2.6 2.6 Independencia estadística
Concepto de independencia estadística
Las dos variables que forman el vector, \(X \ \text{e}\ Y \), son independientes cuando la distribución de frecuencias de una de ellas no se ve influida por los valores que toma la otra.
Es decir, \(X \) es independiente de \(Y \) cuando la distribución de \(X \) condicionada a que \(Y \) toma el valor \(Y_j \) es la misma para todos los valores posibles de \(Y_j \)
En ese caso, conocer el valor de \(Y \) no aporta ninguna información sobre el comportamiento de \(X \), y al revés: la ocurrencia de los valores de una de las variables no afecta a la ocurrencia de los valores de la otra.
Si, por el contrario, las distribuciones condicionadas cambian de una fila a otra o de una columna a otra, las variables están relacionadas y no son independientes.
Si entre los fumadores el 60 % hace deporte y entre los no fumadores también el 60 %, conocer si alguien fuma no aporta ninguna información sobre su deporte: ambas variables son independientes.
Condición de independencia con frecuencias
Del mismo modo, \(Y \) es independiente de \(X \) cuando $$f_{1|i} = f_{2|i} = \dots = f_{j|i} = \dots = f_{m|i} = f_{.j} $$ para todo \(j = 1, \dots, m \)
Usando la relación entre frecuencias conjuntas, condicionadas y marginales, la independencia equivale a que cada frecuencia relativa conjunta sea el producto de las marginales: \(f_{ij} = f_{i.} \cdot f_{.j} \)
Como \(f_{ij} = \frac{n_{ij}}{n} \), \(f_{i.} = \frac{n_{i.}}{n} \) y \(f_{.j} = \frac{n_{.j}}{n} \), en frecuencias absolutas la condición es \(n_{ij} = \frac{n_{i.} \cdot n_{.j}}{n} \), que debe cumplirse en todas las casillas de la tabla.
Con \(n = 200 \), \(n_{1.} = 80 \) y \(n_{.1} = 50 \), la independencia exigiría \(n_{11} = \frac{80 \cdot 50}{200} = 20 \):
si la casilla observada vale 20, esa casilla cumple la condición.
Cómo comprobar la independencia en la práctica
Para cada casilla se calcula la frecuencia que cabría esperar si las variables fueran independientes: \(e_{ij} = \frac{n_{i.} \cdot n_{.j}}{n} \)
Después se compara con la frecuencia observada \(n_{ij} \)
Si en todas las casillas la frecuencia observada coincide con la esperada, las variables son independientes.
Si en alguna casilla la diferencia es clara, las variables no son independientes.
Basta una casilla con diferencia clara para rechazar la independencia:
si se esperaban 20 fumadores deportistas y se observan 35, las variables están relacionadas.
Tabla con independencia entre sus variables
Se estudian \(50 \) empleados según \(X \), el turno (\(X_1 \) = mañana, \(X_2 \) = tarde), e \(Y \), el departamento (\(Y_1 \) = ventas, \(Y_2 \) = almacén).
| Turno \ Departamento | ventas | almacén | $$n_{i.} $$ |
|---|---|---|---|
| mañana | $$12 $$ | $$18 $$ | $$30 $$ |
| tarde | $$8 $$ | $$12 $$ | $$20 $$ |
| $$n_{.j} $$ | $$20 $$ | $$30 $$ | $$50 $$ |
Las frecuencias marginales son \(n_{1.} = 30 \), \(n_{2.} = 20 \), \(n_{.1} = 20 \) y \(n_{.2} = 30 ,\ \text{con}\ n = 50 \)
Las frecuencias esperadas bajo independencia son \(e_{11} = \frac{30 \cdot 20}{50} = 12 \), \(e_{12} = \frac{30 \cdot 30}{50} = 18 \), \(e_{21} = \frac{20 \cdot 20}{50} = 8 \) y \(e_{22} = \frac{20 \cdot 30}{50} = 12 \)
Coinciden exactamente con las frecuencias observadas \(12 \), \(18 \), \(8 \) y \(12 \): el turno y el departamento son independientes.
De hecho, la distribución de \(Y \) condicionada al turno de mañana es \(\frac{12}{30} = 0,4 \) y \(\frac{18}{30} = 0,6 \), idéntica a la marginal \(\frac{20}{50} = 0,4 \) y \(\frac{30}{50} = 0,6 \)
Enunciado: Se estudian \(100 \) clientes según \(X \), el tipo de cliente (\(X_1 \) = particular, \(X_2 \) = empresa), e \(Y \), la forma de pago (\(Y_1 \) = efectivo, \(Y_2 \) = tarjeta, \(Y_3 \) = transferencia).
La tabla de frecuencias absolutas conjuntas es la siguiente:
| Cliente \ Pago | efectivo | tarjeta | transferencia | $$n_{i.} $$ |
|---|---|---|---|---|
| particular | $$25 $$ | $$25 $$ | $$10 $$ | $$60 $$ |
| empresa | $$5 $$ | $$25 $$ | $$10 $$ | $$40 $$ |
| $$n_{.j} $$ | $$30 $$ | $$50 $$ | $$20 $$ | $$100 $$ |
Comprueba si el tipo de cliente y la forma de pago son independientes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular las frecuencias marginales de cada variable.
A continuación calcularemos, en al menos dos casillas, la frecuencia esperada bajo independencia.
Para terminar compararemos las frecuencias esperadas con las observadas y concluiremos.
Frecuencias marginales.
Por filas: \(n_{1.} = 25 + 25 + 10 = 60 \)
Por columnas: \(n_{.1} = 25 + 5 = 30 \)
El total es \(n = 100 \)
Frecuencias esperadas bajo independencia.
Para la casilla de particular y efectivo: \(e_{11} = \frac{60 \cdot 30}{100} = 18 \)
Para la casilla de empresa y efectivo: \(e_{21} = \frac{40 \cdot 30}{100} = 12 \)
Comparación con las frecuencias observadas.
La frecuencia observada de particular y efectivo es \(n_{11} = 25 \), claramente mayor que la esperada \(18 \)
La frecuencia observada de empresa y efectivo es \(n_{21} = 5 \), claramente menor que la esperada \(12 \)
Las diferencias son claras en estas dos casillas, por lo que no se cumple la condición de independencia.
El tipo de cliente y la forma de pago no son independientes.
Las empresas casi no pagan en efectivo (\(5 \) de \(40 \)), mientras que entre los particulares el efectivo es mucho más frecuente (\(25 \) de \(60 \)): la forma de pago depende del tipo de cliente.
Enunciado: Se estudian \(100 \) personas según \(X \), el sexo (\(X_1 \) = hombre, \(X_2 \) = mujer), e \(Y \), la preferencia entre dos marcas (\(Y_1 \) = A, \(Y_2 \) = B).
La tabla de frecuencias absolutas conjuntas es la siguiente:
| Sexo \\ Marca | A | B | $$n_{i.} $$ |
|---|---|---|---|
| hombre | $$10 $$ | $$30 $$ | $$40 $$ |
| mujer | $$15 $$ | $$45 $$ | $$60 $$ |
| $$n_{.j} $$ | $$25 $$ | $$75 $$ | $$100 $$ |
Comprueba si el sexo y la preferencia de marca son independientes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular las frecuencias marginales de cada variable.
A continuación calcularemos las frecuencias esperadas bajo independencia en las cuatro casillas.
Para terminar las compararemos con las observadas y concluiremos.
Frecuencias marginales.
Por filas: \(n_{1.} = 10 + 30 = 40 \)
Por columnas: \(n_{.1} = 10 + 15 = 25 \)
El total es \(n = 100 \)
Frecuencias esperadas bajo independencia.
Comparación con las frecuencias observadas.
Las frecuencias esperadas \(10 \), \(30 \), \(15 \) y \(45 \) coinciden exactamente con las observadas.
Se cumple \(n_{ij} = \frac{n_{i.} \cdot n_{.j}}{n} \) en las cuatro casillas.
El sexo y la preferencia de marca son independientes.
De hecho, la proporción que prefiere la marca A es \(\frac{10}{40} = 0,25 \) entre los hombres y \(\frac{15}{60} = 0,25 \) entre las mujeres: conocer el sexo no aporta información sobre la marca preferida.
Enunciado: Se estudian \(50 \) personas según \(X \), si fuma (\(X_1 \) = sí, \(X_2 \) = no), e \(Y \), si hace deporte (\(Y_1 \) = sí, \(Y_2 \) = no).
La tabla de frecuencias absolutas conjuntas es la siguiente:
| Fuma \\ Deporte | sí | no | $$n_{i.} $$ |
|---|---|---|---|
| sí | $$5 $$ | $$15 $$ | $$20 $$ |
| no | $$25 $$ | $$5 $$ | $$30 $$ |
| $$n_{.j} $$ | $$30 $$ | $$20 $$ | $$50 $$ |
Comprueba si fumar y hacer deporte son independientes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular las frecuencias marginales de cada variable.
A continuación calcularemos las frecuencias esperadas bajo independencia en las cuatro casillas.
Para terminar las compararemos con las observadas y concluiremos.
Frecuencias marginales.
Por filas: \(n_{1.} = 5 + 15 = 20 \)
Por columnas: \(n_{.1} = 5 + 25 = 30 \)
El total es \(n = 50 \)
Frecuencias esperadas bajo independencia.
Comparación con las frecuencias observadas.
La frecuencia observada de fumador deportista es \(n_{11} = 5 \), muy inferior a la esperada \(12 \)
La de no fumador deportista es \(n_{21} = 25 \), muy superior a la esperada \(18 \)
Las diferencias son claras en todas las casillas, por lo que no se cumple la condición de independencia.
Fumar y hacer deporte no son independientes.
Entre los fumadores solo \(5 \) de \(20 \) hacen deporte, mientras que entre los no fumadores hacen deporte \(25 \) de \(30 \): el deporte depende de si se fuma.