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2.3 2.3 Distribuciones marginales

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Qué es la distribución marginal

A partir de la distribución conjunta puede interesar estudiar cada variable por separado, ignorando la otra: esas distribuciones se llaman marginales.

La distribución marginal de \(X \) describe cómo se reparten los individuos entre los valores \(X_1, \dots, X_k \), sin tener en cuenta qué valor de \(Y \) presenta cada uno.

Análogamente, la distribución marginal de \(Y \) describe el reparto entre los valores \(Y_1, \dots, Y_m \), ignorando \(X \)

Las distribuciones marginales se obtienen directamente de la tabla de contingencia sumando filas o columnas.

📝 Ejemplo:

De la tabla conjunta de estudios y tabaquismo puede interesar solo cuántas personas hay en cada nivel de estudios, sin importar si fuman: esa distribución unidimensional es la marginal de \(X \)

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Las distribuciones marginales de X y de Y

Para obtener la marginal de \(X \) fijamos cada fila y sumamos las frecuencias conjuntas de todas las columnas:

\(n_{i.} = \sum_{j=1}^{m} n_{ij} \), para \(i = 1, \dots, k \)

La frecuencia \(n_{i.} \) es el número de individuos con \(X = X_i \), sea cual sea su valor de \(Y \)

La tabla de la marginal de \(X \) tiene una fila por cada valor \(X_i \) con su frecuencia \(n_{i.} \), y se cumple \(\sum_{i=1}^{k} n_{i.} = n \)

Para obtener la marginal de \(Y \) fijamos cada columna y sumamos las frecuencias conjuntas de todas las filas:

\(n_{.j} = \sum_{i=1}^{k} n_{ij} \), para \(j = 1, \dots, m \)

La frecuencia \(n_{.j} \) es el número de individuos con \(Y = Y_j \), sea cual sea su valor de \(X \)

La tabla de la marginal de \(Y \) tiene una fila por cada valor \(Y_j \) con su frecuencia \(n_{.j} \), y se cumple \(\sum_{j=1}^{m} n_{.j} = n \)

📝 Ejemplo:

Enunciado: Clasificamos \(40 \) alumnos según el sexo, \(X \) con valores \(X_1 \) chico y \(X_2 \) chica, y el deporte practicado, \(Y \) con valores \(Y_1 \) fútbol, \(Y_2 \) baloncesto e \(Y_3 \) tenis.

La tabla de frecuencias conjuntas es:

X \ Yfútbolbaloncestotenis
chico$$10 $$$$5 $$$$3 $$
chica$$4 $$$$8 $$$$10 $$

Halla las distribuciones marginales de \(X \) y de \(Y \)

Solución:

La marginal de \(X \) se obtiene sumando por filas:

$$n_{1.} = 10 + 5 + 3 = 18 $$
$$n_{2.} = 4 + 8 + 10 = 22 $$

Comprobación: \(18 + 22 = 40 \)

La marginal de \(Y \) se obtiene sumando por columnas:

$$n_{.1} = 10 + 4 = 14 $$
$$n_{.2} = 5 + 8 = 13 $$
$$n_{.3} = 3 + 10 = 13 $$

Comprobación: \(14 + 13 + 13 = 40 \)

La tabla de contingencia con las distribuciones marginales es:

X \ Yfútbolbaloncestotenis$$n_{i.} $$
chico$$10 $$$$5 $$$$3 $$$$18 $$
chica$$4 $$$$8 $$$$10 $$$$22 $$
$$n_{.j} $$$$14 $$$$13 $$$$13 $$$$40 $$
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Las frecuencias relativas marginales

Dividiendo entre el total se obtienen las frecuencias relativas marginales:

\(f_{i.} = \frac{n_{i.}}{n} \) es la proporción de individuos con \(X = X_i \)
\(f_{.j} = \frac{n_{.j}}{n} \) es la proporción de individuos con \(Y = Y_j \)

Ambas suman uno: \(\sum_{i=1}^{k} f_{i.} = 1 \) y \(\sum_{j=1}^{m} f_{.j} = 1 \)

📝 Ejemplo:

Enunciado: Clasificamos \(24 \) hogares según la zona, \(X \) con \(X_1 \) centro y \(X_2 \) periferia, y el tamaño del hogar, \(Y \) con \(Y_1 \) pequeño, \(Y_2 \) mediano e \(Y_3 \) grande.

Las distribuciones marginales absolutas ya calculadas son:

para \(X \), \(n_{1.} = 10 \) y \(n_{2.} = 14 \);

para \(Y \), \(n_{.1} = 8 \), \(n_{.2} = 11 \) y \(n_{.3} = 5 \)

Halla las distribuciones marginales en frecuencias relativas e interprétalas.

Solución:

Dividimos cada frecuencia absoluta marginal entre el total \(n = 24 \)

Para \(X \):

$$f_{1.} = \frac{10}{24} \approx 0,417 $$
$$f_{2.} = \frac{14}{24} \approx 0,583 $$

Comprobación: \(0,417 + 0,583 = 1 \)

Para \(Y \):

$$f_{.1} = \frac{8}{24} \approx 0,333 $$
$$f_{.2} = \frac{11}{24} \approx 0,458 $$
$$f_{.3} = \frac{5}{24} \approx 0,208 $$

Comprobación: \(0,333 + 0,458 + 0,208 = 1 \) (salvo redondeo).

Las frecuencias relativas interiores se obtienen dividiendo cada frecuencia conjunta entre el total \(n = 24 \)

Las frecuencias conjuntas absolutas son \(n_{11} = 5 \), \(n_{12} = 4 \), \(n_{13} = 1 \), \(n_{21} = 3 \), \(n_{22} = 7 \) y \(n_{23} = 4 \)

$$f_{11} = \frac{5}{24} \approx 0,208 $$
$$f_{12} = \frac{4}{24} \approx 0,167 $$
$$f_{13} = \frac{1}{24} \approx 0,042 $$
$$f_{21} = \frac{3}{24} = 0,125 $$
$$f_{22} = \frac{7}{24} \approx 0,292 $$
$$f_{23} = \frac{4}{24} \approx 0,167 $$

La tabla de contingencia con las distribuciones marginales en frecuencias relativas es:

X \ Ypequeñomedianogrande$$f_{i.} $$
centro$$0,208 $$$$0,167 $$$$0,042 $$$$0,417 $$
periferia$$0,125 $$$$0,292 $$$$0,167 $$$$0,583 $$
$$f_{.j} $$$$0,333 $$$$0,458 $$$$0,208 $$$$1 $$

Interpretación: el \(41,7 \) % de los hogares está en el centro y el \(20,8 \) % son hogares grandes.

📝 Ejemplo 1:

Partimos de la tabla de frecuencias conjuntas del Ejemplo 1 de la sección 2.1: \(30 \) familias clasificadas por número de hijos, \(X \) con valores \(X_1 = 1, X_2 = 2, X_3 = 3 \), y número de coches, \(Y \) con valores \(Y_1 = 0, Y_2 = 1, Y_3 = 2 \)

a) Calcula la distribución marginal de \(X \) con frecuencias absolutas y relativas.

b) Calcula la distribución marginal de \(Y \) con frecuencias absolutas y relativas.

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por recuperar la tabla de frecuencias conjuntas del Ejemplo 1 de la sección 2.1.

A continuación obtendremos la marginal de \(X \) sumando por filas, con sus frecuencias absolutas \(n_{i.} \) y relativas \(f_{i.} \)

Para terminar obtendremos la marginal de \(Y \) sumando por columnas, también con frecuencias absolutas \(n_{.j} \) y relativas \(f_{.j} \), y comprobaremos que ambas suman el total.

👉 PASO 1

La tabla conjunta de partida.

X \ Y$$Y_1 = 0 $$$$Y_2 = 1 $$$$Y_3 = 2 $$
$$X_1 = 1 $$$$2 $$$$6 $$$$4 $$
$$X_2 = 2 $$$$3 $$$$5 $$$$4 $$
$$X_3 = 3 $$$$3 $$$$2 $$$$1 $$
👉 PASO 2

Distribución marginal de X.

Sumamos cada fila:

$$n_{1.} = 2 + 6 + 4 = 12 $$
$$n_{2.} = 3 + 5 + 4 = 12 $$
$$n_{3.} = 3 + 2 + 1 = 6 $$

Comprobación: \(12 + 12 + 6 = 30 \)

Las frecuencias relativas:

$$f_{1.} = \frac{12}{30} = 0,4 $$
$$f_{2.} = \frac{12}{30} = 0,4 $$
$$f_{3.} = \frac{6}{30} = 0,2 $$

Comprobación: \(0,4 + 0,4 + 0,2 = 1 \)

👉 PASO 3

Distribución marginal de Y.

Sumamos cada columna:

$$n_{.1} = 2 + 3 + 3 = 8 $$
$$n_{.2} = 6 + 5 + 2 = 13 $$
$$n_{.3} = 4 + 4 + 1 = 9 $$

Comprobación: \(8 + 13 + 9 = 30 \)

Las frecuencias relativas:

$$f_{.1} = \frac{8}{30} \approx 0,267 $$
$$f_{.2} = \frac{13}{30} \approx 0,433 $$
$$f_{.3} = \frac{9}{30} = 0,3 $$

Comprobación: \(0,267 + 0,433 + 0,3 = 1 \)

La tabla de contingencia con las distribuciones marginales en frecuencias absolutas es:

X \ Y$$Y_1 = 0 $$$$Y_2 = 1 $$$$Y_3 = 2 $$$$n_{i.} $$
$$X_1 = 1 $$$$2 $$$$6 $$$$4 $$$$12 $$
$$X_2 = 2 $$$$3 $$$$5 $$$$4 $$$$12 $$
$$X_3 = 3 $$$$3 $$$$2 $$$$1 $$$$6 $$
$$n_{.j} $$$$8 $$$$13 $$$$9 $$$$30 $$

La tabla de contingencia con las distribuciones marginales en frecuencias relativas es:

Las frecuencias relativas interiores se obtienen dividiendo cada frecuencia conjunta entre el total \(n = 30 \):

$$f_{11} = \frac{2}{30} \approx 0,067 $$
$$f_{12} = \frac{6}{30} = 0,2 $$
$$f_{13} = \frac{4}{30} \approx 0,133 $$
$$f_{21} = \frac{3}{30} = 0,1 $$
$$f_{22} = \frac{5}{30} \approx 0,167 $$
$$f_{23} = \frac{4}{30} \approx 0,133 $$
$$f_{31} = \frac{3}{30} = 0,1 $$
$$f_{32} = \frac{2}{30} \approx 0,067 $$
$$f_{33} = \frac{1}{30} \approx 0,033 $$
X \ Y$$Y_1 = 0 $$$$Y_2 = 1 $$$$Y_3 = 2 $$$$f_{i.} $$
$$X_1 = 1 $$$$0,067 $$$$0,2 $$$$0,133 $$$$0,4 $$
$$X_2 = 2 $$$$0,1 $$$$0,167 $$$$0,133 $$$$0,4 $$
$$X_3 = 3 $$$$0,1 $$$$0,067 $$$$0,033 $$$$0,2 $$
$$f_{.j} $$$$0,267 $$$$0,433 $$$$0,3 $$$$1 $$
✅ Conclusión

La distribución marginal de \(X \), el número de hijos, es: \(12 \) familias con \(1 \) hijo, \(12 \) con \(2 \) hijos y \(6 \) con \(3 \) hijos; en proporciones, \(0,4 \), \(0,4 \) y \(0,2 \)

La distribución marginal de \(Y \), el número de coches, es: \(8 \) familias sin coche, \(13 \) con \(1 \) coche y \(9 \) con \(2 \) coches; en proporciones, \(0,267 \), \(0,433 \) y \(0,3 \)

Ambas marginales suman el total \(n = 30 \) en frecuencias absolutas y \(1 \) en frecuencias relativas, como exige la teoría.

📝 Ejemplo 2:

Enunciado: Se clasifican \(28 \) deportistas según el sexo, \(X \) con valores \(X_1 \) = hombre y \(X_2 \) = mujer, y el deporte practicado, \(Y \) con valores \(Y_1 \) = fútbol, \(Y_2 \) = baloncesto y \(Y_3 \) = tenis.

La tabla de frecuencias conjuntas es:

X \\ Yfútbolbaloncestotenis
hombre$$8 $$$$4 $$$$2 $$
mujer$$3 $$$$6 $$$$5 $$

a) Calcula la distribución marginal de \(X \) con frecuencias absolutas y relativas.

b) Calcula la distribución marginal de \(Y \) con frecuencias absolutas y relativas.

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por presentar la tabla de frecuencias conjuntas.

A continuación obtendremos la marginal de \(X \) sumando por filas, con frecuencias absolutas y relativas.

Para terminar obtendremos la marginal de \(Y \) sumando por columnas, también con frecuencias absolutas y relativas, y comprobaremos las sumas.

👉 PASO 1

La tabla conjunta de partida.

La tabla anterior recoge las seis frecuencias conjuntas \(n_{ij} \) de los \(28 \) deportistas.

👉 PASO 2

Distribución marginal de X.

Sumamos cada fila:

$$n_{1.} = 8 + 4 + 2 = 14 $$
$$n_{2.} = 3 + 6 + 5 = 14 $$

Comprobación: \(14 + 14 = 28 \)

Las frecuencias relativas:

$$f_{1.} = \frac{14}{28} = 0,5 $$
$$f_{2.} = \frac{14}{28} = 0,5 $$

La mitad de los deportistas son hombres y la otra mitad mujeres.

👉 PASO 3

Distribución marginal de Y.

Sumamos cada columna:

$$n_{.1} = 8 + 3 = 11 $$
$$n_{.2} = 4 + 6 = 10 $$
$$n_{.3} = 2 + 5 = 7 $$

Comprobación: \(11 + 10 + 7 = 28 \)

Las frecuencias relativas:

$$f_{.1} = \frac{11}{28} \approx 0,393 $$
$$f_{.2} = \frac{10}{28} \approx 0,357 $$
$$f_{.3} = \frac{7}{28} = 0,25 $$

Comprobación: \(0,393 + 0,357 + 0,25 = 1 \)

La tabla de contingencia con las distribuciones marginales en frecuencias absolutas es:

X \ Yfútbolbaloncestotenis$$n_{i.} $$
hombre$$8 $$$$4 $$$$2 $$$$14 $$
mujer$$3 $$$$6 $$$$5 $$$$14 $$
$$n_{.j} $$$$11 $$$$10 $$$$7 $$$$28 $$

La tabla de contingencia con las distribuciones marginales en frecuencias relativas es:

Las frecuencias relativas interiores se obtienen dividiendo cada frecuencia conjunta entre el total \(n = 28 \):

$$f_{11} = \frac{8}{28} \approx 0,286 $$
$$f_{12} = \frac{4}{28} \approx 0,143 $$
$$f_{13} = \frac{2}{28} \approx 0,071 $$
$$f_{21} = \frac{3}{28} \approx 0,107 $$
$$f_{22} = \frac{6}{28} \approx 0,214 $$
$$f_{23} = \frac{5}{28} \approx 0,179 $$
X \ Yfútbolbaloncestotenis$$f_{i.} $$
hombre$$0,286 $$$$0,143 $$$$0,071 $$$$0,5 $$
mujer$$0,107 $$$$0,214 $$$$0,179 $$$$0,5 $$
$$f_{.j} $$$$0,393 $$$$0,357 $$$$0,25 $$$$1 $$
✅ Conclusión

La distribución marginal de \(X \) es \(14 \) hombres y \(14 \) mujeres, es decir, \(0,5 \) y \(0,5 \)

La distribución marginal de \(Y \) es \(11 \) en fútbol, \(10 \) en baloncesto y \(7 \) en tenis, es decir, \(0,393 \), \(0,357 \) y \(0,25 \)

Ambas marginales suman el total \(n = 28 \) en frecuencias absolutas y \(1 \) en frecuencias relativas.

📝 Ejemplo 3:

Enunciado: Se clasifican \(44 \) personas según los estudios, \(X \) con valores \(X_1 \) = primaria, \(X_2 \) = secundaria y \(X_3 \) = universidad, y la situación laboral, \(Y \) con valores \(Y_1 \) = empleado e \(Y_2 \) = desempleado.

La tabla de frecuencias conjuntas es:

X \\ Yempleadodesempleado
primaria$$6 $$$$4 $$
secundaria$$12 $$$$6 $$
universidad$$14 $$$$2 $$

a) Calcula la distribución marginal de \(X \) con frecuencias absolutas y relativas.

b) Calcula la distribución marginal de \(Y \) con frecuencias absolutas y relativas.

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por presentar la tabla de frecuencias conjuntas.

A continuación obtendremos la marginal de \(X \) sumando por filas, con frecuencias absolutas y relativas.

Para terminar obtendremos la marginal de \(Y \) sumando por columnas, también con frecuencias absolutas y relativas, y comprobaremos las sumas.

👉 PASO 1

La tabla conjunta de partida.

La tabla anterior recoge las seis frecuencias conjuntas \(n_{ij} \) de las \(44 \) personas.

👉 PASO 2

Distribución marginal de X.

Sumamos cada fila:

$$n_{1.} = 6 + 4 = 10 $$
$$n_{2.} = 12 + 6 = 18 $$
$$n_{3.} = 14 + 2 = 16 $$

Comprobación: \(10 + 18 + 16 = 44 \)

Las frecuencias relativas:

$$f_{1.} = \frac{10}{44} \approx 0,227 $$
$$f_{2.} = \frac{18}{44} \approx 0,409 $$
$$f_{3.} = \frac{16}{44} \approx 0,364 $$

Comprobación: \(0,227 + 0,409 + 0,364 = 1 \)

👉 PASO 3

Distribución marginal de Y.

Sumamos cada columna:

$$n_{.1} = 6 + 12 + 14 = 32 $$
$$n_{.2} = 4 + 6 + 2 = 12 $$

Comprobación: \(32 + 12 = 44 \)

Las frecuencias relativas:

$$f_{.1} = \frac{32}{44} \approx 0,727 $$
$$f_{.2} = \frac{12}{44} \approx 0,273 $$

Comprobación: \(0,727 + 0,273 = 1 \)

La tabla de contingencia con las distribuciones marginales en frecuencias absolutas es:

X \ Yempleadodesempleado$$n_{i.} $$
primaria$$6 $$$$4 $$$$10 $$
secundaria$$12 $$$$6 $$$$18 $$
universidad$$14 $$$$2 $$$$16 $$
$$n_{.j} $$$$32 $$$$12 $$$$44 $$

La tabla de contingencia con las distribuciones marginales en frecuencias relativas es:

Las frecuencias relativas interiores se obtienen dividiendo cada frecuencia conjunta entre el total \(n = 44 \):

$$f_{11} = \frac{6}{44} \approx 0,136 $$
$$f_{12} = \frac{4}{44} \approx 0,091 $$
$$f_{21} = \frac{12}{44} \approx 0,273 $$
$$f_{22} = \frac{6}{44} \approx 0,136 $$
$$f_{31} = \frac{14}{44} \approx 0,318 $$
$$f_{32} = \frac{2}{44} \approx 0,045 $$
X \ Yempleadodesempleado$$f_{i.} $$
primaria$$0,136 $$$$0,091 $$$$0,227 $$
secundaria$$0,273 $$$$0,136 $$$$0,409 $$
universidad$$0,318 $$$$0,045 $$$$0,364 $$
$$f_{.j} $$$$0,727 $$$$0,273 $$$$1 $$
✅ Conclusión

La distribución marginal de \(X \) es \(10 \) con primaria, \(18 \) con secundaria y \(16 \) con universidad, es decir, \(0,227 \), \(0,409 \) y \(0,364 \)

La distribución marginal de \(Y \) es \(32 \) empleados y \(12 \) desempleados, es decir, \(0,727 \) y \(0,273 \)

Ambas marginales suman el total \(n = 44 \) en frecuencias absolutas y \(1 \) en frecuencias relativas.