2.8 2.8 La covarianza
La covarianza mide la variación conjunta de las dos variables
Cuando \(X \) toma valores por encima de su media, \(Y \) puede tender a estar también por encima de la suya, o puede tender a estar por debajo.
La covarianza resume esa tendencia conjunta en un solo número: su signo indica el sentido de la relación lineal entre las variables, mientras que su valor numérico depende de las unidades de medida.
Es, por tanto, la herramienta que cuantifica si las dos variables varían juntas en el mismo sentido o en sentidos opuestos.
Si al medir la estatura (\(X \)) y el peso (\(Y \)) de un grupo, los más altos tienden a pesar más, ambas desviaciones suelen tener el mismo signo y la covarianza sale positiva.
Definición de la covarianza
Se llama covarianza de \(X \ \text{e}\\Y \) a la media de los productos de las desviaciones de cada variable respecto a su propia media: $$S_{XY} = \frac{1}{n}\sum_i\sum_j n_{ij} \, (x_i - \bar{x})(y_j - \bar{y}) $$
Cada observación contribuye con el producto de sus dos desviaciones, ponderado por su frecuencia \(n_{ij} \); por eso la covarianza es simétrica, \(S_{XY} = S_{YX} \)
Se mide en el producto de las unidades de \(X \) por las de \(Y \)
La covarianza de una variable consigo misma es su propia varianza: \(S_{XX} = S_X^2 \), que nunca es negativa.
Fórmula operativa de la covarianza
Desarrollando el producto $$(x_i - \bar{x})(y_j - \bar{y}) = x_i y_j - \bar{x}\,y_j - x_i\,\bar{y} + \bar{x}\,\bar{y} $$ y tomando medias término a término, se obtiene la forma habitual de cálculo: \(S_{XY} = \overline{xy} - \bar{x}\,\bar{y} \), donde $$\overline{xy} = \frac{1}{n}\sum_i\sum_j n_{ij} \, x_i y_j $$ es la media del producto \(X\cdot Y \)
Es decir: la covarianza es la media del producto menos el producto de las medias.
Con \(\bar{x} = 10 \), \(\bar{y} = 4 \) y \(\overline{xy} = 46 \), la fórmula operativa da \(S_{XY} = 46 - 10 \cdot 4 = 6 \): media del producto menos producto de las medias.
Interpretación del signo de la covarianza
Si se trasladan los pares observados al centro \((\bar{x}, \bar{y}) \), cada punto cae en uno de los cuatro cuadrantes: en el primero y en el tercero el producto \((x_i - \bar{x})(y_j - \bar{y}) \) es positivo, y en el segundo y en el cuarto es negativo.
Si \(S_{XY} > 0 \), la mayoría de los puntos está en los cuadrantes primero y tercero: existe relación lineal directa, de modo que cuando \(X \) crece, \(Y \) tiende a crecer.
Si \(S_{XY} < 0 \), la mayoría de los puntos está en los cuadrantes segundo y cuarto: existe relación lineal inversa, de modo que cuando \(X \) crece, \(Y \) tiende a decrecer.
Si \(S_{XY} = 0 \), los productos positivos se compensan con los negativos: no existe relación lineal entre las variables, aunque puede existir una relación de tipo no lineal.
En particular, que la covarianza sea nula no implica que las variables sean independientes.
Entre el precio de un bien y la cantidad demandada la covarianza suele ser negativa: cuando el precio sube por encima de su media, la cantidad tiende a quedar por debajo de la suya.
Propiedades de la covarianza
Además de la simetría y de la fórmula operativa de los apartados 2 y 3, la covarianza verifica las siguientes propiedades.
La covarianza de una variable consigo misma es su propia varianza: \(S_{XX} = S_X^2 \)
La covarianza de una variable con una constante es nula: \(S_{Xa} = 0 \), porque la constante no se desvía de su media.
La covarianza es lineal en cada una de las variables: \(S_{X+Y,\,Z} = S_{XZ} + S_{YZ} \)
Ante transformaciones lineales $$X' = a + b\cdot X \ \text{e}\\Y' = c + d\cdot Y $$, la covarianza no cambia ante los cambios de origen \(a \) y \(c \), mientras que los factores de cambio de escala salen multiplicando: \(S_{X'Y'} = b\cdot d\cdot S_{XY} \)
Si \(Y = 2X + 5 \), entonces \(S_{XY} = 2 \cdot S_{XX} = 2S_X^2 \): el cambio de origen (el 5) no afecta y el factor de escala (el 2) sale multiplicando.
La varianza de una suma y de una diferencia
Aplicando la definición de varianza a la suma de las dos variables se obtiene
$$S_{X+Y}^2 = \overline{\big((X - \bar{x}) + (Y - \bar{y})\big)^2} = \overline{(X - \bar{x})^2} + \overline{(Y - \bar{y})^2} + 2\,\overline{(X - \bar{x})(Y - \bar{y})} = S_X^2 + S_Y^2 + 2\cdot S_{XY} $$:
la varianza de una suma es la suma de las varianzas más el doble de la covarianza.
De forma análoga,
\(S_{X-Y}^2 = S_X^2 + S_Y^2 - 2\cdot S_{XY} \):
la varianza de una diferencia es la suma de las varianzas menos el doble de la covarianza.
En ambos casos, la covarianza es el término que recoge la variación conjunta de las dos variables.
Si \(S_X^2 = 4 \), \(S_Y^2 = 9 \) y la covarianza vale \(S_{XY} = 2 \), entonces la varianza de la suma es
La varianza de la diferencia es
Si las variables fueran independientes, la covarianza sería cero y ambas varianzas valdrían \(4 + 9 = 13 \): al sumar variables independientes, las varianzas se suman.
Enunciado: Se han medido dos características \(X \ \text{e}\\Y \) en seis individuos, obteniéndose los pares \((1,2) \), \((2,3) \), \((3,4) \), \((4,5) \), \((5,3) \) y \((6,6) \). Calcula la covarianza \(S_{XY} \) con la fórmula operativa.
Para aplicar la fórmula operativa \(S_{XY} = \overline{xy} - \bar{x}\,\bar{y} \) necesitamos las dos medias y la media del producto.
Empezaremos calculando \(\bar{x} \ \text{e}\\\bar{y} \); a continuación hallaremos \(\overline{xy} \);
para terminar restaremos el producto de las medias.
Cálculo de las medias.
Cálculo de la media del producto.
Covarianza.
Así pues, \(S_{XY} = 1,75 \); el signo positivo indica una relación lineal directa entre \(X \ \text{e}\\Y \)
Enunciado: Se han medido dos características \(X \ \text{e}\\Y \) en cinco individuos, obteniéndose los pares \((2,1) \), \((3,3) \), \((4,2) \), \((5,5) \) y \((6,4) \). Calcula la covarianza \(S_{XY} \) con la fórmula operativa e interpreta su signo.
Para aplicar la fórmula operativa \(S_{XY} = \overline{xy} - \bar{x}\,\bar{y} \) necesitamos las dos medias y la media del producto.
Empezaremos calculando \(\bar{x} \ \text{e}\\\bar{y} \); a continuación hallaremos \(\overline{xy} \);
para terminar restaremos el producto de las medias e interpretaremos el signo.
Cálculo de las medias.
Cálculo de la media del producto.
Covarianza e interpretación del signo.
Así pues, \(S_{XY} = 1,6 \); el signo positivo indica una relación lineal directa entre \(X \ \text{e}\\Y \): cuando \(X \) crece, \(Y \) tiende a crecer.
Enunciado: Se han medido dos características \(X \ \text{e}\\Y \) en cinco individuos, obteniéndose los pares \((1,5) \), \((2,4) \), \((3,2) \), \((4,3) \) y \((5,1) \). Calcula la covarianza \(S_{XY} \) con la fórmula operativa e interpreta su signo.
Para aplicar la fórmula operativa \(S_{XY} = \overline{xy} - \bar{x}\,\bar{y} \) necesitamos las dos medias y la media del producto.
Empezaremos calculando \(\bar{x} \ \text{e}\\\bar{y} \); a continuación hallaremos \(\overline{xy} \);
para terminar restaremos el producto de las medias e interpretaremos el signo.
Cálculo de las medias.
Cálculo de la media del producto.
Covarianza e interpretación del signo.
Así pues, \(S_{XY} = -1,8 \); el signo negativo indica una relación lineal inversa entre \(X \ \text{e}\\Y \): cuando \(X \) crece, \(Y \) tiende a decrecer.