1.4 Medidas de forma: asimetría y curtosis
Las medidas de forma
Las medidas de posición y de dispersión no describen la forma de la distribución.
Dos distribuciones pueden tener la misma media y la misma varianza y, sin embargo, presentar siluetas completamente distintas: una puede concentrar sus valores en el centro y otra puede repartirlos con colas largas.
Las medidas de forma cuantifican esa silueta.
Para construirlas se parte de una idea muy general: resumir la distribución mediante promedios de potencias de los datos, que son los momentos.
Dos clases tienen media 6 y varianza 4 en el mismo examen, pero en una las notas se concentran en torno al 6 y en la otra hay muchos doses y dieces: las medidas de forma (asimetría y curtosis) distinguen esas dos siluetas.
Los momentos respecto al origen
El momento de orden \(r \) respecto al origen es el promedio de las potencias \(r \)-ésimas de los datos.
Se denota por \(a_r \) y se define como \(a_r = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^r \)
La definición no es arbitraria: el caso \(r = 1 \) recupera la media aritmética, es decir \(a_1 = \bar{x} \)
Elevar a potencias sucesivas permite capturar información cada vez más fina sobre cómo se reparten los valores: el orden dos está ligado a la dispersión, el orden tres al equilibrio entre las colas y el orden cuatro a la concentración en el centro.
El momento se calcula siempre en dos fases: primero se escriben los operandos, es decir cada dato elevado a \(r \), y después se promedia.
Datos: \(1,2, 3,4, 5 \) con \(n = 5 \)
Primero los operandos de orden uno: la suma vale \(15 \)
Operandos de orden dos: \(1,4, 9,16, 25 \), cuya suma vale \(55 \)
Los momentos centrales
Si los momentos respecto al origen mezclan la posición de la distribución con su forma, conviene eliminar la posición: basta medir las desviaciones respecto a la media en lugar de los datos brutos.
El momento central de orden \(r \) es el promedio de las potencias \(r \)-ésimas de las desviaciones respecto a la media.
Se denota por \(m_r \) y se define como $$m_r = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^r $$
El orden uno es revelador: $$m_1 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = \bar{x} - \bar{x} = 0 $$
Las desviaciones positivas y negativas se compensan exactamente, por lo que el primer momento central es siempre nulo y no aporta información.
El orden dos sí aporta: desarrollando el cuadrado se obtiene la varianza, como se deduce en el apartado siguiente.
Con los mismos datos \(1,2, 3,4, 5 \) y media \(\bar{x} = 3 \), las desviaciones son \(-2, -1,0, 1,2 \)
Operandos de orden dos: \(4,1, 0,1, 4 \), cuya suma vale \(10 \)
Relación entre momentos
Los momentos centrales no hay que calcularlos desde cero: se deducen de los momentos respecto al origen desarrollando la potencia del binomio \((x_i - a_1)^r \) y promediando término a término.
Los coeficientes de los desarrollos \((x_i - a_1)^r \) se leen directamente en el triángulo de Tartaglia.
Cada fila \(n \) del triángulo contiene los coeficientes binomiales $$\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n} $$: cada número es la suma de los dos que tiene encima.
| Fila 0: 1 | ||||||||
| Fila 1: 1 1 | ||||||||
| Fila 2: 1 2 1 | ||||||||
| Fila 3: 1 3 3 1 | ||||||||
| Fila 4: 1 4 6 4 1 |
Al desarrollar \((x_i - a_1)^r \), los signos alternan porque el segundo término del binomio es \(-a_1 \): los signos son \(+, -, +, -, \dots \)
Los momentos respecto al origen se definen como \(a_r = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^r \). En particular: \(a_0 = 1 \), \(a_1 = \bar{x} \), \(a_2 = \frac{1}{n}\sum x_i^2 \), \(a_3 = \frac{1}{n}\sum x_i^3 \) y \(a_4 = \frac{1}{n}\sum x_i^4 \)
Para \(r = 0 \) la fila 0 del triángulo es \([1] \): \((x_i - a_1)^0 = 1 \), luego \(m_0 = 1 \)
Para \(r = 1 \) la fila 1 es \([1,1] \) con signos \(+, - \): \((x_i - a_1)^1 = x_i - a_1 \), luego \(m_1 = a_1 - a_1 = 0 \): el primer momento central siempre vale cero.
Para \(r = 2 \): \((x_i - a_1)^2 = x_i^2 - 2a_1x_i + a_1^2 \)
Promediando se obtiene \(m_2 = a_2 - 2a_1^2 + a_1^2 = a_2 - a_1^2 \)
Es decir, la varianza es el momento de orden dos respecto al origen menos el cuadrado de la media: la deducción muestra que la posición (la media) se descuenta exactamente.
Para \(r = 3 \), el desarrollo $$(x_i - a_1)^3 = x_i^3 - 3a_1x_i^2 + 3a_1^2x_i - a_1^3 $$ promediado da $$m_3 = a_3 - 3a_1a_2 + 3a_1^3 - a_1^3 = a_3 - 3a_1a_2 + 2a_1^3 $$
Para \(r = 4 \), de $$(x_i - a_1)^4 = x_i^4 - 4a_1x_i^3 + 6a_1^2x_i^2 - 4a_1^3x_i + a_1^4 $$ se deduce $$m_4 = a_4 - 4a_1a_3 + 6a_1^2a_2 - 4a_1^4 + a_1^4 = a_4 - 4a_1a_3 + 6a_1^2a_2 - 3a_1^4 $$
Con \(a_2 = 11 \) y \(a_1 = 3 \) del ejemplo anterior, primero se escriben los operandos: \(11 \) y \(a_1^2 = 3^2 = 9 \)
El valor coincide con el calculado directamente desde las desviaciones, lo que confirma la relación deducida.
El coeficiente de asimetría de Fisher
El momento central de orden tres, \(m_3 \), es el candidato natural para medir la asimetría: al elevar al cubo se conserva el signo de cada desviación, de modo que una cola larga a la derecha (desviaciones positivas grandes) empuja \(m_3 \) hacia valores positivos y una cola larga a la izquierda lo empuja hacia valores negativos.
En una distribución simétrica cada desviación positiva tiene su gemela negativa y los cubos se cancelan: \(m_3 = 0 \)
Pero \(m_3 \) tiene unidades de \(x^3 \), de modo que su valor depende de la escala de medida y no permite comparar distribuciones.
Para obtener una medida adimensional se divide por una cantidad positiva con las mismas unidades: el cubo de la desviación típica \(s^3 \)
El coeficiente de asimetría de Fisher se define así como \(g_1 = \frac{m_3}{s^3} \)
Al ser adimensional, es invariante frente a cambios de origen y de escala (salvo el signo si la escala es negativa), por lo que dos distribuciones cualesquiera quedan comparadas en la misma escala.
Interpretación del signo:
si \(g_1 > 0 \) la cola derecha es más larga (asimetría a la derecha o positiva) y suele cumplirse que la media supera a la mediana;
si \(g_1 = 0 \) la distribución es simétrica;
si \(g_1 < 0 \) la cola izquierda es más larga (asimetría a la izquierda o negativa) y la media queda por debajo de la mediana.
Datos: \(1,2, 2,3, 7 \) con \(n = 5 \)
La suma vale \(15 \), luego \(\bar{x} = \frac{15}{5} = 3 \)
Desviaciones: \(-2, -1, -1,0, 4 \)
Operandos de orden tres: \(-8, -1, -1,0, 64 \), cuya suma vale \(54 \)
Operandos de orden dos: \(4,1, 1,0, 16 \), cuya suma vale \(22 \)
Operandos del denominador: \(s^3 = (4,4)^{3/2} = \sqrt{85,184} = 9,23 \)
Como \(g_1 > 0 \), la distribución presenta asimetría a la derecha, coherente con el valor extremo \(7 \) que alarga la cola derecha.
El coeficiente de curtosis
El momento central de orden cuatro, \(m_4 \), mide la concentración de los valores en torno al centro frente al peso de las colas: al elevar a la cuarta potencia, las desviaciones grandes (colas) pesan muchísimo más que las pequeñas (centro).
De nuevo \(m_4 \) depende de la escala, con unidades de \(x^4 \), así que se adimensionaliza dividiendo por \(s^4 \)
El cociente \(\frac{m_4}{s^4} \) es el coeficiente de curtosis de Pearson.
Fisher propuso restarle el valor que toma en la distribución normal, que es \(3 \), para que la distribución de referencia quede en cero.
El coeficiente de curtosis (de Fisher) se define por tanto como \(g_2 = \frac{m_4}{s^4} - 3 \)
Interpretación:
si \(g_2 > 0 \) la distribución es leptocúrtica, más apuntada y con colas más pesadas que la normal;
si \(g_2 = 0 \) es mesocúrtica, como la normal;
si \(g_2 < 0 \) es platicúrtica, más aplanada y con colas más ligeras que la normal.
Datos: \(1,3, 5,7, 9 \) con \(n = 5 \) y \(\bar{x} = 5 \)
Desviaciones: \(-4, -2,0, 2,4 \)
Operandos de orden cuatro: \(256,16, 0,16, 256 \), cuya suma vale \(544 \)
Operandos de orden dos: \(16,4, 0,4, 16 \), cuya suma vale \(40 \)
Como \(g_2 < 0 \), la distribución es platicúrtica: los valores están repartidos de forma uniforme, sin concentración central.
Enunciado:
En una prueba se han observado los valores \(0 \) (3 veces), \(1 \) (2 veces) y \(2 \) (1 vez).
Calcula el coeficiente de asimetría de Fisher e interpreta el resultado.
Se parte de lo genérico: primero la media y los momentos respecto al origen como promedios de potencias; después se imponen las condiciones del problema (los tres valores con sus frecuencias) para obtener los momentos centrales mediante la relación deducida; con el mínimo cálculo necesario se llega al coeficiente y a su interpretación.
El total de observaciones es \(n = 6 \)
Operandos de la media: \(0 \cdot 3 = 0 \), \(1 \cdot 2 = 2 \) y \(2 \cdot 1 = 2 \)
Operandos de orden dos: \(0^2 \cdot 3 = 0 \), \(1^2 \cdot 2 = 2 \) y \(2^2 \cdot 1 = 4 \)
Operandos de orden tres: \(0 \), \(2 \) y \(8 \)
Con la relación deducida: $$m_2 = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $$
Numéricamente \(g_1 \approx 0,63 \)
Como \(g_1 > 0 \), el conjunto de datos presenta asimetría a la derecha: el valor \(2 \), aunque poco frecuente, alarga la cola derecha y arrastra la media por encima de la mayoría de los datos.
Enunciado:
Las notas de \(5 \) alumnos en un examen son: \(4,5, 5,6, 10 \)
Calcula el coeficiente de asimetría de Fisher e interpreta el resultado.
Se parte de lo genérico: primero la media y los momentos respecto al origen como promedios de potencias; después se imponen las condiciones del problema (los cinco datos) para obtener los momentos centrales mediante la relación deducida; con el mínimo cálculo necesario se llega al coeficiente y a su interpretación.
Las desviaciones son \(4 - 6 = -2 \), \(5 - 6 = -1 \) (dos veces), \(6 - 6 = 0 \) y \(10 - 6 = 4 \)
Operandos de orden dos: \(4,1, 1,0, 16 \)
Operandos de orden tres: \(-8, -1, -1,0, 64 \)
Como \(g_1 > 0 \), el conjunto de datos presenta asimetría a la derecha: la nota \(10 \) alarga la cola derecha y arrastra la media por encima de la mayoría de los datos.
Enunciado:
Las puntuaciones de \(5 \) opositores en una prueba son: \(0,0, 0,0, 10 \)
Calcula el coeficiente de curtosis de Fisher y clasifica el conjunto de datos.
Se parte de lo genérico: primero la media; después los momentos centrales de orden dos y cuatro como promedios de potencias de las desviaciones; con el mínimo cálculo necesario se llega al coeficiente y a su interpretación.
Las desviaciones son \(-2 \) (cuatro veces) y \(8 \)
Operandos de orden dos: \(4,4, 4,4, 64 \)
Operandos de orden cuatro: \(16,16, 16,16, 4096 \)
Como \(g_2 > 0 \), el conjunto de datos es leptocúrtico: los cuatro ceros concentran los valores en el centro y el valor extremo \(10 \) alarga mucho las colas.