2.9 2.9 El coeficiente de correlación lineal

Definición del coeficiente de correlación lineal

La covarianza indica el sentido de la relación lineal, pero su valor numérico depende de las unidades de medida y no permite cuantificar la intensidad de esa relación.

El coeficiente de correlación lineal de Pearson se define como la covarianza calculada entre las variables tipificadas $Z_X = \frac{X - \bar{x}}{S_X} $ y $Z_Y = \frac{Y - \bar{y}}{S_Y} $:

$$r_{XY} = \mathrm{cov}(Z_X, Z_Y) = \frac{1}{S_X\cdot S_Y}\cdot S_{XY} = \frac{S_{XY}}{S_X\cdot S_Y} $$

Al dividir por las desviaciones típicas, las unidades se cancelan y el coeficiente resulta adimensional.

Como las desviaciones típicas son siempre positivas, el signo de $r_{XY} $ coincide con el de la covarianza.

📝 Ejemplo:

Dos estudios dan $S_{XY} = 12 $ (en kilogramos por centímetro) y $S_{XY} = 0,3 $ (en toneladas por kilómetro): por las unidades no se pueden comparar; tras tipificar, los coeficientes $r_{XY} $ sí son comparables, porque son adimensionales.

Propiedades: el coeficiente está acotado entre $$-1 $$ y $$1 $$

Se verifica $-1 \le r_{XY} \le 1 $, y la acotación se deduce de que una varianza nunca puede ser negativa: las variables tipificadas tienen varianza $1 $, luego por la propiedad de la varianza de una suma (apartado 6 de la sección 2.8) la varianza de su suma es $$\mathrm{var}(Z_X + Z_Y) = 1 + 1 + 2\cdot r_{XY} \ge 0 $$, de donde $r_{XY} \ge -1 $; y la varianza de su diferencia es $$\mathrm{var}(Z_X - Z_Y) = 1 + 1 - 2\cdot r_{XY} \ge 0 $$, de donde $r_{XY} \le 1 $

Si $r_{XY} = 1 $ o $r_{XY} = -1 $, los puntos están alineados: la relación lineal es exacta, directa en el primer caso e inversa en el segundo.

Si $r_{XY} = 0 $, las variables están incorreladas: no existe relación lineal entre ellas, aunque podría existir una relación no lineal.

📝 Ejemplo:

Un coeficiente $r_{XY} = -0,95 $ indica una relación lineal inversa muy fuerte: los puntos están casi alineados en una recta descendente.

Interpretación de la intensidad y del signo

Cuanto más próximo a $1 $ esté $|r_{XY}| $, más fuerte es la relación lineal; cuanto más próximo a $0 $, más débil.

El signo de $r_{XY} $ coincide con el de la covarianza: positivo indica relación directa y negativo relación inversa.

La incorrelación no implica independencia:

si las variables son independientes, entonces $r_{XY} = 0 $, pero el recíproco no es cierto.

📝 Ejemplo:

Entre el número de bomberos y los daños de un incendio $r_{XY} $ puede salir positivo y alto, pero no hay causalidad: ambas crecen con el tamaño del incendio.

La correlación mide asociación lineal, no causa.

Invarianza ante transformaciones lineales

El coeficiente de correlación lineal es invariante ante cambios de origen y de escala, salvo el signo:

si $$X' = a + b\cdot X \ \text{e}\\Y' = c + d\cdot Y $$, entonces $r_{X'Y'} = r_{XY} $ cuando $b $ y $d $ tienen el mismo signo, y $r_{X'Y'} = -r_{XY} $ cuando tienen distinto signo.

Los cambios de origen no alteran el coeficiente, y los cambios de escala solo pueden cambiar su signo, nunca su valor absoluto.

📝 Ejemplo:

Si la estatura se mide en metros o en centímetros, su correlación con el peso no cambia: el cambio de escala se cancela entre la covarianza del numerador y las desviaciones típicas del denominador.

El diagrama de dispersión

El diagrama de dispersión es la nube de puntos del plano formada por los pares $(x_i, y_j) $ observados.

Su forma anticipa el valor del coeficiente: una nube alargada ascendente indica $r_{XY} $ positivo y próximo a $1 $; una nube alargada descendente indica $r_{XY} $ negativo y próximo a $-1 $; una nube redondeada o sin forma definida indica $r_{XY} $ próximo a $0 $

📝 Ejemplo:

Representamos los seis pares del ejemplo 1 de la sección 2.8 en el plano: cada par $(x_i, y_i) $ es un punto.

La nube de puntos queda alargada y ascendente: los pares con $x_i $ pequeño tienen $y_i $ pequeño, y los pares con $x_i $ grande tienen $y_i $ grande.

Esa forma anticipa un coeficiente de correlación positivo y alejado de cero, y en efecto para esos datos se obtuvo $r_{XY} ≈ 0,78 $

Si la nube hubiera sido redondeada, sin dirección definida, habríamos anticipado $r_{XY} $ próximo a $0 $

📝 Ejemplo 1: comparación de dos conjuntos de datos

Enunciado: Se dispone de dos estudios con cinco observaciones cada uno.

En el estudio A, $X $ son las horas de estudio e $Y $ la calificación obtenida, con pares $(1,2) $, $(2,4) $, $(3,3) $, $(4,6) $ y $(5,7) $. En el estudio B, $X $ son también las horas de estudio e $Y $ el número de mensajes recibidos en el móvil, con pares $(1,4) $, $(2,2) $, $(3,5) $, $(4,3) $ y $(5,4) $. Calcula $r_{XY} $ en cada caso e interpreta el resultado.

💡 Explicación

En ambos estudios calcularemos primero las medias, después la covarianza con la fórmula operativa y las varianzas, y para terminar el coeficiente de correlación.

Al final compararemos los dos valores.

👉 PASO 1

Medias y covarianza del estudio A.

$$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3 $$

$$\bar{y} = \frac{2 + 4 + 3 + 6 + 7}{5} = \frac{22}{5} = 4,4 $$

$$\overline{xy} = \frac{1\cdot 2 + 2\cdot 4 + 3\cdot 3 + 4\cdot 6 + 5\cdot 7}{5} = \frac{2 + 8 + 9 + 24 + 35}{5} = \frac{78}{5} = 15,6 $$

$$S_{XY} = 15,6 - 3\cdot 4,4 = 15,6 - 13,2 = 2,4 $$

👉 PASO 2

Varianzas y correlación del estudio A.

$$S_X^2 = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25}{5} - 3^2 = 11 - 9 = 2 $$

$$S_Y^2 = \frac{4 + 16 + 9 + 36 + 49}{5} - 4,4^2 = \frac{114}{5} - 19,36 = 22,8 - 19,36 = 3,44 $$

$$r_{XY} = \frac{2,4}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3,44}} \approx \frac{2,4}{1,414\cdot 1,855} \approx 0,91 $$

👉 PASO 3

Medias y covarianza del estudio B.

Los valores de $X $ son los mismos, luego $\bar{x} = 3 $ y $S_X^2 = 2 $

$$\bar{y} = \frac{4 + 2 + 5 + 3 + 4}{5} = \frac{18}{5} = 3,6 $$

$$\overline{xy} = \frac{1\cdot 4 + 2\cdot 2 + 3\cdot 5 + 4\cdot 3 + 5\cdot 4}{5} = \frac{4 + 4 + 15 + 12 + 20}{5} = \frac{55}{5} = 11 $$

$$S_{XY} = 11 - 3\cdot 3,6 = 11 - 10,8 = 0,2 $$

👉 PASO 4

Varianza y correlación del estudio B.

$$S_Y^2 = \frac{16 + 4 + 25 + 9 + 16}{5} - 3,6^2 = \frac{70}{5} - 12,96 = 14 - 12,96 = 1,04 $$

$$r_{XY} = \frac{0,2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{1,04}} \approx \frac{0,2}{1,414\cdot 1,020} \approx 0,14 $$

✅ Conclusión

Así pues, en el estudio A $r_{XY} \approx 0,91 $, correlación positiva fuerte: más horas de estudio se asocian claramente con mejor calificación; en el estudio B $r_{XY} \approx 0,14 $, correlación muy débil, prácticamente nula: las horas de estudio no guardan relación lineal con los mensajes recibidos.

📝 Ejemplo 2:

Enunciado: Con los pares del Ejemplo 2 de la sección 2.8, $(2,1) $, $(3,3) $, $(4,2) $, $(5,5) $ y $(6,4) $, calcula el coeficiente de correlación lineal $r_{XY} $ e interpreta el resultado.

💡 Explicación

Para calcular $r_{XY} = \frac{S_{XY}}{S_X\cdot S_Y} $ necesitamos la covarianza y las dos varianzas.

Empezaremos recuperando las medias y la covarianza del Ejemplo 2 de la sección 2.8; a continuación calcularemos las varianzas;

para terminar hallaremos el coeficiente e interpretaremos su valor.

👉 PASO 1

Medias y covarianza.

Del Ejemplo 2 de la sección 2.8: $\bar{x} = 4 $, $\bar{y} = 3 $ y $S_{XY} = 1,6 $

👉 PASO 2

Varianzas.

$$S_X^2 = \frac{4 + 9 + 16 + 25 + 36}{5} - 4^2 = \frac{90}{5} - 16 = 18 - 16 = 2 $$

$$S_Y^2 = \frac{1 + 9 + 4 + 25 + 16}{5} - 3^2 = \frac{55}{5} - 9 = 11 - 9 = 2 $$

👉 PASO 3

Coeficiente de correlación.

$$r_{XY} = \frac{1,6}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{1,6}{2} = 0,8 $$

✅ Conclusión

Así pues, $r_{XY} = 0,8 $: correlación positiva fuerte, próxima a $1 $

Al aumentar $X $, $Y $ tiende a aumentar de forma clara; al ser adimensional, este valor sí puede compararse con el de otros estudios.

📝 Ejemplo 3:

Enunciado: Con los pares del Ejemplo 3 de la sección 2.8, $(1,5) $, $(2,4) $, $(3,2) $, $(4,3) $ y $(5,1) $, calcula el coeficiente de correlación lineal $r_{XY} $ e interpreta el resultado.

💡 Explicación

Para calcular $r_{XY} = \frac{S_{XY}}{S_X\cdot S_Y} $ necesitamos la covarianza y las dos varianzas.

Empezaremos recuperando las medias y la covarianza del Ejemplo 3 de la sección 2.8; a continuación calcularemos las varianzas;

para terminar hallaremos el coeficiente e interpretaremos su valor.

👉 PASO 1

Medias y covarianza.

Del Ejemplo 3 de la sección 2.8: $\bar{x} = 3 $, $\bar{y} = 3 $ y $S_{XY} = -1,8 $

👉 PASO 2

Varianzas.

$$S_X^2 = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25}{5} - 3^2 = \frac{55}{5} - 9 = 11 - 9 = 2 $$

$$S_Y^2 = \frac{25 + 16 + 4 + 9 + 1}{5} - 3^2 = \frac{55}{5} - 9 = 11 - 9 = 2 $$

👉 PASO 3

Coeficiente de correlación.

$$r_{XY} = \frac{-1,8}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{-1,8}{2} = -0,9 $$

✅ Conclusión

Así pues, $r_{XY} = -0,9 $: correlación negativa fuerte, próxima a $-1 $

Al aumentar $X $, $Y $ tiende a disminuir de forma clara; el signo negativo coincide con el de la covarianza.