2.1 2.1 Distribución conjunta de dos variables estadísticas

Motivación: estudiar dos características a la vez

En muchos estudios interesa observar dos características a la vez en cada individuo: por ejemplo, la renta y el gasto de los hogares, las horas de estudio y la nota obtenida, o el precio de un producto y la cantidad demandada.

Analizar cada característica por separado describe cómo se comporta cada una, pero no dice nada sobre cómo se relacionan entre sí.

La estadística descriptiva bidimensional estudia las dos características de forma conjunta, para describir y cuantificar la relación que existe entre ellas.

Sin ese estudio conjunto no es posible saber, por ejemplo, si a mayor número de horas de estudio corresponde en general una nota más alta.

📝 Ejemplo:

Un banco estudia a sus clientes con dos características: el saldo medio ($X $) y el número de operaciones mensuales ($Y $).

Analizar cada una por separado no dice si los clientes con más saldo operan más o menos; solo el estudio conjunto de las parejas (saldo, operaciones) revela esa relación.

La variable estadística bidimensional (X, Y)

Cuando en cada individuo se miden dos variables estadísticas a la vez, se dispone para cada uno de ellos de una pareja de valores, que forman un vector estadístico bidimensional.

Denotamos $X \ \text{e}\ Y $ a las dos variables.

La variable $X $ toma los valores $X_1, X_2, \dots, X_k $, y la variable $Y $ toma los valores $Y_1, Y_2, \dots, Y_m $

Cada individuo aporta así una pareja $(X_i, Y_j) $: el valor que presenta en $X $ y el que presenta en $Y $

Cuando una variable es continua, sus valores se agrupan en intervalos $(l_{i-1}, l_i] $, y cada intervalo se representa por su marca de clase $x_i = \frac{l_{i-1} + l_i}{2} $

📝 Ejemplo:

En diez viviendas se miden la superficie ($X $, en metros cuadrados) y el precio ($Y $, en miles de euros): cada vivienda aporta una pareja $(x_i, y_j) $, como $(80,150) $

El conjunto de las diez parejas es la variable estadística bidimensional $(X, Y) $

La distribución conjunta: frecuencias absolutas n_ij

Para cada pareja de valores $(X_i, Y_j) $ contamos cuántos individuos la presentan.

Ese recuento es la frecuencia absoluta conjunta $n_{ij} $: el número de individuos tales que $X = X_i \ \text{e}\ Y = Y_j $

El conjunto de todas las frecuencias $n_{ij} $ forma la distribución de frecuencias conjunta de $(X, Y) $

Como cada individuo se cuenta exactamente una vez, la suma de todas las frecuencias conjuntas es el total de individuos:

$$\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{m} n_{ij} = n $$

Además, cada frecuencia conjunta está entre cero y el total: $0 \le n_{ij} \le n $

📝 Ejemplo:

De 25 encuestados, 9 son jóvenes que usan las redes a diario ($n_{11} = 9 $), 4 son jóvenes que no las usan a diario ($n_{12} = 4 $), 3 son mayores que las usan a diario ($n_{21} = 3 $) y 9 son mayores que no ($n_{22} = 9 $): $9 + 4 + 3 + 9 = 25 = n $

Las frecuencias relativas conjuntas f_ij

Dividiendo cada frecuencia absoluta entre el total se obtiene la frecuencia relativa conjunta:

$$f_{ij} = \frac{n_{ij}}{n} $$

La frecuencia $f_{ij} $ es la proporción de individuos que presentan la pareja $(X_i, Y_j) $

Cada frecuencia relativa está entre cero y uno, $0 \le f_{ij} \le 1 $, y todas ellas suman uno:

$$\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{m} f_{ij} = 1 $$

📝 Ejemplo:

Clasificamos a $20 $ estudiantes según las horas de estudio, $X ,\ \text{con}\ X_1 $ pocas horas y $X_2 $ muchas horas, y el aprobado, $Y ,\ \text{con}\ Y_1 $ no e $Y_2 $ sí.

El recuento de las parejas da las siguientes frecuencias conjuntas:

X \ Y	$$Y_1 $$ (no)	$$Y_2 $$ (sí)
$$X_1 $$ (pocas)	$$8 $$	$$3 $$
$$X_2 $$ (muchas)	$$2 $$	$$7 $$

Por ejemplo, $n_{11} = 8 $: hay $8 $ estudiantes que estudian pocas horas y no aprueban.

Y $n_{22} = 7 $: $7 $ estudiantes estudian muchas horas y aprueban.

La suma de las cuatro celdas es $8 + 3 + 2 + 7 = 20 $, el total de estudiantes.

En términos relativos, $f_{11} = \frac{8}{20} = 0,4 $: el $40 \% $ de los estudiantes estudia pocas horas y no aprueba.

📝 Ejemplo 1:

Se clasifican $30 $ familias según el número de hijos, $X $ con valores $X_1 = 1, X_2 = 2, X_3 = 3 $, y el número de coches, $Y $ con valores $Y_1 = 0, Y_2 = 1, Y_3 = 2 $

El recuento de las parejas produce la siguiente tabla de frecuencias conjuntas:

X \ Y	$$Y_1 = 0 $$	$$Y_2 = 1 $$	$$Y_3 = 2 $$
$$X_1 = 1 $$	$$2 $$	$$6 $$	$$4 $$
$$X_2 = 2 $$	$$3 $$	$$5 $$	$$4 $$
$$X_3 = 3 $$	$$3 $$	$$2 $$	$$1 $$

a) Calcula el número total de familias $n $ sumando todas las celdas.

b) Calcula las frecuencias relativas $f_{11} $, $f_{23} $ y $f_{32} $, e interpreta su significado.

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar las variables y sus valores, y presentaremos las frecuencias conjuntas en su tabla.

A continuación calcularemos el total $n $ sumando las nueve celdas de la tabla.

Para terminar hallaremos las frecuencias relativas pedidas dividiendo cada frecuencia absoluta entre $n $, e interpretaremos cada resultado como una proporción de familias.

👉 PASO 1

Las variables y la tabla de frecuencias conjuntas.

$X $ es el número de hijos, con $k = 3 $ valores; $Y $ es el número de coches, con $m = 3 $ valores.

La tabla anterior recoge las nueve frecuencias conjuntas $n_{ij} $

Por ejemplo, $n_{12} = 6 $: hay $6 $ familias con $1 $ hijo y $1 $ coche.

👉 PASO 2

Cálculo del total n.

Sumamos las nueve frecuencias conjuntas:

$$n = 2 + 6 + 4 + 3 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 30 $$

El total es $n = 30 $ familias, como exige el enunciado.

👉 PASO 3

Cálculo de las frecuencias relativas pedidas.

$$f_{11} = \frac{n_{11}}{n} = \frac{2}{30} \approx 0,067 $$

Aproximadamente el $6,7 \% $ de las familias tiene $1 $ hijo y ningún coche.

$$f_{23} = \frac{n_{23}}{n} = \frac{4}{30} \approx 0,133 $$

El $13,3 \% $ de las familias tiene $2 $ hijos y $2 $ coches.

$$f_{32} = \frac{n_{32}}{n} = \frac{2}{30} \approx 0,067 $$

El $6,7 \% $ de las familias tiene $3 $ hijos y $1 $ coche.

✅ Conclusión

El total de familias es $n = 30 $, obtenido sumando las nueve frecuencias conjuntas.

Las frecuencias relativas pedidas son $f_{11} \approx 0,067 $, $f_{23} \approx 0,133 $ y $f_{32} \approx 0,067 $

Cada una expresa la proporción de familias que presenta la pareja de valores correspondiente, y todas están entre cero y uno, como exige la teoría.

📝 Ejemplo 2:

Enunciado: Se clasifican $20 $ estudiantes según el turno, $X $ con valores $X_1 $ = mañana y $X_2 $ = tarde, y si aprueban, $Y $ con valores $Y_1 $ = no e $Y_2 $ = sí.

Las frecuencias conjuntas son $n_{11} = 6 $, $n_{12} = 4 $, $n_{21} = 2 $ y $n_{22} = 8 $

a) Calcula el total $n $ sumando las cuatro celdas.

b) Calcula las frecuencias relativas $f_{12} $ y $f_{21} $ e interpreta su significado.

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar las variables y sus valores.

A continuación calcularemos el total $n $ sumando las cuatro frecuencias conjuntas.

Para terminar hallaremos las frecuencias relativas pedidas dividiendo entre $n $ e interpretaremos cada una como una proporción de estudiantes.

👉 PASO 1

Cálculo del total n.

Sumamos las cuatro frecuencias conjuntas:

$$n = 6 + 4 + 2 + 8 = 20 $$

El total es $n = 20 $ estudiantes, como exige el enunciado.

👉 PASO 2

Cálculo de las frecuencias relativas pedidas.

$$f_{12} = \frac{n_{12}}{n} = \frac{4}{20} = 0,2 $$

El $20 \% $ de los estudiantes estudia por la mañana y aprueba.

$$f_{21} = \frac{n_{21}}{n} = \frac{2}{20} = 0,1 $$

El $10 \% $ de los estudiantes estudia por la tarde y no aprueba.

✅ Conclusión

El total de estudiantes es $n = 20 $, obtenido sumando las cuatro frecuencias conjuntas.

Las frecuencias relativas pedidas son $f_{12} = 0,2 $ y $f_{21} = 0,1 $

Ambas están entre cero y uno, como exige la teoría.

📝 Ejemplo 3:

Enunciado: Se clasifican $30 $ trabajadores según el turno, $X $ con valores $X_1 $ = mañana, $X_2 $ = tarde y $X_3 $ = noche, y la satisfacción laboral, $Y $ con valores $Y_1 $ = baja e $Y_2 $ = alta.

Las frecuencias conjuntas son:

X \\ Y	baja	alta
mañana	$$3 $$	$$9 $$
tarde	$$5 $$	$$7 $$
noche	$$4 $$	$$2 $$

a) Calcula el total $n $ sumando las seis celdas.

b) Calcula las frecuencias relativas $f_{31} $ y $f_{22} $ e interpreta su significado.

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por presentar las frecuencias conjuntas en su tabla.

A continuación calcularemos el total $n $ sumando las seis celdas.

Para terminar hallaremos las frecuencias relativas pedidas dividiendo entre $n $ e interpretaremos cada una como una proporción de trabajadores.

👉 PASO 1

Cálculo del total n.

Sumamos las seis frecuencias conjuntas:

$$n = 3 + 9 + 5 + 7 + 4 + 2 = 30 $$

El total es $n = 30 $ trabajadores, como exige el enunciado.

👉 PASO 2

Cálculo de las frecuencias relativas pedidas.

$$f_{31} = \frac{n_{31}}{n} = \frac{4}{30} \approx 0,133 $$

Aproximadamente el $13,3 \% $ de los trabajadores trabaja de noche con satisfacción baja.

$$f_{22} = \frac{n_{22}}{n} = \frac{7}{30} \approx 0,233 $$

Aproximadamente el $23,3 \% $ de los trabajadores trabaja de tarde con satisfacción alta.

✅ Conclusión

El total de trabajadores es $n = 30 $, obtenido sumando las seis frecuencias conjuntas.

Las frecuencias relativas pedidas son $f_{31} \approx 0,133 $ y $f_{22} \approx 0,233 $

Cada una expresa la proporción de trabajadores que presenta la pareja de valores correspondiente.