018 para los años 2018 a 2021, con valores 100,103, 107 y 112, y de otra serie con base 2021 para los años 2021 a 2024, con valores 100,102, 50,106,10 y 109,30.
Enlaza ambas series con base 2021 y calcula la tasa media anual acumulativa de los salarios entre 2018 y 2024.
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el coeficiente de enlace en el año de solapamiento y construir la serie enlazada con base 2021.
A continuación aplicaremos la fórmula de la tasa media anual acumulativa entre los extremos de la serie enlazada.
Para terminar comprobaremos el resultado calculando la media geométrica de los factores de crecimiento anuales.
Coeficiente de enlace.
El año de solapamiento es 2021, donde la serie antigua vale \(I_{2021}^{2018} = 112 \)
Serie enlazada con base 2021.
Para los años anteriores a 2021 aplicamos \(I_t^{2021} = k \cdot I_t^{2018} \):
| Cálculo | Resultado |
|---|---|
| $$I_{2018}^{2021} $$ | $$0,8929 \cdot 100 = 89,29 $$ |
| $$I_{2019}^{2021} $$ | $$0,8929 \cdot 103 = 91,96 $$ |
| $$I_{2020}^{2021} $$ | $$0,8929 \cdot 107 = 95,54 $$ |
Desde 2021 se conserva la serie nueva: 100 en 2021,102,50 en 2022,106,10 en 2023 y 109,30 en 2024.
Tasa media anual acumulativa entre 2018 y 2024.
Entre 2018 y 2024 hay \(n = 6 \) periodos.
Tomamos los extremos de la serie enlazada: \(x_0 = 89,29 \) y \(x_6 = 109,30 \)
Comprobación con la media geométrica de los factores anuales.
Las tasas anuales de la serie enlazada son: \(2,99\ \% \) en 2019, \(3,89\ \% \) en 2020, \(4,67\ \% \) en 2021, \(2,50\ \% \) en 2022, \(3,51\ \% \) en 2023 y \(3,02\ \% \) en 2024.
Los factores de crecimiento son \(1,0299 \), \(1,0389 \), \(1,0467 \), \(1,0250 \), \(1,0351 \) y \(1,0302 \)
Su media geométrica vale $$(1,0299 \cdot 1,0389 \cdot 1,0467 \cdot 1,0250 \cdot 1,0351 \cdot 1,0302)^{1/6} = 1,2241^{1/6} = 1,0343 $$
Restando 1: \(\bar{r} = 1,0343 - 1 = 0,0343 \), que coincide con el cálculo del paso anterior salvo redondeo.
La serie enlazada permite comparar todos los años con la misma base 2021, y los salarios crecieron a una tasa media anual acumulativa del \(3,43\ \% \) entre 2018 y 2024.
Una magnitud económica crece un 50 por ciento en el primer año y decrece un 50 por ciento en el segundo.
Calcula la tasa media anual acumulativa de los dos años y explica por qué la media aritmética de las tasas, que vale 0 por ciento, es incorrecta.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir los datos como factores de crecimiento y calcular el valor final tras los dos años.
A continuación aplicaremos la definición de tasa media anual acumulativa.
Para terminar mostraremos el error que se comete al usar la media aritmética de las tasas.
Datos y valor final.
Las tasas son \(r_1 = 0,50 \) y \(r_2 = -0,50 \)
Los factores de crecimiento son \(1 + r_1 = 1,50 \) y \(1 + r_2 = 0,50 \)
Partiendo de \(x_0 = 100 \) obtenemos \(x_1 = 100 \cdot 1,50 = 150 \) y \(x_2 = 150 \cdot 0,50 = 75 \)
Tras los dos años la magnitud vale 75: ha perdido un 25 por ciento de su valor inicial.
Tasa media anual acumulativa.
Con \(n = 2 \) periodos: $$\bar{r} = \left(\frac{75}{100}\right)^{1/2} - 1 = 0,75^{1/2} - 1 = -0,1340 $$
La tasa media anual acumulativa es del \(-13,40\ \% \)
Comprobación: aplicando esa tasa constante dos veces se recupera el valor final: $$100 \cdot (1 - 0,1340)^2 = 100 \cdot 0,8660^2 = 100 \cdot 0,75 = 75 $$
El error de la media aritmética.
La media aritmética de las tasas es \(\frac{0,50 + (-0,50)}{2} = \frac{0}{2} = 0 \)
Si esa media fuera correcta, aplicar un 0 por ciento dos veces devolvería el valor inicial: \(100 \cdot (1 + 0)^2 = 100 \cdot 1 = 100 \), pero el valor real es 75.
El error está en que la subida del 50 por ciento se aplica sobre 100 (gana 50) mientras que la bajada del 50 por ciento se aplica sobre 150 (pierde 75): las bases son distintas porque el crecimiento se compone de forma multiplicativa.
La media geométrica de los factores sí respeta esa composición: $$(1,50 \cdot 0,50)^{1/2} = 0,75^{1/2} = 0,8660 $$, y por eso la tasa media acumulativa es \(0,8660 - 1 = -0,1340 \)
La media aritmética ignora que cada tasa actúa sobre una base distinta; solo la media geométrica de los factores de crecimiento reproduce el valor final, de ahí que la tasa media anual acumulativa sea del \(-13,40\ \% \) y no del 0 por ciento.