9.6 9.6 Relación entre intervalos y contrastes
9.6 Relación entre intervalos de confianza y contrastes de hipótesis
En esta sección descubriremos la estrecha relación que existe entre los intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis bilaterales: ambos procedimientos usan la misma información muestral y conducen a la misma decisión.
Empezaremos enunciando la regla de dualidad.
A continuación justificaremos por qué funciona, con la intuición de los valores compatibles con los datos.
Después describiremos el procedimiento paso a paso.
Para terminar lo aplicaremos a tres ejemplos numéricos: uno sobre una proporción y dos sobre la media.
Dualidad entre intervalos y contrastes
Existe una estrecha relación entre los contrastes de hipótesis paramétricos bilaterales y los intervalos de confianza: la hipótesis \(H_0: \theta = \theta_0 \) es rechazada a un nivel de significación \(\alpha \) cuando \(\theta_0 \) no es un valor del intervalo de confianza construido para \(\theta \) al nivel \(1 - \alpha \)
En símbolos: se rechaza \(H_0 \) si \(\theta_0 \notin IC(\theta; 1-\alpha) \), y no se rechaza \(H_0 \) si \(\theta_0 \in IC(\theta; 1-\alpha) \)
Intuición y procedimiento
Un intervalo de confianza al nivel \(1 - \alpha \) reúne todos los valores del parámetro que son compatibles con los datos de la muestra, en el sentido de que no serían rechazados por un contraste bilateral de nivel \(\alpha \)
Si el valor propuesto \(\theta_0 \) está dentro del intervalo, es un valor compatible con los datos y no hay evidencias para rechazarlo.
Si \(\theta_0 \) está fuera del intervalo, es un valor incompatible con los datos y debe rechazarse.
Por eso el intervalo de confianza y el contraste bilateral son dos caras de la misma moneda: el intervalo responde a qué valores son admisibles y el contraste responde a si un valor concreto es admisible.
La forma general de actuar en el caso bilateral, basándose en intervalos de confianza y fijando previamente el nivel de significación \(\alpha \), es la siguiente.
Primero, se construye un intervalo de confianza con nivel \(1 - \alpha \) para \(\theta \)
Segundo, se comprueba si \(\theta_0 \) pertenece al intervalo de confianza.
Si \(\theta_0 \notin IC(\theta; 1-\alpha) \), rechazaremos \(H_0 \), ya que tenemos evidencias significativas para pensar que es falso.
Si \(\theta_0 \in IC(\theta; 1-\alpha) \), solo diremos que no rechazamos \(H_0 \): la muestra no proporciona evidencias significativas para contradecir la hipótesis nula.
Recuérdese que esta dualidad solo vale para contrastes bilaterales; en los unilaterales hay que usar la región crítica.
Se calcula un intervalo de confianza para la proporción \(p \) de manzanas sanas que tiene un manzano y se obtiene el intervalo cero coma sesenta y nueve a cero coma noventa y nueve.
Decide sobre las hipótesis \(H_0: p = 0,85 \) y \(H_0: p = 0,65 \), ambas bilaterales, con nivel de significación cero coma cero cinco.
Para resolver este ejercicio empezaremos identificando el intervalo de confianza y su nivel.
A continuación aplicaremos la regla de dualidad a cada hipótesis propuesta.
Para terminar interpretaremos ambas decisiones.
Intervalo y nivel.
El intervalo es \(IC(p; 0,95) = (0,69, 0,99) \)
Como el nivel de significación es \(\alpha = 0,05 \), el nivel de confianza correspondiente es \(1 - \alpha = 0,95 \), luego podemos aplicar la dualidad directamente.
Decisión sobre \(p = 0,85 \)
Como \(0,85 \in (0,69, 0,99) \), el valor es compatible con los datos y no se rechaza la hipótesis \(H_0: p = 0,85 \)
Decisión sobre \(p = 0,65 \)
Como \(0,65 \notin (0,69, 0,99) \), el valor es incompatible con los datos y se rechaza la hipótesis \(H_0: p = 0,65 \): hay evidencias significativas de que la proporción de manzanas sanas es mayor que cero coma sesenta y cinco.
Para las hojas de jacarandá se construye, con la muestra de veinticinco hojas de media treinta y nueve coma dos y cuasidesviación típica tres coma cinco, el intervalo de confianza al noventa y cinco por ciento para la media, que resulta ser el intervalo abierto treinta y siete coma setenta y seis, cuarenta coma sesenta y cuatro.
Decide sobre \(H_0: \mu = 40 \) y sobre \(H_0: \mu = 37 \) con \(\alpha = 0,05 \), y comprueba que la conclusión coincide con la del contraste por región crítica.
Para resolver este ejercicio aplicaremos la dualidad a las dos hipótesis propuestas.
Después compararemos con el resultado obtenido por región crítica en la sección 9.
4.
Decisión sobre \(\mu = 40 \)
Como \(40 \in (37,76, 40,64) \), no se rechaza \(H_0: \mu = 40 \)
Coincide con la decisión por región crítica, donde \(t_{exp} = -1,143 \) no pertenecía a la región crítica.
Decisión sobre \(\mu = 37 \)
Como \(37 \notin (37,76, 40,64) \), se rechaza \(H_0: \mu = 37 \): hay evidencias significativas de que la longitud media no es de treinta y siete centímetros.
El intervalo nos dice además en qué dirección está la evidencia: la media parece mayor que treinta y siete.
Para las hojas de jacarandá se dispone del intervalo de confianza al noventa y cinco por ciento para la media, \((37,76; 40,64) \)
Decide sobre \(H_0: \mu = 39,5 \) y sobre \(H_0: \mu = 37,5 \), ambas bilaterales, con \(\alpha = 0,05 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que el nivel del intervalo se corresponde con el nivel de significación.
A continuación aplicaremos la regla de dualidad a cada hipótesis propuesta.
Para terminar interpretaremos ambas decisiones.
Decisión sobre \(\mu = 39,5 \)
Como \(39,5 \in (37,76; 40,64) \), el valor es compatible con los datos y no se rechaza la hipótesis \(H_0: \mu = 39,5 \)
Decisión sobre \(\mu = 37,5 \)
Como \(37,5 \notin (37,76; 40,64) \), el valor es incompatible con los datos y se rechaza la hipótesis \(H_0: \mu = 37,5 \): hay evidencias significativas de que la longitud media no es de treinta y siete coma cinco centímetros.
Por dualidad, no se rechaza \(\mu = 39,5 \) y se rechaza \(\mu = 37,5 \), ambas con nivel de significación cero coma cero cinco.
El intervalo de confianza permite decidir de un vistazo sobre cualquier valor hipotético, sin calcular regiones críticas.