9.5 9.5 Listado de estadísticos y regiones críticas

9.5 Listado de estadísticos y regiones críticas en contrastes paramétricos

En esta sección reuniremos en un único listado todos los estadísticos del contraste y sus regiones críticas para los casos paramétricos principales.

Es la tabla de referencia para resolver cualquier contraste paramétrico: primero se identifica el caso, después se escribe el estadístico con su distribución bajo la hipótesis nula y por último se determina la región crítica según la alternativa sea bilateral, unilateral derecha o unilateral izquierda.

Recorreremos los casos uno por uno: media en población normal con varianza desconocida, varianza en población normal, media en población no normal con muestra grande, proporción con muestra grande, comparación de dos medias con muestras independientes, igualdad de varianzas, muestras apareadas y diferencia de proporciones.

Listado de contrastes paramétricos

El estadístico es $t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S_c/\sqrt{n}} $, que bajo $H_0 $ sigue una $t_{n-1} $. Las regiones críticas son las siguientes.

Para $H_0: \mu = \mu_0 $ frente a $H_1: \mu < \mu_0 $, la región crítica es $t \leq -t_{n-1, 1-\alpha} $. Para $H_0: \mu = \mu_0 $ frente a $H_1: \mu \neq \mu_0 $, la región crítica es $t \leq -t_{n-1, 1-\alpha/2} $ o $t \geq t_{n-1, 1-\alpha/2} $. Para $H_0: \mu = \mu_0 $ frente a $H_1: \mu > \mu_0 $, la región crítica es $t \geq t_{n-1, 1-\alpha} $

El estadístico es $\chi^2 = \frac{(n-1)S_c^2}{\sigma_0^2} $, que bajo $H_0 $ sigue una $\chi^2_{n-1} $. Para $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2 $ frente a $H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2 $, la región crítica es $\chi^2 \leq \chi^2_{n-1, \alpha} $. Para $H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2 $, la región crítica es $\chi^2 \leq \chi^2_{n-1, \alpha/2} $ o $\chi^2 \geq \chi^2_{n-1, 1-\alpha/2} $. Para $H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2 $, la región crítica es $\chi^2 \geq \chi^2_{n-1, 1-\alpha} $

El estadístico es $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} $, aproximadamente $N(0,1) $ bajo $H_0 $. Para $H_1: \mu < \mu_0 $, la región crítica es $Z \leq -z_{1-\alpha} $. Para $H_1: \mu \neq \mu_0 $, la región crítica es $Z \leq -z_{1-\alpha/2} $ o $Z \geq z_{1-\alpha/2} $. Para $H_1: \mu > \mu_0 $, la región crítica es $Z \geq z_{1-\alpha} $

El estadístico es $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}} $$, aproximadamente $N(0,1) $ bajo $H_0 $, donde $\hat{p} $ es la proporción muestral.

Para $H_1: p < p_0 $, la región crítica es $Z \leq -z_{1-\alpha} $. Para $H_1: p \neq p_0 $, la región crítica es $Z \leq -z_{1-\alpha/2} $ o $Z \geq z_{1-\alpha/2} $. Para $H_1: p > p_0 $, la región crítica es $Z \geq z_{1-\alpha} $

Si $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 $, el estadístico es $$t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2 - \delta_0}{S_p\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}} $$, que bajo $H_0: \mu_1 - \mu_2 = \delta_0 $ sigue una $t_{n_1+n_2-2} $. La cuasidesviación típica ponderada es $$S_p = \sqrt{\frac{(n_1-1)S_{c1}^2 + (n_2-1)S_{c2}^2}{n_1+n_2-2}} $$. Para $H_1: \mu_1 - \mu_2 < \delta_0 $, la región crítica es $t \leq -t_{n_1+n_2-2, 1-\alpha} $. Para $H_1: \mu_1 - \mu_2 \neq \delta_0 $, la región crítica es $t \leq -t_{n_1+n_2-2, 1-\alpha/2} $ o $t \geq t_{n_1+n_2-2, 1-\alpha/2} $. Para $H_1: \mu_1 - \mu_2 > \delta_0 $, la región crítica es $t \geq t_{n_1+n_2-2, 1-\alpha} $

Si $\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2 $, el estadístico es $$t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2 - \delta_0}{\sqrt{S_{c1}^2/n_1 + S_{c2}^2/n_2}} $$, que bajo $H_0 $ sigue aproximadamente una $t_{\nu} $, donde los grados de libertad se aproximan con la fórmula de Welch: $$\nu \approx \frac{(S_{c1}^2/n_1 + S_{c2}^2/n_2)^2}{(S_{c1}^2/n_1)^2/(n_1-1) + (S_{c2}^2/n_2)^2/(n_2-1)} $$. Las regiones críticas son las mismas del caso anterior sustituyendo $t_{n_1+n_2-2} $ por $t_{\nu} $

El estadístico es $F = \frac{S_{c1}^2}{S_{c2}^2} $, que bajo $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 $ sigue una $F_{n_1-1, n_2-1} $. Para $H_1: \sigma_1^2 < \sigma_2^2 $, la región crítica es $F \leq F_{n_1-1, n_2-1, \alpha} $. Para $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2 $, la región crítica es $F \leq F_{n_1-1, n_2-1, \alpha/2} $ o $F \geq F_{n_1-1, n_2-1, 1-\alpha/2} $. Para $H_1: \sigma_1^2 > \sigma_2^2 $, la región crítica es $F \geq F_{n_1-1, n_2-1, 1-\alpha} $

Sea $D $ la variable diferencia entre las dos mediciones de cada individuo y $\bar{d} $ su media muestral.

Si $D $ es normal, para contrastar $H_0: \mu_D = \delta_0 $ se usa $$t = \frac{\bar{d} - \delta_0}{S_{cd}/\sqrt{n}} $$, que bajo $H_0 $ sigue una $t_{n-1} $. Para $H_1: \mu_D < \delta_0 $, la región crítica es $t \leq -t_{n-1, 1-\alpha} $. Para $H_1: \mu_D \neq \delta_0 $, la región crítica es $t \leq -t_{n-1, 1-\alpha/2} $ o $t \geq t_{n-1, 1-\alpha/2} $. Para $H_1: \mu_D > \delta_0 $, la región crítica es $t \geq t_{n-1, 1-\alpha} $

El estadístico es $$Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/n_1 + 1/n_2)}} $$, aproximadamente $N(0,1) $ bajo $H_0: p_1 = p_2 $, donde la proporción ponderada es $$\hat{p} = \frac{n_1\hat{p}_1 + n_2\hat{p}_2}{n_1 + n_2} $$. Para $H_1: p_1 < p_2 $, la región crítica es $Z \leq -z_{1-\alpha} $. Para $H_1: p_1 \neq p_2 $, la región crítica es $Z \leq -z_{1-\alpha/2} $ o $Z \geq z_{1-\alpha/2} $. Para $H_1: p_1 > p_2 $, la región crítica es $Z \geq z_{1-\alpha} $

Cómo usar este listado

Ante un problema concreto, el orden de trabajo es el siguiente.

Primero, identificar si hay una o dos poblaciones y si las muestras son independientes o apareadas.

Segundo, identificar el parámetro: media, varianza o proporción.

Tercero, comprobar las condiciones: normalidad de la población o tamaño de muestra grande.

Cuarto, escribir el estadístico y su distribución bajo $H_0 $. Quinto, fijar $\alpha $ y escribir la región crítica según la alternativa.

Sexto, calcular $T_{exp} $ y decidir.

📝 Ejemplo 1: Contraste bilateral para la media en población normal con varianza desconocida

Se mide la longitud de $n = 16 $ hojas de jacarandá, obteniendo $\bar{x} = 42,5 $ centímetros y $s_c = 8 $ centímetros.

Contrastar $H_0: \mu = 40 $ frente a $H_1: \mu \neq 40 $ con nivel de significación $\alpha = 0,05 $

💡 Explicación

Identificaremos el caso del listado: media en población normal con varianza desconocida, contraste bilateral.

Escribiremos el estadístico con su distribución bajo $H_0 $, determinaremos la región crítica y calcularemos el valor experimental para decidir.

👉 PASO 1

Estadístico y distribución bajo la hipótesis nula.

El estadístico es $t = \frac{\bar{X} - 40}{S_c/\sqrt{16}} $, que bajo $H_0 $ sigue una $t_{15} $

👉 PASO 2

Región crítica.

Al ser bilateral con $\alpha = 0,05 $, $$R_c = \{|t| \geq t_{15, 0,975}\} = \{|t| \geq 2,131\} $$

👉 PASO 3

Valor experimental y decisión.

$$t_{exp} = \frac{42,5 - 40}{8/4} = \frac{2,5}{2} = 1,25 $$

Como $|1,25| = 1,25 < 2,131 $, el valor experimental no está en la región crítica.

✅ Conclusión

No se rechaza $H_0 $ al $5 $ por ciento de significación: los datos no aportan evidencia suficiente contra que la longitud media sea de $40 $ centímetros.

📝 Ejemplo 2: Contraste unilateral derecho para una proporción con muestra grande

En una encuesta a $n = 400 $ personas, $220 $ responden afirmativamente.

Contrastar $H_0: p = 0,5 $ frente a $H_1: p > 0,5 $ con $\alpha = 0,05 $

💡 Explicación

Identificaremos el caso del listado: proporción con muestra grande, contraste unilateral derecho.

Escribiremos el estadístico con su distribución aproximada bajo $H_0 $, determinaremos la región crítica y decidiremos con el valor experimental.

👉 PASO 1

Estadístico y distribución bajo la hipótesis nula.

La proporción muestral es $\hat{p} = \frac{220}{400} = 0,55 $

El estadístico es $$z = \frac{\hat{p} - 0,5}{\sqrt{0,5 \cdot 0,5/400}} $$, aproximadamente $N(0, 1) $ bajo $H_0 $

👉 PASO 2

Región crítica.

Al ser unilateral derecho con $\alpha = 0,05 $, $R_c = \{z \geq z_{0,95}\} = \{z \geq 1,645\} $

👉 PASO 3

Valor experimental y decisión.

$$z_{exp} = \frac{0,55 - 0,5}{\sqrt{0,000625}}= \frac{0,05}{0,025} = 2 $$

Como $2 > 1,645 $, el valor experimental sí está en la región crítica.

✅ Conclusión

Se rechaza $H_0 $ al $5 $ por ciento de significación: hay evidencia de que la proporción es mayor que $0,5 $

📝 Ejemplo 3: Contraste bilateral para la varianza en población normal

De una población normal se extrae una muestra de $n = 10 $ observaciones con cuasivarianza $s_c^2 = 180 $

Contrastar $H_0: \sigma^2 = 100 $ frente a $H_1: \sigma^2 \neq 100 $ con $\alpha = 0,05 $

💡 Explicación

Identificaremos el caso del listado: varianza en población normal, contraste bilateral.

Escribiremos el estadístico chi-cuadrado con su distribución bajo $H_0 $, determinaremos la región crítica con los dos cuantiles y decidiremos.

👉 PASO 1

Estadístico y distribución bajo la hipótesis nula.

El estadístico es $$\chi^2 = \frac{(n-1)S_c^2}{\sigma_0^2} = \frac{9 S_c^2}{100} $$, que bajo $H_0 $ sigue una $\chi^2_9 $

👉 PASO 2

Región crítica.

Al ser bilateral con $\alpha = 0,05 $, se rechaza si $\chi^2 \leq \chi^2_{9, 0,025} = 2,700 $ o si $\chi^2 \geq \chi^2_{9, 0,975} = 19,023 $

👉 PASO 3

Valor experimental y decisión.

$$\chi^2_{exp} = \frac{9 \cdot 180}{100} = \frac{1620}{100} = 16,2 $$

Como $2,700 < 16,2 < 19,023 $, el valor experimental no está en la región crítica.

✅ Conclusión

No se rechaza $H_0 $ al $5 $ por ciento de significación: los datos no aportan evidencia suficiente contra que la varianza sea $100 $