9.9 Ejemplos completos de contrastes
9.9 Ejemplos completos resueltos paso a paso En esta sección resolveremos tres ejemplos completos de contrastes de hipótesis aplicando todo lo aprendido en el tema: formulación de hipótesis, elección del estadístico, cálculo del valor experimental, determinación de la región crítica y decisión con interpretación en contexto. El primer ejemplo es una comparación de dos medias con muestras independientes, el caso del fertilizante, resuelto por región crítica y por p-valor. El segundo es un contraste sobre la media de una población normal con varianza desconocida, el caso de las hojas de jacarandá. El tercero es una comparación de varianzas de dos poblaciones, el caso de la precisión de dos microscopios. Ejemplo 1: Comparación de dos medias con muestras independientes. Se desea saber si un nuevo fertilizante mejora el crecimiento de una planta en comparación con el fertilizante estándar. Se mide la altura de diez plantas con el fertilizante nuevo y diez con el estándar. Grupo uno, fertilizante nuevo: media dieciocho coma dos, cuasidesviación típica uno coma cinco, tamaño diez. Grupo dos, control: media dieciséis coma ocho, cuasidesviación típica uno coma dos, tamaño diez. Supongamos normalidad de las variables e igualdad de varianzas. Contrasta con nivel de significación cero coma cero cinco por región crítica y por p-valor.
Para resolver este ejercicio empezaremos formulando las hipótesis, que en este caso son unilaterales porque la pregunta es si el nuevo fertilizante mejora el crecimiento. A continuación calcularemos la cuasidesviación típica ponderada y el valor experimental del estadístico t. Después determinaremos la región crítica y decidiremos. Luego usaremos el p-valor para confirmar. Para terminar interpretaremos el resultado.
Formulación de las hipótesis.
Sean \(\mu_1\) y \(\mu_2\) las alturas medias con el fertilizante nuevo y con el estándar. Las hipótesis son \(H_0: \mu_1 = \mu_2\) frente a \(H_1: \mu_1 > \mu_2\): contraste unilateral derecho.
Cuasidesviación típica ponderada.
Como se suponen varianzas iguales, \(S_p = \sqrt{\frac{(n_1-1)S_{c1}^2 + (n_2-1)S_{c2}^2}{n_1+n_2-2}}\) Sustituyendo los valores muestrales:
Valor experimental del estadístico.
El estadístico es \(t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{S_p\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}}\), que bajo \(H_0\) sigue una \(t_{18}\) El valor experimental es:
Decisión por región crítica.
Contraste unilateral derecho con \(\alpha = 0,05\): la región crítica es \(R_c: t \geq t_{18, 0,95}\), y en tablas \(t_{18, 0,95} = 1,734\) Como \(2,30 > 1,734\), el valor experimental pertenece a la región crítica y se rechaza \(H_0\)
Decisión por p-valor.
El p-valor de este contraste es \(0,017\), y como \(0,017 < 0,05\), se rechaza \(H_0\) Se llega a la misma conclusión que por región crítica.
Interpretación.
Existen evidencias significativas para afirmar que el nuevo fertilizante produce mayor crecimiento que el fertilizante estándar, con un nivel de significación de cero coma cero cinco. O lo que es lo mismo, el fertilizante nuevo es significativamente más eficiente que el estándar.
Se mide la longitud de veinticinco hojas de jacarandá y se obtiene media muestral treinta y ocho coma uno centímetros y cuasidesviación típica muestral tres coma cinco centímetros. Suponiendo normalidad, contrasta con nivel de significación cero coma cero cinco si la longitud media es de cuarenta centímetros.
Para resolver este ejercicio empezaremos formulando las hipótesis nula y alternativa. A continuación elegiremos el estadístico del contraste y su distribución bajo la hipótesis nula. Después calcularemos el valor experimental. Luego determinaremos la región crítica con el nivel de significación dado. Para terminar tomaremos la decisión y la interpretaremos en el contexto del problema.
Formulación de las hipótesis.
El parámetro es la media \(\mu\) de la longitud de la hoja. Las hipótesis son \(H_0: \mu = 40\) frente a \(H_1: \mu \neq 40\): contraste bilateral.
Estadístico y distribución bajo la hipótesis nula.
Población normal con varianza desconocida: el estadístico es \(t = \frac{\bar{X} - 40}{S_c/\sqrt{n}}\), que bajo \(H_0\) sigue una \(t_{24}\)
Valor experimental.
Sustituyendo los datos: \(t_{exp} = \frac{38,1 - 40}{3,5/\sqrt{25}}= \frac{-1,9}{0,7} = -2,714\)
Región crítica.
Contraste bilateral con \(\alpha = 0,05\): la región crítica es \(R_c: t \leq -t_{24, 0,975} \text{ o } t \geq t_{24, 0,975}\) En tablas, \(t_{24, 0,975} = 2,064\), luego \(R_c: t \leq -2,064 \text{ o } t \geq 2,064\)
Decisión e interpretación.
Como \(t_{exp} = -2,714 \leq -2,064\), el valor experimental pertenece a la región crítica y se rechaza \(H_0\) Con un nivel de significación de cero coma cero cinco, existen evidencias significativas para afirmar que la longitud media de las hojas del jacarandá es distinta de cuarenta centímetros; a la vista del signo negativo del estadístico, los datos apuntan a una media menor que cuarenta.
Se quiere decidir si existe diferencia entre las precisiones de dos modelos de microscopio óptico, medidas a través de la variabilidad de sus mediciones. Con el modelo uno se toman doce mediciones y se obtiene una cuasivarianza muestral de cuatro coma dos; con el modelo dos se toman diez mediciones y se obtiene una cuasivarianza muestral de uno coma ocho. Suponiendo normalidad en ambos casos, contrasta la igualdad de varianzas con nivel de significación cero coma cero cinco.
Para resolver este ejercicio empezaremos formulando las hipótesis sobre las varianzas. A continuación elegiremos el estadístico F y su distribución bajo la hipótesis nula. Después calcularemos el valor experimental. Luego determinaremos la región crítica bilateral. Para terminar tomaremos la decisión y la interpretaremos.
Formulación de las hipótesis.
Sean \(\sigma_1^2\) y \(\sigma_2^2\) las varianzas de las mediciones de cada modelo. Las hipótesis son \(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\) frente a \(H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\): contraste bilateral.
Estadístico y distribución bajo la hipótesis nula.
El estadístico es \(F = \frac{S_{c1}^2}{S_{c2}^2}\), que bajo \(H_0\) sigue una \(F_{11, 9}\), pues \(n_1 - 1 = 11\) y \(n_2 - 1 = 9\)
Valor experimental.
Sustituyendo: \(F_{exp} = \frac{4,2}{1,8} = 2,333\)
Región crítica.
Contraste bilateral con \(\alpha = 0,05\): la región crítica es \(R_c: F \leq F_{11, 9, 0,025} \text{ o } F \geq F_{11, 9, 0,975}\) En tablas, \(F_{11, 9, 0,975} \simeq 3,91\) y \(F_{11, 9, 0,025} = \frac{1}{F_{9, 11, 0,975}} \simeq 0,28\) Luego \(R_c: F \leq 0,28 \text{ o } F \geq 3,91\)
Decisión e interpretación.
Como \(F_{exp} = 2,333\) está entre cero coma veintiocho y tres coma noventa y uno, no pertenece a la región crítica y no se rechaza \(H_0\) Con un nivel de significación de cero coma cero cinco, no hay evidencias significativas de que las precisiones de los dos modelos de microscopio sean distintas; por falta de evidencias de lo contrario, podemos suponer que ambos modelos tienen la misma variabilidad.