Medidas de posición: media, mediana, moda y percentiles

Medidas de posición: qué son y para qué sirven. Cuando se recoge un conjunto numeroso de observaciones, resulta imposible retener cada dato individual y extraer conclusiones a simple vista. Por este motivo se construyen las medidas de posición: unos pocos valores numéricos que resumen dónde se sitúa el conjunto de datos y cómo se reparten a su alrededor. Se dividen en dos familias: las medidas de tendencia central, que buscan el valor más representativo del conjunto, y las medidas de posición no central, que indican dónde se encuentran determinados porcentajes de los datos. Las primeras son la media, la mediana y la moda; las segundas, los cuantiles (cuartiles, deciles y percentiles). A ellas se añaden otras medias distintas de la aritmética, útiles en situaciones especiales, y el estudio de las posiciones relativas de los tres promedios. Estudiaremos cada una partiendo de la idea intuitiva, deduciendo su fórmula y analizando cuándo conviene usarla. 1. La media aritmética. La idea intuitiva es la del reparto equitativo: el total acumulado repartido a partes iguales entre todas las observaciones. Para formalizarla partimos de lo más genérico. Llamamos $$x_1, x_2, \dots, x_n || equis sub uno, equis sub dos, puntos suspensivos, equis sub ene ||$$ a las $$n || ene ||$$ observaciones y buscamos un valor $$c || ce ||$$ que las represente a todas. Imponemos la condición de que sustituir cada observación por $$c || ce ||$$ no altere el total acumulado. El total original es $$\sum_{i=1}^{n} x_i || el sumatorio desde i igual a uno hasta ene de equis sub i ||$$ y el total tras la sustitución es $$n \cdot c || ene por ce ||$$ Igualando ambos totales obtenemos la ecuación $$n \cdot c = \sum_{i=1}^{n} x_i || ene por ce es igual al sumatorio desde i igual a uno hasta ene de equis sub i ||$$ Despejando $$c || ce ||$$ llegamos a la media aritmética, que se denota $$\bar{x} || equis barra ||$$: $$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i || equis barra es igual a uno partido por ene por el sumatorio desde i igual a uno hasta ene de equis sub i ||$$ Es decir, la media es el valor que, repetido $$n || ene ||$$ veces, reproduce exactamente el total de los datos. Ejemplo: Los sueldos mensuales de $$5 || cinco ||$$ trabajadores de un comercio, en euros, son: $$1200, 1350, 1400, 1600, 2100 || mil doscientos, mil trescientos cincuenta, mil cuatrocientos, mil seiscientos, dos mil cien ||$$ Primero escribimos los operandos y calculamos el total: $$S = 1200 + 1350 + 1400 + 1600 + 2100 = 7650 || ese es igual a mil doscientos más mil trescientos cincuenta más mil cuatrocientos más mil seiscientos más dos mil cien || || , por tanto sumando es igual a siete mil seiscientos cincuenta || $$ Aplicamos la fórmula de la media: $$\bar{x} = \frac{7650}{5} = 1530 || equis barra es igual a siete mil seiscientos cincuenta partido por cinco || || , de donde dividiendo es igual a mil quinientos treinta || $$ El sueldo medio es $$1530 || mil quinientos treinta ||$$ euros: si el total se repartiera a partes iguales, cada trabajador percibiría esa cantidad. Propiedades de la media aritmética. Primera propiedad: la suma de las desviaciones respecto a la media es cero. Se llama desviación de cada observación a su distancia con signo respecto a la media: $$d_i = x_i - \bar{x} || de sub i es igual a equis sub i menos equis barra ||$$ La propiedad afirma que $$\sum_{i=1}^{n} d_i = 0 || el sumatorio desde i igual a uno hasta ene de de sub i es igual a cero ||$$ Demostración: partimos de la definición y sumamos sobre todas las observaciones. $$\sum_{i=1}^{n} d_i = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \bar{x} = \sum_{i=1}^{n} x_i - n \bar{x} || el sumatorio desde i igual a uno hasta ene de de sub i es igual al sumatorio desde i igual a uno hasta ene de, equis sub i menos equis barra || || , que desarrollando la resta dentro del sumatorio es igual al sumatorio de equis sub i menos el sumatorio de equis barra || || , que al ser equis barra constante respecto al índice de suma es igual al sumatorio de equis sub i menos ene por equis barra || $$ Ahora bien, de la propia definición de la media se deduce que $$\sum_{i=1}^{n} x_i = n \bar{x} || el sumatorio desde i igual a uno hasta ene de equis sub i es igual a ene por equis barra ||$$ Sustituyendo: $$\sum_{i=1}^{n} d_i = n \bar{x} - n \bar{x} = 0 || el sumatorio de las desviaciones es igual a ene por equis barra menos ene por equis barra || || , así pues restando es igual a cero || $$ Por tanto las desviaciones positivas y negativas se compensan exactamente: la media es el centro de gravedad de los datos. Segunda propiedad: la media minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones. Fijado un candidato cualquiera $$c || ce ||$$, definimos el error cuadrático total $$S(c) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - c)^2 || ese de ce es igual al sumatorio desde i igual a uno hasta ene de, equis sub i menos ce, al cuadrado ||$$ La propiedad afirma que este error es mínimo precisamente cuando $$c = \bar{x} || ce es igual a equis barra ||$$ Demostración: desarrollamos el cuadrado dentro del sumatorio. $$S(c) = \sum_{i=1}^{n} (x_i^2 - 2 c x_i + c^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2 c \sum_{i=1}^{n} x_i + n c^2 || ese de ce es igual al sumatorio de, equis sub i al cuadrado menos dos ce equis sub i más ce al cuadrado || || , que desarrollando el cuadrado de la diferencia es igual al sumatorio de equis sub i al cuadrado menos dos ce por el sumatorio de equis sub i más ene ce al cuadrado || $$ Como $$\sum_{i=1}^{n} x_i = n \bar{x} || el sumatorio de equis sub i es igual a ene por equis barra ||$$, sustituimos y completamos el cuadrado en $$c || ce ||$$, sumando y restando $$n \bar{x}^2 || ene equis barra al cuadrado ||$$: $$S(c) = n c^2 - 2 n \bar{x} c + \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = n (c^2 - 2 \bar{x} c + \bar{x}^2) + \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n \bar{x}^2 = n (c - \bar{x})^2 + \left( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n \bar{x}^2 \right) || ese de ce es igual a ene ce al cuadrado menos dos ene equis barra ce más el sumatorio de equis sub i al cuadrado || || , que extrayendo factor común ene y completando el cuadrado es igual a ene por, ce al cuadrado menos dos equis barra ce más equis barra al cuadrado, más el sumatorio de equis sub i al cuadrado menos ene equis barra al cuadrado || || , que reconociendo el trinomio cuadrado perfecto es igual a ene por, ce menos equis barra, al cuadrado, más el sumatorio de equis sub i al cuadrado menos ene equis barra al cuadrado || $$ El segundo sumando no depende de $$c || ce ||$$ El primero es $$n (c - \bar{x})^2 \geq 0 || ene por, ce menos equis barra, al cuadrado, mayor o igual que cero ||$$, pues es un cuadrado multiplicado por $$n || ene ||$$, que es positivo. Por tanto $$S(c) || ese de ce ||$$ alcanza su valor mínimo cuando ese término se anula, es decir, cuando $$c = \bar{x} || ce es igual a equis barra ||$$ Queda demostrado que ningún otro valor aproxima mejor al conjunto en el sentido de los mínimos cuadrados. Media ponderada. Hasta ahora todas las observaciones valían lo mismo. En economía es frecuente que cada dato tenga una importancia distinta: en un índice de precios, la alimentación pesa más que el ocio porque las familias gastan más en ella. Llamamos peso a esa importancia y lo denotamos $$w_i || uve doble sub i ||$$ para la observación $$x_i || equis sub i ||$$ Para deducir la fórmula repetimos la construcción de la media: cada observación aporta ahora $$w_i || uve doble sub i ||$$ veces su valor al total, y el número total de unidades de peso es $$\sum_{i=1}^{n} w_i || el sumatorio desde i igual a uno hasta ene de uve doble sub i ||$$ El valor representativo, la media ponderada $$x_p || equis sub pe ||$$, es por tanto: $$x_p = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} || equis sub pe es igual al sumatorio desde i igual a uno hasta ene de uve doble sub i por equis sub i partido por el sumatorio desde i igual a uno hasta ene de uve doble sub i ||$$ Si todos los pesos son iguales, $$w_i = w || uve doble sub i es igual a uve doble ||$$, el peso común se simplifica y se recupera la media aritmética ordinaria: $$x_p = \frac{w \sum_{i=1}^{n} x_i}{n w} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \bar{x} || equis sub pe es igual a uve doble por el sumatorio de equis sub i partido por ene por uve doble || || , que simplificando el peso común es igual al sumatorio de equis sub i partido por ene || || , por tanto es igual a equis barra, la media aritmética ordinaria || $$ Obsérvese que siempre es posible tomar los pesos de forma que sumen la unidad: basta dividir cada peso entre la suma de todos, es decir, trabajar con $$\alpha_i = \frac{w_i}{\sum_{j=1}^{n} w_j} || alfa sub i es igual a uve doble sub i partido por el sumatorio desde jota igual a uno hasta ene de uve doble sub jota ||$$, y entonces $$x_p = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i || equis sub pe es igual al sumatorio desde i igual a uno hasta ene de alfa sub i por equis sub i ||$$ con $$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i = 1 || el sumatorio desde i igual a uno hasta ene de alfa sub i es igual a uno ||$$ Ejemplo: Un índice de precios simplificado sigue $$3 || tres ||$$ grupos con sus ponderaciones sobre $$100 || cien ||$$: alimentación, peso $$40 || cuarenta ||$$ y subida del $$2,1 \% || dos coma uno por ciento ||$$; vivienda, peso $$35 || treinta y cinco ||$$ y subida del $$1,4 \% || uno coma cuatro por ciento ||$$; transporte, peso $$25 || veinticinco ||$$ y subida del $$3,0 \% || tres coma cero por ciento ||$$ Escribimos la fórmula con los operandos: $$x_p = \frac{40 \cdot 2,1 + 35 \cdot 1,4 + 25 \cdot 3,0}{40 + 35 + 25} || equis sub pe es igual a la fracción con numerador cuarenta por dos coma uno más treinta y cinco por uno coma cuatro más veinticinco por tres coma cero, y denominador cuarenta más treinta y cinco más veinticinco ||$$ Calculamos cada aportación por separado:

Cálculo	Resultado
$$40 \cdot 2,1 ||cuarenta por dos coma uno||$$	$$84 ||ochenta y cuatro||$$
$$35 \cdot 1,4 ||treinta y cinco por uno coma cuatro||$$	$$49 ||cuarenta y nueve||$$
$$25 \cdot 3,0 ||veinticinco por tres coma cero||$$	$$75 ||setenta y cinco||$$

Sustituimos y operamos: $$x_p = \frac{84 + 49 + 75}{100} = \frac{208}{100} = 2,08 || equis sub pe es igual a la fracción con numerador ochenta y cuatro más cuarenta y nueve más setenta y cinco, y denominador cien || || , que sumando el numerador es igual a doscientos ocho partido por cien || || , de donde dividiendo es igual a dos coma cero ocho || $$ La subida media ponderada de los precios es del $$2,08 \% || dos coma cero ocho por ciento ||$$ Media para datos agrupados. Cuando los datos vienen agrupados en intervalos no se conocen los valores individuales. Partimos de la hipótesis más simple posible: dentro de cada intervalo los valores se reparten de manera uniforme, por lo que el intervalo queda bien representado por su punto medio, la marca de clase $$x_i || equis sub i ||$$ Si la clase $$i || i ||$$ tiene frecuencia $$n_i || ene sub i ||$$, es como si su marca apareciera $$n_i || ene sub i ||$$ veces: la frecuencia actúa como peso. La media para datos agrupados es por tanto una media ponderada con pesos $$n_i || ene sub i ||$$: $$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i x_i}{N} || equis barra es igual al sumatorio desde i igual a uno hasta ka de ene sub i por equis sub i partido por ene mayúscula ||$$ donde $$k || ka ||$$ es el número de intervalos y $$N || ene mayúscula ||$$ el número total de observaciones. Ejemplo: Los sueldos mensuales de $$20 || veinte ||$$ trabajadores, en euros, se agrupan en $$3 || tres ||$$ tramos: de $$1000 || mil ||$$ a $$1500 || mil quinientos ||$$, $$6 || seis ||$$ trabajadores; de $$1500 || mil quinientos ||$$ a $$2000 || dos mil ||$$, $$9 || nueve ||$$ trabajadores; de $$2000 || dos mil ||$$ a $$2500 || dos mil quinientos ||$$, $$5 || cinco ||$$ trabajadores. Las marcas de clase son los puntos medios:

Cálculo	Resultado
$$x_1 ||equis sub uno||$$	$$\frac{1000 + 1500}{2} = 1250 ||mil más mil quinientos partido por dos|| ||, que operando es igual a mil doscientos cincuenta|| $$
$$x_2 ||equis sub dos||$$	$$\frac{1500 + 2000}{2} = 1750 ||mil quinientos más dos mil partido por dos|| ||, así pues operando es igual a mil setecientos cincuenta|| $$
$$x_3 ||equis sub tres||$$	$$\frac{2000 + 2500}{2} = 2250 ||dos mil más dos mil quinientos partido por dos|| ||, que operando es igual a dos mil doscientos cincuenta|| $$

Escribimos los operandos de la media ponderada: $$\bar{x} = \frac{6 \cdot 1250 + 9 \cdot 1750 + 5 \cdot 2250}{20} || equis barra es igual a la fracción con numerador seis por mil doscientos cincuenta más nueve por mil setecientos cincuenta más cinco por dos mil doscientos cincuenta, y denominador veinte ||$$ Operamos cada producto:

Cálculo	Resultado
$$6 \cdot 1250 ||seis por mil doscientos cincuenta||$$	$$7500 ||siete mil quinientos||$$
$$9 \cdot 1750 ||nueve por mil setecientos cincuenta||$$	$$15750 ||quince mil setecientos cincuenta||$$
$$5 \cdot 2250 ||cinco por dos mil doscientos cincuenta||$$	$$11250 ||once mil doscientos cincuenta||$$

Sumamos y dividimos: $$\bar{x} = \frac{7500 + 15750 + 11250}{20} = \frac{34500}{20} = 1725 || equis barra es igual a la fracción con numerador siete mil quinientos más quince mil setecientos cincuenta más once mil doscientos cincuenta, y denominador veinte || || , que sumando el numerador es igual a treinta y cuatro mil quinientos partido por veinte || || , por tanto dividiendo es igual a mil setecientos veinticinco || $$ El sueldo medio estimado es $$1725 || mil setecientos veinticinco ||$$ euros. Cambios de origen y de escala. Dos propiedades sencillas pero fundamentales describen cómo responde la media cuando se transforman los datos. Si a todos los valores de una variable $$x || equis ||$$ se les suma una constante $$a || a ||$$, se obtiene una nueva variable $$y = x + a || i griega es igual a equis más a ||$$ cuya media es la antigua más esa misma constante: $$\bar{y} = \bar{x} + a || i griega barra es igual a equis barra más a ||$$ Es lo que ocurre cuando se aplica un cambio de origen: si a todos los alumnos de una clase se les sube un punto la nota, la nueva nota media será la antigua aumentada también en un punto. La demostración es directa: como $$y_i = x_i + a || i griega sub i es igual a equis sub i más a ||$$, al promediar la constante sale del sumatorio multiplicada por $$n || ene ||$$ y queda $$\bar{y} = \frac{\sum x_i + n a}{n} = \bar{x} + a || i griega barra es igual al sumatorio de equis sub i más ene por a partido por ene || || , que operando es igual a equis barra más a || $$ Si a todos los valores se les multiplica por una constante $$b || ve ||$$, se obtiene $$y = b x || i griega es igual a ve por equis ||$$ y la media queda multiplicada por esa misma constante: $$\bar{y} = b \bar{x} || i griega barra es igual a ve por equis barra ||$$ Es el cambio de escala: al pasar unos salarios de euros a dólares multiplicando por el tipo de cambio, la media en dólares es la media en euros multiplicada por ese mismo tipo. Reuniendo ambas propiedades, ante una transformación lineal $$y = a + b x || i griega es igual a a más ve por equis ||$$ (cambio de origen y de escala a la vez) la media se transforma con la misma regla: $$\bar{y} = a + b \bar{x} || i griega barra es igual a a más ve por equis barra ||$$ Media de una población dividida en estratos. Cuando la población se divide en grupos o estratos de los que se conocen el tamaño y la media, la media global es la media ponderada de las medias de los estratos, con pesos iguales a sus tamaños. Con dos estratos de tamaños $$N_1 \ \text{e}\ N_2 || ene mayúscula sub uno || || ene mayúscula sub dos || $$ y medias $$\bar{x}_1 \ \text{e}\\\bar{x}_2 || equis barra sub uno || || equis barra sub dos || $$, la media global es: $$\bar{x} = \frac{N_1 \bar{x}_1 + N_2 \bar{x}_2}{N_1 + N_2} || equis barra es igual a la fracción con numerador ene mayúscula sub uno por equis barra sub uno más ene mayúscula sub dos por equis barra sub dos, y denominador ene mayúscula sub uno más ene mayúscula sub dos ||$$ La idea es inmediata: el total de cada estrato es su tamaño por su media, y el total global es la suma de los totales; la fórmula se generaliza sin cambios a más de dos estratos. Ejemplo: En una asignatura hay dos grupos: el primero de $$20 || veinte ||$$ alumnos con nota media $$4 || cuatro ||$$, y el segundo de $$35 || treinta y cinco ||$$ alumnas con nota media $$6 || seis ||$$ La nota media conjunta es: $$\bar{x} = \frac{20 \cdot 4 + 35 \cdot 6}{20 + 35} = \frac{80 + 210}{55} = \frac{290}{55} = 5,273 || equis barra es igual a la fracción con numerador veinte por cuatro más treinta y cinco por seis, y denominador veinte más treinta y cinco || || , que operando el numerador es igual a ochenta más doscientos diez partido por cincuenta y cinco || || , que sumando es igual a doscientos noventa partido por cincuenta y cinco || || , de donde dividiendo es igual a cinco coma doscientos setenta y tres || $$ puntos. 2. La mediana. La mediana responde a otra pregunta: qué valor deja por debajo y por encima al mismo número de observaciones. Se denota $$Me || eme mayúscula e ||$$ (o $$m || eme ||$$). El primer paso para construirla es ordenar los datos de menor a mayor: $$x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \dots \leq x_{(n)} || equis sub uno menor o igual que equis sub dos menor o igual que puntos suspensivos menor o igual que equis sub ene ||$$ Si $$n || ene ||$$ es impar, existe una observación justo en el centro, la que ocupa la posición $$\frac{n+1}{2} || ene más uno partido por dos ||$$, y ese valor es la mediana: $$Me = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} || eme mayúscula e es igual a equis sub, ene más uno partido por dos ||$$ Si $$n || ene ||$$ es par, hay dos observaciones centrales, las que ocupan las posiciones $$\frac{n}{2} || ene partido por dos ||$$ y $$\frac{n}{2} + 1 || ene partido por dos más uno ||$$, y por convenio la mediana no es única: es cualquier valor comprendido entre ambas. En la práctica, para evitar esta indeterminación, se toma el menor de esos valores, es decir, la observación que ocupa la posición $$\frac{n}{2} || ene partido por dos ||$$ De forma general, con la tabla de frecuencias, se busca en las frecuencias absolutas acumuladas el primer valor $$N_i || ene mayúscula sub i ||$$ mayor o igual que $$n/2 || ene partido por dos ||$$ (o el primer $$F_i || efe mayúscula sub i ||$$ mayor o igual que $$0,50 || cero coma cincuenta ||$$ si se trabaja con frecuencias relativas). Si $$N_i = n/2 || ene mayúscula sub i es igual a ene partido por dos ||$$ exactamente, cualquier valor del intervalo $$[x_i, x_{i+1}] || entre equis sub i y equis sub i más uno ||$$ es una mediana y en la práctica se toma $$x_i || equis sub i ||$$; si $$N_i > n/2 || ene mayúscula sub i mayor que ene partido por dos ||$$, la mediana es $$x_i || equis sub i ||$$ La razón de fondo es que la mediana parte la muestra ordenada en dos mitades del mismo tamaño. Ejemplo: Las tasas de inflación anual de $$6 || seis ||$$ años, en porcentaje y ya ordenadas, son: $$1,8; \; 2,0; \; 2,3; \; 2,9; \; 3,1; \; 3,5 || uno coma ocho, dos coma cero, dos coma tres, dos coma nueve, tres coma uno, tres coma cinco ||$$ Como $$n = 6 || ene es igual a seis ||$$ es par, calculamos $$n/2 = 3 || ene partido por dos es igual a tres ||$$: la tercera frecuencia acumulada coincide exactamente con ese valor, luego cualquier número entre la tercera observación ($$2,3 || dos coma tres ||$$) y la cuarta ($$2,9 || dos coma nueve ||$$) es una mediana. En la práctica tomamos la tercera: $$Me = 2,3 || eme mayúscula e es igual a dos coma tres ||$$ La mitad de los años tuvo una inflación igual o inferior a $$2,3 || dos coma tres ||$$ y la otra mitad igual o superior. Mediana para datos agrupados en intervalos. Cuando los datos vienen agrupados en intervalos no se conocen los valores individuales, así que la mediana se estima por interpolación dentro de la clase que la contiene, salvo que alguna frecuencia acumulada coincida exactamente con $$N/2 || ene mayúscula partido por dos ||$$, en cuyo caso una mediana es el propio límite de la clase. La clase mediana es la primera clase cuya frecuencia absoluta acumulada alcanza o supera a $$N/2 || ene mayúscula partido por dos ||$$, donde $$N || ene mayúscula ||$$ es el total de observaciones. Llamamos $$L_i || ele sub i ||$$ al límite inferior de la clase mediana, $$N_{i-1} || ene mayúscula sub i menos uno ||$$ a la frecuencia absoluta acumulada hasta la clase anterior, $$n_i || ene sub i ||$$ a la frecuencia absoluta de la clase mediana y $$A_i || a mayúscula sub i ||$$ a su amplitud. La amplitud de la clase mediana se calcula como $$A_i = L_{sup} - L_{inf} || a mayúscula sub i es igual a ele sub ese u pe menos ele sub i ene efe ||$$ Como dentro de la clase mediana se supone que los valores se reparten de forma uniforme (hipótesis de uniformidad), la mediana se obtiene por interpolación lineal: $$Me = L_i + \frac{N/2 - N_{i-1}}{n_i} \cdot A_i || eme mayúscula e es igual a ele sub i más la fracción con numerador ene mayúscula partido por dos menos ene mayúscula sub i menos uno, y denominador ene sub i, por a mayúscula sub i ||$$ Ejemplo: Los pesos de $$19 || diecinueve ||$$ recién nacidos, en kilogramos, se agrupan así: de $$2,4 || dos coma cuatro ||$$ a $$2,9 || dos coma nueve ||$$, $$3 || tres ||$$ casos; de $$2,9 || dos coma nueve ||$$ a $$3,3 || tres coma tres ||$$, $$6 || seis ||$$ casos; de $$3,3 || tres coma tres ||$$ a $$3,8 || tres coma ocho ||$$, $$6 || seis ||$$ casos; de $$3,8 || tres coma ocho ||$$ a $$4,5 || cuatro coma cinco ||$$, $$4 || cuatro ||$$ casos. Las frecuencias acumuladas son $$3,9, 15,19 || tres, nueve, quince, diecinueve ||$$ Como $$N/2 = 9,5 || ene mayúscula partido por dos es igual a nueve coma cinco ||$$, la clase mediana es la tercera, la que va de $$3,3 || tres coma tres ||$$ a $$3,8 || tres coma ocho ||$$, pues su acumulada pasa de $$9 || nueve ||$$ a $$15 || quince ||$$ Aplicamos la fórmula con $$L_i = 3,3 || ele sub i es igual a tres coma tres ||$$, $$N_{i-1} = 9 || ene mayúscula sub i menos uno es igual a nueve ||$$, $$n_i = 6 \ \text{e}\ A_i = 0,5 || ene sub i es igual a seis || || a mayúscula sub i es igual a cero coma cinco || $$: $$Me = 3,3 + \frac{9,5 - 9}{6} \cdot 0,5 = 3,34 || eme mayúscula e es igual a tres coma tres más la fracción con numerador nueve coma cinco menos nueve, y denominador seis, por cero coma cinco || || , que operando es igual a tres coma treinta y cuatro || $$ kilogramos. 3. La moda. La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia: el más repetido de la muestra. Se denota $$Mo || eme mayúscula o ||$$ A diferencia de la media y la mediana, no se calcula con operaciones, sino contando repeticiones. Si un solo valor alcanza la frecuencia máxima, la distribución es unimodal; si son dos, bimodal; si hay más, multimodal. Y si todos los valores aparecen el mismo número de veces, la moda no existe, porque ningún valor destaca sobre los demás. La moda es además la única medida de tendencia central que puede calcularse para variables cualitativas, donde no tiene sentido sumar ni ordenar. Ejemplo: El precio del litro de aceite de oliva en $$6 || seis ||$$ comercios, en euros, es: $$4,20; \; 4,50; \; 4,20; \; 4,80; \; 4,20; \; 5,10 || cuatro coma veinte, cuatro coma cincuenta, cuatro coma veinte, cuatro coma ochenta, cuatro coma veinte, cinco coma diez ||$$ Contamos las repeticiones: el $$4,20 || cuatro coma veinte ||$$ aparece $$3 || tres ||$$ veces, y el resto solo una. Por tanto la moda es $$Mo = 4,20 || eme mayúscula o es igual a cuatro coma veinte ||$$ euros, y la distribución es unimodal. Moda para datos agrupados en intervalos. Con intervalos de igual amplitud, la clase modal es la de mayor frecuencia absoluta. Llamamos $$n_i || ene sub i ||$$ a la frecuencia absoluta de la clase modal, $$n_{i-1} || ene sub i menos uno ||$$ a la de la clase anterior y $$n_{i+1} || ene sub i más uno ||$$ a la de la clase siguiente. Definimos $$d_1 = n_i - n_{i-1} || de sub uno es igual a ene sub i menos ene sub i menos uno ||$$ y $$d_2 = n_i - n_{i+1} || de sub dos es igual a ene sub i menos ene sub i más uno ||$$ Si la clase modal es la primera, no hay clase anterior y se toma $$n_{i-1} = 0 || ene sub i menos uno es igual a cero ||$$; si es la última, se toma $$n_{i+1} = 0 || ene sub i más uno es igual a cero ||$$ Llamamos $$A_i || a mayúscula sub i ||$$ a la amplitud de la clase modal, que se calcula como $$A_i = L_{sup} - L_{inf} || a mayúscula sub i es igual a ele sub ese u pe menos ele sub i ene efe ||$$ La fórmula de la moda con intervalos de igual amplitud es: $$Mo = L_i + \frac{d_1}{d_1 + d_2} \cdot A_i || eme mayúscula o es igual a ele sub i más la fracción con numerador de sub uno y denominador de sub uno más de sub dos, por a mayúscula sub i ||$$ Con intervalos de distinta amplitud la clase modal no se elige por frecuencia absoluta, sino por densidad: es la de mayor densidad. La densidad de cada clase es $$d_i = \frac{n_i}{A_i} || de sub i es igual a ene sub i partido por a mayúscula sub i ||$$ Llamamos $$d_{i-1} || de sub i menos uno ||$$ a la densidad de la clase anterior y $$d_{i+1} || de sub i más uno ||$$ a la de la clase siguiente, y definimos $$h_1 = d_i - d_{i-1} || hache sub uno es igual a de sub i menos de sub i menos uno ||$$ y $$h_2 = d_i - d_{i+1} || hache sub dos es igual a de sub i menos de sub i más uno ||$$ Si la clase modal es la primera, se toma $$d_{i-1} = 0 || de sub i menos uno es igual a cero ||$$; si es la última, se toma $$d_{i+1} = 0 || de sub i más uno es igual a cero ||$$ La fórmula de la moda con intervalos de distinta amplitud es: $$Mo = L_i + \frac{h_1}{h_1 + h_2} \cdot A_i || eme mayúscula o es igual a ele sub i más la fracción con numerador hache sub uno y denominador hache sub uno más hache sub dos, por a mayúscula sub i ||$$ La idea de fondo es que la moda queda desplazada dentro de la clase modal hacia el lado de la clase contigua con más densidad, en proporción a las diferencias de densidades. Ejemplo: En el ejemplo de los pesos de los recién nacidos, las alturas del histograma (las densidades) de las clases centrales son $$h_{i-1} = 6 || hache sub i menos uno es igual a seis ||$$, $$h_i = 15 \ \text{e}\ h_{i+1} = 12 || hache sub i es igual a quince || || hache sub i más uno es igual a doce || $$, y la clase modal es la que va de $$2,9 || dos coma nueve ||$$ a $$3,3 || tres coma tres ||$$, de amplitud $$A_i = 0,4 || a mayúscula sub i es igual a cero coma cuatro ||$$ Calculamos $$h_1 = 15 - 6 = 9 \ \text{e}\ h_2 = 15 - 12 = 3 || hache sub uno es igual a quince menos seis || || , que restando es igual a nueve || || hache sub dos es igual a quince menos doce || || , que restando es igual a tres || $$ $$Mo = 2,9 + \frac{9}{9 + 3} \cdot 0,4 = 2,9 + 0,3 = 3,2 || eme mayúscula o es igual a dos coma nueve más nueve partido por doce por cero coma cuatro || || , que operando es igual a dos coma nueve más cero coma tres || || , por tanto es igual a tres coma dos || $$ kilogramos. Como se aprecia, la moda queda en la parte derecha de la clase modal, atraída por la clase contigua de mayor densidad. 4. Los cuantiles: cuartiles, deciles y percentiles. La mediana responde a la pregunta del $$50 \% || cincuenta por ciento ||$$ Los cuantiles generalizan esa idea a cualquier porcentaje: dado $$u || u ||$$ entre $$0 || cero ||$$ y $$1 || uno ||$$, el cuantil de orden $$u || u ||$$, denotado $$q(u) || cu de u ||$$, es el valor que deja por debajo de sí (menores o iguales) una fracción $$u || u ||$$ de las observaciones, es decir, el valor con frecuencia relativa acumulada $$u || u ||$$ (o frecuencia absoluta acumulada $$u \cdot n || u por ene ||$$). Los cuantiles más usados tienen nombre propio: los cuartiles $$Q_1 = q(0,25) || cu sub uno es igual a cu de cero coma veinticinco ||$$, $$Q_2 = q(0,50) || cu sub dos es igual a cu de cero coma cincuenta ||$$, que coincide con la mediana, y $$Q_3 = q(0,75) || cu sub tres es igual a cu de cero coma setenta y cinco ||$$; los deciles $$D_1 = q(0,10) || de sub uno es igual a cu de cero coma diez ||$$, $$D_2 = q(0,20) || de sub dos es igual a cu de cero coma veinte ||$$, y así hasta $$D_9 = q(0,90) || de sub nueve es igual a cu de cero coma noventa ||$$; y los percentiles $$P_k = q(k/100) || pe sub ka es igual a cu de ka partido por cien ||$$, de modo que $$P_{25} = Q_1 || pe sub veinticinco es igual a cu sub uno ||$$, $$P_{50} = Q_2 || pe sub cincuenta es igual a cu sub dos ||$$, etc. Cálculo con datos no agrupados. Se calcula la frecuencia teórica $$u \cdot n || u por ene ||$$ y se busca en las frecuencias acumuladas. Si ninguna frecuencia acumulada coincide con ella, el cuantil es la primera observación que la supera. Si alguna coincide, el cuantil es cualquier valor entre esa observación y la siguiente; en la práctica se toma el mínimo, es decir, la propia observación. Ejemplo: Una variable toma los valores $$2,1 || dos coma uno ||$$ (2 veces), $$3,3 || tres coma tres ||$$ (2 veces), $$4,5 || cuatro coma cinco ||$$ (3 veces) y $$5,7 || cinco coma siete ||$$ (1 vez), con $$n = 8 || ene es igual a ocho ||$$ y frecuencias acumuladas $$2,4, 7,8 || dos, cuatro, siete, ocho ||$$ Para $$q(0,75) || cu de cero coma setenta y cinco ||$$ la frecuencia teórica es $$0,75 \cdot 8 = 6 || cero coma setenta y cinco por ocho es igual a seis ||$$: como no aparece en la tabla, tomamos la primera observación que la supera, $$q(0,75) = 4,5 || cu de cero coma setenta y cinco es igual a cuatro coma cinco ||$$, que es el tercer cuartil. Para $$q(0,30) || cu de cero coma treinta ||$$ la frecuencia teórica es $$2,4 || dos coma cuatro ||$$: tampoco aparece, luego $$q(0,30) = 3,3 || cu de cero coma treinta es igual a tres coma tres ||$$, el tercer decil. Para $$q(0,25) || cu de cero coma veinticinco ||$$ la frecuencia teórica es $$2 || dos ||$$, que sí coincide con la primera acumulada: cualquier valor entre $$2,1 || dos coma uno ||$$ y $$3,3 || tres coma tres ||$$ es el cuantil, y en la práctica tomamos $$q(0,25) = 2,1 || cu de cero coma veinticinco es igual a dos coma uno ||$$, el primer cuartil. Cálculo con datos agrupados en intervalos. Se localiza el primer intervalo cuya frecuencia acumulada alcanza o supera a $$u \cdot N || u por ene mayúscula ||$$ y se interpola dentro de él con la misma hipótesis de uniformidad que en la mediana: $$q(u) = L_i + \frac{u \cdot N - N_{i-1}}{n_i} \cdot A_i || cu de u es igual a ele sub i más la fracción con numerador u por ene mayúscula menos ene mayúscula sub i menos uno, y denominador ene sub i, por a mayúscula sub i ||$$ Ejemplo: Con los pesos de los $$19 || diecinueve ||$$ recién nacidos del apartado anterior, $$q(0,50) || cu de cero coma cincuenta ||$$ es la mediana ya calculada, $$3,34 || tres coma treinta y cuatro ||$$ kilogramos. Para $$q(0,10) || cu de cero coma diez ||$$ la frecuencia teórica es $$0,10 \cdot 19 = 1,9 || cero coma diez por diecinueve es igual a uno coma nueve ||$$, que cae en la primera clase (la que va de $$2,4 || dos coma cuatro ||$$ a $$2,9 ,\ \text{con}\ N_{i-1} = 0 || dos coma nueve || || ene mayúscula sub i menos uno es igual a cero || $$, $$n_i = 3 || ene sub i es igual a tres ||$$ y $$A_i = 0,5 || a mayúscula sub i es igual a cero coma cinco ||$$): $$q(0,10) = 2,4 + \frac{1,9 - 0}{3} \cdot 0,5 = 2,72 || cu de cero coma diez es igual a dos coma cuatro más la fracción con numerador uno coma nueve menos cero, y denominador tres, por cero coma cinco || || , que operando es igual a dos coma setenta y dos || $$ kilogramos, el primer decil. Para $$q(0,87) || cu de cero coma ochenta y siete ||$$ la frecuencia teórica es $$0,87 \cdot 19 = 16,53 || cero coma ochenta y siete por diecinueve es igual a dieciséis coma cincuenta y tres ||$$, que cae en la última clase (la que va de $$3,8 || tres coma ocho ||$$ a $$4,5 ,\ \text{con}\ N_{i-1} = 15 || cuatro coma cinco || || ene mayúscula sub i menos uno es igual a quince || $$, $$n_i = 4 || ene sub i es igual a cuatro ||$$ y $$A_i = 0,7 || a mayúscula sub i es igual a cero coma siete ||$$): $$q(0,87) = 3,8 + \frac{16,53 - 15}{4} \cdot 0,7 = 4,07 || cu de cero coma ochenta y siete es igual a tres coma ocho más la fracción con numerador dieciséis coma cincuenta y tres menos quince, y denominador cuatro, por cero coma siete || || , que operando es igual a cuatro coma cero siete || $$ kilogramos, el percentil $$87 || ochenta y siete ||$$ La mediana y los cuantiles también sirven para caracteres cualitativos susceptibles de ordenación (escala ordinal). Ejemplo: de $$50 || cincuenta || $$ personas, $$15 || quince || $$ tienen estudios primarios, $$30 || treinta || $$ estudios medios y $$5 || cinco || $$ estudios superiores, con frecuencias acumuladas $$15,45, 50 || quince, cuarenta y cinco, cincuenta || $$ Como $$n/2 = 25 || ene partido por dos es igual a veinticinco ||$$, la modalidad mediana es estudios medios, la primera cuya acumulada supera $$25 || veinticinco ||$$ El percentil $$98 || noventa y ocho ||$$ corresponde a estudios superiores, pues el $$98 \% || noventa y ocho por ciento ||$$ de $$50 || cincuenta ||$$ son $$49 || cuarenta y nueve ||$$ personas y hay que contar hasta esa modalidad para acumularlas. 5. Las medias no aritméticas: armónica, geométrica y cuadrática. Además de la media aritmética existen otros promedios útiles en situaciones especiales. En este apartado suponemos que todos los valores observados son estrictamente positivos, $$0 < x_1 < \dots < x_k || cero menor que equis sub uno menor que puntos suspensivos menor que equis sub ka ||$$, con frecuencias $$n_1, \dots, n_k || ene sub uno, puntos suspensivos, ene sub ka ||$$ Entonces los promedios que vamos a definir están comprendidos entre el valor mínimo y el máximo de la distribución, y si la distribución toma un único valor todos coinciden con él; en otro caso se verifica la cadena de desigualdades $$x_1 < H < G < \bar{x} < C < x_k || equis sub uno menor que hache menor que ge menor que equis barra menor que ce menor que equis sub ka ||$$ Media armónica. La media armónica $$H || hache ||$$ es el inverso de la media aritmética de los inversos de los valores: $$H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{k} \frac{n_i}{x_i}} || hache es igual a ene partido por el sumatorio desde i igual a uno hasta ka de ene sub i partido por equis sub i ||$$ No está definida si alguna observación es cero; un valor anormalmente grande apenas le afecta, pero uno anormalmente pequeño repercute mucho. Aparece al promediar magnitudes relativas (cocientes) cuando las frecuencias se refieren al numerador del cociente. Ejemplo: Un ciclista recorre $$4 || cuatro ||$$ kilómetros a $$20 || veinte ||$$ kilómetros por hora y luego otros $$3 || tres ||$$ kilómetros a $$30 || treinta ||$$ kilómetros por hora. La velocidad media es el espacio total entre el tiempo total: el primer tramo lleva $$\frac{4}{20} = 0,2 || cuatro partido por veinte es igual a cero coma dos ||$$ horas y el segundo $$\frac{3}{30} = 0,1 || tres partido por treinta es igual a cero coma uno ||$$ horas, luego $$v = \frac{7}{0,3} = 23,33 || ve es igual a siete partido por cero coma tres || || , que dividiendo es igual a veintitrés coma treinta y tres || $$ kilómetros por hora. Con la fórmula de la media armónica: $$H = \frac{7}{\frac{4}{20} + \frac{3}{30}} = 23,33 || hache es igual a siete partido por cuatro partido por veinte más tres partido por treinta || || , que operando es igual a veintitrés coma treinta y tres || $$ Obsérvese que la media aritmética daría $$\frac{20 \cdot 4 + 30 \cdot 3}{7} = 24,29 || la fracción con numerador veinte por cuatro más treinta por tres, y denominador siete || || , que operando es igual a veinticuatro coma veintinueve || $$, que sería la velocidad media si los valores $$4 || cuatro ||$$ y $$3 || tres ||$$ se refirieran al tiempo (el denominador) en lugar de a la distancia. Media geométrica. La media geométrica $$G || ge ||$$ es la raíz $$N || ene mayúscula ||$$-ésima del producto de todos los valores: $$G = \sqrt[N]{\prod_{i=1}^{k} x_i^{n_i}} = \prod_{i=1}^{k} x_i^{f_i} || ge es igual a la raíz ene mayúscula-ésima del producto desde i igual a uno hasta ka de equis sub i elevado a ene sub i || || , que con frecuencias relativas es igual al producto desde i igual a uno hasta ka de equis sub i elevado a efe sub i || $$ Tomando logaritmos se obtiene que $$\log G || logaritmo de ge ||$$ es la media aritmética de los valores $$\log x_i || logaritmo de equis sub i ||$$; si algún valor se anula, $$G || ge ||$$ vale cero. Aparece al promediar magnitudes acumulativas que evolucionan por porcentajes. Ejemplo: Un capital rinde al interés compuesto el $$5 \% || cinco por ciento ||$$ el primer año, el $$20 \% || veinte por ciento ||$$ cada uno de los dos siguientes y el $$30 \% || treinta por ciento ||$$ el cuarto. Los factores de capitalización son $$1,05; \; 1,2; \; 1,2; \; 1,3 || uno coma cero cinco, uno coma dos, uno coma dos, uno coma tres ||$$, y el interés medio acumulativo $$r_m || ere sub eme ||$$ es el interés constante que produce el mismo capital final: $$(1 + r_m)^4 = 1,05 \cdot 1,2^2 \cdot 1,3 = 1,9656 || uno más ere sub eme elevado a cuatro es igual a uno coma cero cinco por uno coma dos al cuadrado por uno coma tres || || , que multiplicando es igual a uno coma nueve seis cinco seis || $$, de donde $$1 + r_m = \sqrt[4]{1,9656} = 1,1841 || uno más ere sub eme es igual a la raíz cuarta de uno coma nueve seis cinco seis || || , que operando es igual a uno coma uno ocho cuatro uno || $$, es decir, $$r_m = 18,41 \% || ere sub eme es igual a dieciocho coma cuarenta y uno por ciento ||$$ El valor $$1 + r_m || uno más ere sub eme ||$$ es la media geométrica de los factores $$1 + r_i || uno más ere sub i ||$$, y siempre es menor que la media aritmética de los intereses (aquí $$18,75 \% || dieciocho coma setenta y cinco por ciento ||$$), salvo que todos los intereses sean iguales. Media cuadrática. La media cuadrática $$C || ce ||$$ es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores: $$C = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i}{N}} || ce es igual a la raíz cuadrada del sumatorio desde i igual a uno hasta ka de equis sub i al cuadrado por ene sub i partido por ene mayúscula ||$$ Penaliza más una desviación grande de cero que varias pequeñas que sumen lo mismo, por lo que se usa para resumir errores: lo ideal sería que todos fueran nulos y $$C || ce ||$$ da un valor intermedio de sus valores absolutos dando más peso a los grandes. Ejemplo: En un proceso farmacéutico se exige que cada tableta contenga $$100 || cien ||$$ miligramos de un compuesto; se analizan $$8 || ocho ||$$ tabletas de dos laboratorios y se calculan los errores (dosis menos $$100 || cien ||$$). En el frasco A los errores son $$-1; \; 1,5; \; 0; \; -2; \; 5; \; -2; \; -1,5; \; 0 || menos uno, uno coma cinco, cero, menos dos, cinco, menos dos, menos uno coma cinco, cero ||$$: la media de sus valores absolutos es $$1,625 || uno coma seiscientos veinticinco ||$$, pero la media cuadrática es $$C = \sqrt{\frac{1 + 2,25 + 0 + 4 + 25 + 4 + 2,25 + 0}{8}} = 2,19 || ce es igual a la raíz cuadrada de la fracción con numerador uno más dos coma veinticinco más cero más cuatro más veinticinco más cuatro más dos coma veinticinco más cero, y denominador ocho || || , que operando es igual a dos coma diecinueve || $$ En el frasco B la media de valores absolutos es $$1,75 || uno coma setenta y cinco ||$$ y la cuadrática $$1,80 || uno coma ochenta ||$$ El frasco A es mejor en valores absolutos, pero su error de $$5 || cinco ||$$ miligramos, muy desviado del ideal, lo penaliza en la media cuadrática y puede constituir un peligro. Cambios de escala. Ante un cambio de escala con $$b > 0 || ve mayor que cero ||$$, las tres medias se transforman con la misma escala: la media armónica de $$b x || ve por equis ||$$ es $$b H || ve por hache ||$$, y lo mismo ocurre con $$G || ge ||$$ y con $$C || ce ||$$ En cambio, para los cambios de origen no hay ninguna propiedad que relacione los valores antiguos con los nuevos. 6. Posiciones relativas de los promedios. La media, la mediana y la moda no siempre coinciden: su orden depende de la forma de la distribución. En las distribuciones acampanadas (unimodales) asimétricas, la media aritmética se desplaza hacia el lado de la asimetría, es decir, hacia donde la cola es más larga, y la mediana queda entre la media y la moda. En las distribuciones simétricas en forma de U, la media y la mediana coinciden en el centro. En las distribuciones en forma de L (con la cola larga a la derecha) la relación es $$Mo < Me < \bar{x} || eme mayúscula o menor que eme mayúscula e menor que equis barra ||$$, y en las de forma de J (con la cola larga a la izquierda) el orden es el contrario: $$\bar{x} < Me < Mo || equis barra menor que eme mayúscula e menor que eme mayúscula o ||$$ Por eso, ante datos asimétricos como las rentas o los salarios, conviene presentar la media y la mediana juntas: su comparación revela hacia dónde se inclina la distribución y si hay valores extremos que arrastran a la media. Ejemplo: En los salarios de una empresa con unos pocos sueldos muy altos, la distribución tiene forma de L con la cola a la derecha y se cumple $$Mo < Me < \bar{x} || la moda es menor que la mediana, que es menor que la media ||$$: la media se desplaza hacia los sueldos extremos. 7. Cuándo usar cada medida. Cada medida resume los datos desde un ángulo distinto, y elegir mal puede distorsionar la conclusión. La media aritmética utiliza todos los valores y permite operar algebraicamente con ella, por ejemplo para agregar grupos, y es la medida natural cuando la distribución es simétrica. Su punto débil es la sensibilidad a los valores extremos: un solo dato atípico puede arrastrarla lejos de la mayoría. Tampoco puede calcularse con variables cualitativas ni cuando hay intervalos abiertos, porque faltarían las marcas de clase. La mediana es robusta frente a los valores extremos, ya que solo depende del orden, y es la medida adecuada en distribuciones asimétricas, como las de rentas o salarios. Además puede calcularse aunque haya intervalos abiertos. Su inconveniente es que desaprovecha la información del resto de los valores: dos distribuciones muy distintas pueden tener la misma mediana. La moda es la única medida válida para variables cualitativas nominales, como el sector económico o el tipo de contrato. Su inconveniente es que puede no existir o no ser única, y que se calcula con muy poca información de la muestra. Los percentiles no resumen la distribución en un solo valor, sino que describen umbrales: son imprescindibles para estudiar la desigualdad, fijar límites o construir diagramas de caja. En la práctica, ante datos económicos asimétricos se presentan la media y la mediana juntas: su comparación revela hacia dónde se inclina la distribución. Ejemplo: Para el precio de la vivienda en un barrio con algún chalet de lujo, la mediana describe mejor el precio «típico» que la media, que queda inflada por los valores extremos; la moda solo serviría si el carácter fuese el tipo de vivienda. Ejemplo 1: Los sueldos mensuales de los $$12 || doce ||$$ empleados de una empresa, en euros y ordenados de menor a mayor, son: $$1400, 1500, 1500, 1600, 1600, 1600, 1750, 1800, 1900, 2000, 2100, 15000 || mil cuatrocientos, mil quinientos, mil quinientos, mil seiscientos, mil seiscientos, mil seiscientos, mil setecientos cincuenta, mil ochocientos, mil novecientos, dos mil, dos mil cien, quince mil ||$$ a) Calcula la media aritmética. b) Calcula la mediana y la moda. c) Verifica que la suma de las desviaciones respecto a la media es cero. d) Discute qué medida representa mejor el sueldo típico de la empresa. Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la media aritmética sumando todos los sueldos y dividiendo entre el número de empleados. A continuación hallaremos la mediana con la regla de las frecuencias acumuladas y la moda contando repeticiones. Para terminar verificaremos la primera propiedad de la media y compararemos las tres medidas para decidir cuál representa mejor el sueldo típico. PASO 1: Cálculo de la media aritmética. Primero escribimos los operandos y sumamos: $$S = 1400 + 1500 + 1500 + 1600 + 1600 + 1600 + 1750 + 1800 + 1900 + 2000 + 2100 + 15000 = 33750 || ese es igual a mil cuatrocientos más mil quinientos más mil quinientos más mil seiscientos más mil seiscientos más mil seiscientos más mil setecientos cincuenta más mil ochocientos más mil novecientos más dos mil más dos mil cien más quince mil || || , de donde sumando es igual a treinta y tres mil setecientos cincuenta || $$ Dividimos entre $$n = 12 || ene es igual a doce ||$$: $$\bar{x} = \frac{33750}{12} = 2812,5 || equis barra es igual a treinta y tres mil setecientos cincuenta partido por doce || || , por tanto dividiendo es igual a dos mil ochocientos doce coma cinco || $$ El sueldo medio es $$2812,5 || dos mil ochocientos doce coma cinco ||$$ euros. PASO 2: Cálculo de la mediana y la moda. Las frecuencias acumuladas son $$1,3, 6,7, 8,9, 10,11, 12 || uno, tres, seis, siete, ocho, nueve, diez, once, doce ||$$ Como $$n = 12 || ene es igual a doce ||$$ es par, calculamos $$n/2 = 6 || ene partido por dos es igual a seis ||$$: la tercera acumulada coincide exactamente con ese valor, luego cualquier número entre la sexta observación ($$1600 || mil seiscientos ||$$) y la séptima ($$1750 || mil setecientos cincuenta ||$$) es una mediana; en la práctica tomamos $$Me = 1600 || eme mayúscula e es igual a mil seiscientos ||$$ La moda es el valor más repetido: el $$1600 || mil seiscientos ||$$ aparece $$3 || tres ||$$ veces, más que ningún otro, luego $$Mo = 1600 || eme mayúscula o es igual a mil seiscientos ||$$ PASO 3: Verificación de la primera propiedad de la media. La propiedad afirma que $$\sum_{i=1}^{12} (x_i - \bar{x}) = 0 || el sumatorio desde i igual a uno hasta doce de, equis sub i menos equis barra, es igual a cero ||$$ En lugar de calcular las $$12 || doce ||$$ desviaciones una a una, usamos la forma ya demostrada: la suma de desviaciones es $$\sum x_i - n \bar{x} || el sumatorio de equis sub i menos ene por equis barra ||$$ Ya conocemos el total $$33750 || treinta y tres mil setecientos cincuenta ||$$ y la media $$2812,5 || dos mil ochocientos doce coma cinco ||$$; sustituimos: $$\sum_{i=1}^{12} (x_i - \bar{x}) = 33750 - 12 \cdot 2812,5 = 33750 - 33750 = 0 || el sumatorio de las desviaciones es igual a treinta y tres mil setecientos cincuenta menos doce por dos mil ochocientos doce coma cinco || || , de donde multiplicando es igual a treinta y tres mil setecientos cincuenta menos treinta y tres mil setecientos cincuenta || || , por tanto restando es igual a cero || $$ Queda verificada la propiedad con los datos del ejercicio. PASO 4: Discusión de qué medida es más representativa. Comparamos: la media vale $$2812,5 || dos mil ochocientos doce coma cinco ||$$ euros, mientras que la mediana es $$1600 || mil seiscientos ||$$ (en la práctica) y la moda $$1600 || mil seiscientos ||$$ La media queda arrastrada por el sueldo del directivo, de $$15000 || quince mil ||$$ euros: ningún empleado cobra una cantidad próxima a ella. Sin el directivo, el total de los otros $$11 || once ||$$ sería $$33750 - 15000 = 18750 || treinta y tres mil setecientos cincuenta menos quince mil es igual a dieciocho mil setecientos cincuenta ||$$ y su media $$\frac{18750}{11} \approx 1704,55 || dieciocho mil setecientos cincuenta partido por once es aproximadamente igual a mil setecientos cuatro coma cincuenta y cinco ||$$ euros, muy próxima a la mediana. Conclusión: Así pues, la media es $$2812,5 || dos mil ochocientos doce coma cinco ||$$ euros, la mediana $$1600 || mil seiscientos ||$$ y la moda $$1600 || mil seiscientos ||$$; la suma de las desviaciones respecto a la media es cero, como exige la teoría. El sueldo típico de la empresa queda mejor representado por la mediana: la media está distorsionada por el valor extremo del directivo, lo que ilustra su falta de robustez en distribuciones asimétricas. Ejemplo 2: Un índice de precios al consumo simplificado considera $$4 || cuatro ||$$ grupos con las siguientes ponderaciones y variaciones interanuales de precios: alimentación, peso $$30 || treinta ||$$ y variación $$2,5 \% || dos coma cinco por ciento ||$$; vivienda, peso $$25 || veinticinco ||$$ y variación $$1,8 \% || uno coma ocho por ciento ||$$; transporte, peso $$20 || veinte ||$$ y variación $$4,2 \% || cuatro coma dos por ciento ||$$; ocio y cultura, peso $$25 || veinticinco ||$$ y variación $$0,9 \% || cero coma nueve por ciento ||$$ a) Calcula la variación media ponderada de los precios. b) Calcula la media aritmética simple de las cuatro variaciones y explica por qué difiere de la ponderada. Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los pesos y las variaciones de cada grupo. A continuación aplicaremos la fórmula de la media ponderada, calculando primero cada producto de peso por variación y dividiendo después entre la suma de los pesos. Para terminar calcularemos la media simple y compararemos ambos resultados para interpretar la diferencia. PASO 1: Identificación de pesos y variaciones. Los datos ya vienen dados como pares peso-variación: $$(30,2,5), (25,1,8), (20,4,2), (25,0,9) || treinta, dos coma cinco; veinticinco, uno coma ocho; veinte, cuatro coma dos; veinticinco, cero coma nueve ||$$ La suma de los pesos es $$30 + 25 + 20 + 25 = 100 || treinta más veinticinco más veinte más veinticinco es igual a cien ||$$ PASO 2: Cálculo de la media ponderada. Escribimos la fórmula con los datos: $$x_p = \frac{30 \cdot 2,5 + 25 \cdot 1,8 + 20 \cdot 4,2 + 25 \cdot 0,9}{100} || equis sub pe es igual a la fracción con numerador treinta por dos coma cinco más veinticinco por uno coma ocho más veinte por cuatro coma dos más veinticinco por cero coma nueve, y denominador cien ||$$ Operamos cada producto por separado:

Cálculo	Resultado
$$30 \cdot 2,5 ||treinta por dos coma cinco||$$	$$75 ||setenta y cinco||$$
$$25 \cdot 1,8 ||veinticinco por uno coma ocho||$$	$$45 ||cuarenta y cinco||$$
$$20 \cdot 4,2 ||veinte por cuatro coma dos||$$	$$84 ||ochenta y cuatro||$$
$$25 \cdot 0,9 ||veinticinco por cero coma nueve||$$	$$22,5 ||veintidós coma cinco||$$

Sustituimos y sumamos: $$x_p = \frac{75 + 45 + 84 + 22,5}{100} = \frac{226,5}{100} = 2,265 || equis sub pe es igual a la fracción con numerador setenta y cinco más cuarenta y cinco más ochenta y cuatro más veintidós coma cinco, y denominador cien || || , que sumando el numerador es igual a doscientos veintiséis coma cinco partido por cien || || , de donde dividiendo es igual a dos coma doscientos sesenta y cinco || $$ La variación media ponderada es $$2,265 \% || dos coma doscientos sesenta y cinco por ciento ||$$ PASO 3: Media simple y comparación. La media aritmética simple trata a los cuatro grupos por igual: $$\bar{x} = \frac{2,5 + 1,8 + 4,2 + 0,9}{4} = \frac{9,4}{4} = 2,35 || equis barra es igual a la fracción con numerador dos coma cinco más uno coma ocho más cuatro coma dos más cero coma nueve, y denominador cuatro || || , que sumando el numerador es igual a nueve coma cuatro partido por cuatro || || , por tanto dividiendo es igual a dos coma treinta y cinco || $$ La media simple, $$2,35 \% || dos coma treinta y cinco por ciento ||$$, supera a la ponderada porque otorga al transporte, el grupo con mayor subida pero con poco peso en la cesta, la misma importancia que a la alimentación. La ponderada es la medida correcta aquí, pues refleja el gasto real de las familias. Conclusión: Así pues, la subida media ponderada de los precios es del $$2,265 \% || dos coma doscientos sesenta y cinco por ciento ||$$, frente al $$2,35 \% || dos coma treinta y cinco por ciento ||$$ de la media simple. La diferencia muestra que ponderar es imprescindible cuando los datos no tienen la misma importancia: la media simple sobrevalora los grupos con poca presencia en la cesta de la compra. Ejemplo 3: Las tasas de paro de las $$15 || quince ||$$ comunidades autónomas, en porcentaje y ordenadas de menor a mayor, son: $$8,2; \; 8,9; \; 9,1; \; 9,8; \; 10,3; \; 10,7; \; 11,2; \; 11,9; \; 12,4; \; 12,8; \; 13,1; \; 13,9; \; 14,5; \; 15,2; \; 16,8 || ocho coma dos, ocho coma nueve, nueve coma uno, nueve coma ocho, diez coma tres, diez coma siete, once coma dos, once coma nueve, doce coma cuatro, doce coma ocho, trece coma uno, trece coma nueve, catorce coma cinco, quince coma dos, dieciséis coma ocho ||$$ a) Calcula los tres cuartiles. b) Calcula el noveno decil. c) Interpreta los resultados y calcula el rango intercuartílico. Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la frecuencia teórica $$u \cdot n || u por ene ||$$ de cada cuantil. A continuación tomaremos la primera observación cuya frecuencia acumulada alcanza o supera esa frecuencia teórica. Para terminar interpretaremos cada medida como un umbral de porcentaje y hallaremos el rango intercuartílico como diferencia entre el tercer y el primer cuartil. PASO 1: Cálculo de los tres cuartiles. Con $$n = 15 || ene es igual a quince ||$$ y cada valor apareciendo una sola vez, la frecuencia acumulada de la posición $$j || jota ||$$ es $$j || jota ||$$ Para $$Q_1 = q(0,25) || cu sub uno es igual a cu de cero coma veinticinco ||$$ la frecuencia teórica es $$0,25 \cdot 15 = 3,75 || cero coma veinticinco por quince es igual a tres coma setenta y cinco ||$$: la primera acumulada que la supera es la cuarta, luego $$Q_1 = 9,8 || cu sub uno es igual a nueve coma ocho ||$$ Para $$Q_2 = q(0,50) || cu sub dos es igual a cu de cero coma cincuenta ||$$ la frecuencia teórica es $$0,50 \cdot 15 = 7,5 || cero coma cincuenta por quince es igual a siete coma cinco ||$$: la primera acumulada que la supera es la octava, luego $$Q_2 = 11,9 || cu sub dos es igual a once coma nueve ||$$, valor que coincide con la mediana. Para $$Q_3 = q(0,75) || cu sub tres es igual a cu de cero coma setenta y cinco ||$$ la frecuencia teórica es $$0,75 \cdot 15 = 11,25 || cero coma setenta y cinco por quince es igual a once coma veinticinco ||$$: la primera acumulada que la supera es la decimosegunda, luego $$Q_3 = 13,9 || cu sub tres es igual a trece coma nueve ||$$ PASO 2: Cálculo del noveno decil. El noveno decil es $$D_9 = q(0,90) || de sub nueve es igual a cu de cero coma noventa ||$$ y su frecuencia teórica es $$0,90 \cdot 15 = 13,5 || cero coma noventa por quince es igual a trece coma cinco ||$$: la primera acumulada que la supera es la decimocuarta, luego $$D_9 = 15,2 || de sub nueve es igual a quince coma dos ||$$ PASO 3: Interpretación y rango intercuartílico. El $$25 \% || veinticinco por ciento ||$$ de las comunidades tiene un paro igual o inferior a $$9,8 || nueve coma ocho ||$$; la mitad no supera $$11,9 || once coma nueve ||$$; y el $$75 \% || setenta y cinco por ciento ||$$ queda por debajo de $$13,9 || trece coma nueve ||$$ Además, el $$90 \% || noventa por ciento ||$$ de las comunidades tiene un paro igual o inferior a $$15,2 || quince coma dos ||$$: solo una de cada diez supera ese umbral. El rango intercuartílico, que mide la dispersión del $$50 \% || cincuenta por ciento ||$$ central, es: $$Q_3 - Q_1 = 13,9 - 9,8 = 4,1 || cu sub tres menos cu sub uno es igual a trece coma nueve menos nueve coma ocho || || , por tanto restando es igual a cuatro coma uno || $$ La mitad central de las comunidades se mueve en una banda de $$4,1 || cuatro coma uno ||$$ puntos de paro. Conclusión: Así pues, $$Q_1 = 9,8 || cu sub uno es igual a nueve coma ocho ||$$, $$Q_2 = 11,9 || cu sub dos es igual a once coma nueve ||$$, $$Q_3 = 13,9 || cu sub tres es igual a trece coma nueve ||$$ y $$D_9 = 15,2 || de sub nueve es igual a quince coma dos ||$$ Los cuartiles dividen a las comunidades en cuatro grupos del $$25 \% || veinticinco por ciento ||$$ según su tasa de paro, y el noveno decil marca el umbral que solo supera el $$10 \% || diez por ciento ||$$ con más desempleo.