9.7 9.7 El concepto de p-valor
9.7 El concepto de p-valor
En esta sección presentaremos otra forma de obtener conclusiones en un problema de contraste de hipótesis, basada en el p-valor, que es la que incorporan la mayoría de los paquetes estadísticos.
Empezaremos definiendo el p-valor.
A continuación enunciaremos la regla de decisión con p-valor y su relación con el nivel de significación.
Después comentaremos sus ventajas y las precauciones necesarias para usarlo bien.
Para terminar resolveremos dos ejemplos completos, uno por los dos métodos y otro de decisión con dos niveles, y un tercero con un contraste unilateral.
Definición del p-valor
El p-valor proporciona el nivel de significación más pequeño que nos hubiera llevado a rechazar la hipótesis nula con los datos experimentales del problema concreto que se esté estudiando.
Dicho de otro modo, el p-valor mide la compatibilidad de los datos con la hipótesis nula: cuanto más pequeño es el p-valor, menos compatibles son los datos con \(H_0 \) y más fuerte es la evidencia en su contra.
Un p-valor de cero coma cero ocho indica que los datos son bastante compatibles con la hipótesis nula; un p-valor de cero coma cero cero cero uno indica que son prácticamente incompatibles.
Regla de decisión y ventajas
Si el p-valor es inferior al nivel de significación prefijado, se rechazará la hipótesis nula planteada.
Si el p-valor es igual o superior, no se rechazará la hipótesis nula.
En símbolos:
si \(\text{p-valor} < \alpha \), se rechaza \(H_0 \);
si \(\text{p-valor} \geq \alpha \), no se rechaza \(H_0 \)
Esta regla es equivalente a la de la región crítica: rechazar por p-valor es lo mismo que rechazar porque el valor experimental cae en la región crítica.
La ventaja es que no hay que calcular valores críticos ni regiones: basta comparar dos números.
El p-valor tiene la ventaja de su fácil interpretación, y por eso lo proporcionan todos los paquetes estadísticos.
Sin embargo, es fundamental conocer las hipótesis que se están estudiando y las condiciones previas que deben cumplirse para poder utilizar la técnica correspondiente: un p-valor calculado con un test inadecuado, por ejemplo sin normalidad cuando esta se requiere, no significa nada.
Además, el p-valor no mide la probabilidad de que la hipótesis nula sea cierta, ni el tamaño del efecto: un p-valor muy pequeño con una muestra enorme puede corresponder a una diferencia sin importancia práctica.
El nivel de significación debe fijarse antes de ver los datos, nunca después de conocer el p-valor.
Se sospecha que el diámetro medio del núcleo celular en una línea de células epiteliales humanas es de ocho micrómetros.
Se seleccionan aleatoriamente cincuenta células.
Se establece un nivel de significación \(\alpha = 0,05 \) y se supone normalidad de la variable bajo estudio.
Las hipótesis son \(H_0: \mu = 8 \) frente a \(H_1: \mu \neq 8 \), contraste bilateral con \(\mu_0 = 8 \)
Tras tomar la muestra y tratarla en un paquete estadístico se obtiene media muestral \(\bar{x} = 8,3 \) micrómetros, cuasidesviación típica muestral \(S_c = 1,2 \) micrómetros y p-valor igual a cero coma cero ochocientos treinta y tres.
Resuelve por región crítica y por p-valor.
Para resolver este ejercicio empezaremos identificando el estadístico del contraste adecuado.
A continuación calcularemos su valor experimental.
Después determinaremos la región crítica y tomaremos la decisión por ese método.
Luego aplicaremos la regla del p-valor.
Para terminar veremos qué ocurriría con un nivel de significación de cero coma diez.
Estadístico del contraste.
Población normal, varianza desconocida y contraste sobre la media: el estadístico es \(t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{S_c/\sqrt{n}} \), que bajo \(H_0 \) sigue una \(t_{49} \)
Valor experimental.
Sustituyendo: \(t_{exp} = \frac{8,3 - 8}{1,2/\sqrt{50}} \)
El numerador vale cero coma tres y el denominador vale uno coma dos dividido entre siete coma cero siete, es decir, cero coma uno seis nueve siete.
Por tanto \(t_{exp} = \frac{0,3}{0,1697} = 1,768 \)
Decisión por región crítica.
El contraste es bilateral con \(\alpha = 0,05 \), luego \(\alpha/2 = 0,025 \)
La región crítica es $$R_c: t \leq -t_{49, 0,975} \text{ o } t \geq t_{49, 0,975} $$
El valor crítico es \(t_{49, 0,975} \simeq 2,009 \)
Como \(t_{exp} = 1,768 < 2,009 \), la muestra no pertenece a la región crítica y no se rechaza la hipótesis nula.
Esta idea puede expresarse de varias formas: no hay evidencias significativas para rechazar que el diámetro medio del núcleo celular sea de ocho micrómetros; el diámetro medio del núcleo celular no es significativamente distinto de ocho micrómetros.
Decisión por p-valor.
Como el p-valor es cero coma cero ochocientos treinta y tres y \(0,0833 > 0,05 \), no se rechaza la hipótesis nula: el diámetro medio no es significativamente diferente de ocho micrómetros y podríamos suponer que vale ocho por falta de evidencias de lo contrario.
Se llega a la misma conclusión que por región crítica, como debe ser.
Qué pasaría con \(\alpha = 0,10 \)
Si hubiéramos fijado \(\alpha = 0,1 \), entonces el p-valor cero coma cero ochocientos treinta y tres sería menor que cero coma uno y se rechazaría la hipótesis nula: podríamos afirmar que el diámetro medio es significativamente diferente de ocho micrómetros.
Este paso muestra que la decisión depende del nivel de significación elegido, por lo que este debe fijarse antes de analizar los datos y nunca ajustarse a posteriori para conseguir el resultado deseado.
En un contraste bilateral sobre una media se obtiene un p-valor de cero coma cero cero tres.
Decide con niveles de significación cero coma cero cinco y cero coma cero cero uno, y explica el significado del p-valor en este caso.
Para resolver este ejercicio aplicaremos la regla de decisión del p-valor con cada nivel de significación.
Después interpretaremos qué indica un p-valor tan pequeño.
Decisión con \(\alpha = 0,05 \)
Como \(0,003 < 0,05 \), se rechaza \(H_0 \): hay evidencias significativas en contra de la hipótesis nula.
Decisión con \(\alpha = 0,001 \)
Como \(0,003 > 0,001 \), no se rechaza \(H_0 \) con este nivel tan exigente: el p-valor es mayor que el nivel de significación.
Interpretación.
Un p-valor de cero coma cero cero tres significa que, si la hipótesis nula fuera cierta, solo en el cero coma tres por ciento de las muestras se obtendría una discrepancia tan grande como la observada.
Es una evidencia muy fuerte en contra de \(H_0 \): habría que fijar un nivel de significación menor que cero coma cero cero tres para no rechazarla.
Se lanza cuatrocientas veces una moneda y se obtienen doscientas veinte caras.
Se contrasta \(H_0: p = 0,5 \) frente a \(H_1: p > 0,5 \), contraste unilateral derecho, con \(\alpha = 0,05 \)
Decide usando el p-valor.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el valor experimental del estadístico tipificado para proporciones.
A continuación calcularemos el p-valor como la probabilidad de cola derecha bajo la hipótesis nula.
Para terminar aplicaremos la regla de decisión del p-valor.
Valor experimental del estadístico.
Como en el ejemplo 3 de la sección 9.3, \(\hat{p} = 0,55 \) y
que bajo \(H_0 \) es aproximadamente \(N(0,1) \)
Cálculo del p-valor.
Al ser el contraste unilateral derecho, el p-valor es la probabilidad de obtener un valor tan grande o mayor que el observado:
Decisión.
Como \(0,0228 < 0,05 \), se rechaza \(H_0 \): hay evidencias significativas de que la probabilidad de cara es mayor que cero coma cinco.
Obsérvese que en el contraste bilateral del ejemplo 3 de la sección 9.3 el p-valor habría sido el doble, \(0,0456 \), y también se habría rechazado, pero por menos margen.
El p-valor es \(0,0228 \), menor que el nivel de significación, luego se rechaza la hipótesis nula.
El p-valor cuantifica la fuerza de la evidencia: cuanto más pequeño, más incompatible es el valor hipotético con los datos.