8.3 8.3 Distribuciones binomial y Poisson aproximadas por la normal
8.3 Las distribuciones binomial y Poisson aproximadas por la normal
Sea \(X \sim B(200; 0,4) \)
Como \(np = 80 \) y \(npq = 48 \) son grandes, \(X \) se aproxima por \(Y \sim N(80; 48) \)
Con la corrección por continuidad, \(P(X = 90) \approx P(89,5 < Y < 90,5) \)
Propiedades reproductivas: binomial y Poisson como sumas
En esta sección aplicaremos el teorema central del límite a la binomial y a la Poisson:
si \(S_n \sim \text{Bin}(100; 0,5) \), entonces \(\frac{S_n - 50}{5} \xrightarrow{d} N(0,1) \), y con la corrección por continuidad $$P(S_n \leq 55) \approx \Phi(1,1) \approx 0,8643 $$
Tanto la binomial como la Poisson pueden verse como sumas de variables independientes, lo que las hace candidatas naturales para el teorema central del límite.
Si \(X_i \) vale 1 con probabilidad \(p \) y 0 con probabilidad \(1 - p \), entonces la suma \(S_n = \sum_{i=1}^{n} X_i \) cuenta el número de éxitos en \(n \) pruebas y sigue una \(\text{Bin}(n, p) \)
Análogamente, la suma de variables de Poisson independientes es otra Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros:
si \(X_i \sim \text{Poisson}(\lambda_i) \) independientes, entonces $$\sum_{i=1}^{n} X_i \sim \text{Poisson}\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i\right) $$
En particular, la suma de \(n \) variables \(\text{Poisson}(\lambda) \) independientes es una \(\text{Poisson}(n\lambda) \)
El teorema de De Moivre-Laplace
Una \(\text{Bin}(n, p) \) es la suma de \(n \) Bernoulli independientes de parámetro \(p \), y una \(\text{Poisson}(\lambda) \) es la suma de variables de Poisson independientes de parámetros que suman \(\lambda \): por ejemplo, las averías anuales de una máquina son la suma de \(52 \) Poisson semanales de media \(0,5 \), luego siguen una \(\text{Poisson}(26) \)
Aplicando el teorema central del límite a la suma de variables de Bernoulli de parámetro \(p \), con media \(p \) y varianza \(pq \) donde \(q = 1 - p \), obtenemos el teorema de De Moivre-Laplace:
si \(S_n \sim \text{Bin}(n, p) \), entonces
En la práctica escribimos \(\text{Bin}(n, p) \approx N(np, \sqrt{npq}) \)
La aproximación es buena cuando \(np \geq 5 \) y \(nq \geq 5 \), condición que garantiza que la binomial no esté demasiado concentrada en un extremo.
Este fue, históricamente, el primer teorema central del límite, anterior a la versión general de la sección 8.2.
La Poisson aproximada por la normal
Si \(S_n \sim \text{Bin}(100; 0,5) \), el teorema de De Moivre-Laplace da $$\frac{S_n - 50}{\sqrt{25}}\xrightarrow{d} N(0,1) $$
Así, $$P(S_n \leq 55) \approx P\left(Z \leq \frac{55,5 - 50}{5}\right) = \Phi(1,1) \approx 0,8643 $$, usando la corrección por continuidad.
Del mismo modo, si \(Y \sim \text{Poisson}(\lambda) \) con \(\lambda \) grande, el teorema central del límite aplicado a la suma de \(n \) variables \(\text{Poisson}(\lambda/n) \) independientes da la aproximación
Como en la Poisson la media y la varianza coinciden y valen \(\lambda \), la desviación típica de la aproximación es \(\sqrt{\lambda} \)
La aproximación es aceptable a partir de \(\lambda \geq 20 \), y muy buena para valores mayores.
La corrección por continuidad
Si $$Y \sim \text{Poisson}(100) ,\ \text{con}\\\lambda = 100 $$ grande, la aproximación normal da \(Y \approx N(100, 10) \)
Por ejemplo, $$P(Y \leq 110) \approx \Phi\left(\frac{110,5 - 100}{10}\right) = \Phi(1,05) \approx 0,8531 $$
Al aproximar una variable discreta \(X \) por una continua \(Y \) hay que tener cuidado con los puntos aislados: \(P(X = k) \) no es cero, pero \(P(Y = k) = 0 \)
La corrección por continuidad representa cada valor entero \(k \) por el intervalo \((k - 0,5; k + 0,5) \), lo que mejora notablemente la aproximación.
Las conversiones son:
\(P(X = k) \approx P(k - 0,5 < Y < k + 0,5) \),
\(P(X \leq k) \approx P(Y < k + 0,5) \),
\(P(X < k) \approx P(Y < k - 0,5) \),
\(P(X \geq k) \approx P(Y > k - 0,5) \),
La regla mnemotécnica es sencilla: la desigualdad estricta se aleja media unidad del valor \(k \), y la no estricta se acerca media unidad.
Inferencia sobre una proporción
Al aproximar \(P(X = 50) \) en una binomial por una normal, el valor puntual se representa por el intervalo \((49,5;\; 50,5) \): \(P(X = 50) \approx P(49,5 < Y < 50,5) \)
Sin esta corrección, la aproximación daría cero, que es inútil.
La aproximación binomial sustenta la inferencia sobre proporciones.
Si observamos \(x \) éxitos en \(n \) pruebas, la proporción muestral es \(\hat{p} = \frac{x}{n} \)
Por el teorema de De Moivre-Laplace, para \(n \) grande,
De aquí se obtiene el intervalo de confianza asintótico de nivel \(1 - \alpha \) para \(p \):
$$\hat{p} \pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} $$,
donde en el error estándar se sustituye \(p \) por \(\hat{p} \)
Para contrastar \(H_0: p = p_0 \) se usa el estadístico
$$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} $$,
que bajo \(H_0 \) es aproximadamente \(N(0,1) \); se rechaza \(H_0 \) si \(|z| \) supera el valor crítico, o equivalentemente si el p-valor es menor que \(\alpha \)
El p-valor, que estudiaremos con rigor en el tema 9, es la probabilidad, calculada bajo la hipótesis nula, de obtener una discrepancia tan grande o mayor que la observada.
Ejemplos resueltos
Si en \(n = 400 \) pruebas se observan \(x = 240 \) éxitos, la proporción muestral es \(\hat{p} = 0,6 \) y, por De Moivre-Laplace, $$\hat{p} \approx N\left(p, \sqrt{\frac{pq}{400}}\right) $$, de donde se obtiene el intervalo de confianza para \(p \)
Como anticipo del primer ejemplo resuelto: las averías semanales siguen una Poisson de media \(0,5 \), luego las anuales, suma de \(52 \) semanas independientes, siguen exactamente una \(\text{Poisson}(26) \) por la propiedad reproductiva, sin necesidad de aproximar.
Distribución exacta del número anual de averías.
El número de averías semanales de una máquina es una variable de Poisson de media 0,5.
¿Qué distribución exacta sigue el número anual de averías (52 semanas)?
Usaremos la propiedad reproductiva de la distribución de Poisson: la suma de variables de Poisson independientes es otra variable de Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros.
Aplicaremos esta propiedad a las 52 semanas del año.
Modelo de las averías semanales.
Sea \(X_i \) el número de averías de la semana $$i ,\ \text{con}\ X_i \sim \text{Poisson}(0,5) $$, independientes entre semanas.
Aplicación de la propiedad reproductiva.
El número anual de averías es \(Y = \sum_{i=1}^{52} X_i \)
Por la propiedad reproductiva, $$Y \sim \text{Poisson}(52 \cdot 0,5) = \text{Poisson}(26) $$
El número anual de averías sigue exactamente una distribución de Poisson de parámetro
2
6.
Probabilidad aproximada de más de veinte averías.
Con los datos del ejemplo anterior, ¿cuál es la probabilidad aproximada de que en un año se produzcan más de 20 averías?
Usaremos que el número anual de averías sigue una Poisson de parámetro 26 y, como este parámetro es grande, la aproximaremos por una normal mediante el teorema central del límite.
Aplicaremos explícitamente la corrección por continuidad al tratarse de una variable discreta y tipificaremos para obtener la probabilidad.
Parámetros de la Poisson anual.
El número anual de averías es \(Y \sim \text{Poisson}(26) \), con media \(\mu = 26 \) y desviación típica \(\sigma = \sqrt{26} \approx 5,099 \)
Aproximación normal con corrección por continuidad.
Por el teorema central del límite, \(Y \) se aproxima por una \(N(26; 5,099) \)
Aplicando la corrección por continuidad a la desigualdad estricta, $$P(Y > 20) \approx P(Y_c > 20,5) = P\left(Z > \frac{20,5 - 26}{5,099}\right) = P(Z > -1,08) $$, y por simetría \(P(Z > -1,08) = P(Z < 1,08) \approx 0,8596 \)
La probabilidad aproximada de que en un año se produzcan más de 20 averías es 0,
8596.
Aproximación normal de una binomial con corrección por continuidad.
Se lanza 400 veces una moneda equilibrada.
Si sale cara en la tirada n-ésima definimos \(X_n = 1 \), y si sale cruz \(X_n = 0 \)
Calcula $$P\left(190 < \sum_{n=1}^{400} X_n < 210\right) $$
Observaremos que la suma de las 400 variables es una binomial de parámetros 400 y 0,
5. Como el tamaño muestral es grande, aplicaremos el teorema de De Moivre-Laplace para aproximarla por una normal, usando explícitamente la corrección por continuidad al tratarse de una variable discreta con desigualdades estrictas.
Distribución binomial de la suma.
Sea \(S = \sum_{n=1}^{400} X_n \) el número de caras.
Entonces \(S \sim \text{Bin}(400; 0,5) \), con media \(\mu = 400 \cdot 0,5 = 200 \) y desviación típica \(\sigma = \sqrt{400 \cdot 0,5 \cdot 0,5} = 10 \)
Aproximación normal con corrección por continuidad.
Por el teorema de De Moivre-Laplace, \(S \) se aproxima por una \(N(200; 10) \)
Aplicando la corrección por continuidad a las desigualdades estrictas: $$P(190 < S < 210) \approx P(190,5 < Y_c < 209,5) = P\left(\frac{190,5 - 200}{10} < Z < \frac{209,5 - 200}{10}\right) = P(-0,95 < Z < 0,95) $$
Cálculo de la probabilidad con la tabla normal.
Por simetría, $$P(-0,95 < Z < 0,95) = 2\Phi(0,95) - 1 \approx 2 \cdot 0,8289 - 1 = 0,6579 $$
La probabilidad pedida es aproximadamente 0,
6579.
Aproximación normal de una suma de Poisson.
Dadas 100 variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas según un modelo de Poisson de parámetro 2, calcula \(P(190 < Y < 210) \) sabiendo que \(Y = \sum_{n=1}^{100} X_n \)
Usaremos que la suma de variables de Poisson independientes es una Poisson con la suma de los parámetros, y aplicaremos el teorema central del límite para aproximarla por una normal.
Al tratarse de una variable discreta con desigualdades estrictas, aplicaremos explícitamente la corrección por continuidad antes de tipificar.
Distribución de Poisson de la suma.
La suma de 100 variables de Poisson independientes de parámetro 2 es una Poisson de parámetro \(100 \cdot 2 = 200 \), luego \(Y \sim \text{Poisson}(200) \), con media \(\mu = 200 \) y desviación típica \(\sigma = \sqrt{200} \approx 14,14 \)
Aproximación normal con corrección por continuidad.
Por el teorema central del límite, \(Y \) se aproxima por una \(N(200; 14,14) \)
Aplicando la corrección por continuidad: $$P(190 < Y < 210) \approx P(190,5 < Y_c < 209,5) = P\left(\frac{190,5 - 200}{14,14} < Z < \frac{209,5 - 200}{14,14}\right) = P(-0,67 < Z < 0,67) $$
Cálculo de la probabilidad con la tabla normal.
Por simetría, $$P(-0,67 < Z < 0,67) = 2\Phi(0,67) - 1 \approx 0,4983 $$
La probabilidad pedida es aproximadamente 0,
4983.
Intervalo de confianza para la probabilidad de cara.
Se lanza 400 veces una moneda y se obtienen 215 caras.
Construye un intervalo de confianza al 95 por ciento para \(p \), la probabilidad de obtener cara.
Estimaremos la probabilidad de cara por la proporción muestral y aplicaremos el teorema de De Moivre-Laplace para obtener su distribución aproximada.
Con ella construiremos el intervalo de confianza simétrico de nivel 95 por ciento, calculando el error estándar y multiplicándolo por el cuantil correspondiente de la normal estándar.
Proporción muestral y error estándar.
La proporción muestral es \(\hat{p} = \frac{215}{400} = 0,5375 \)
El error estándar de la estimación es $$SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{400}} = \sqrt{\frac{0,5375 \cdot 0,4625}{400}} \approx 0,0249 $$
Margen de error e intervalo de confianza.
Para un nivel de confianza del 95 por ciento, el cuantil de la normal estándar es \(z_{0,975} = 1,96 \)
El margen de error es \(1,96 \cdot 0,0249 \approx 0,0489 \), luego el intervalo es $$(0,5375 - 0,0489; 0,5375 + 0,0489) = (0,4886; 0,5864) $$
Un intervalo de confianza al 95 por ciento para la probabilidad de obtener cara es el intervalo de 0,4886 a 0,
5864.
Contraste para la probabilidad de cara.
Se lanza 400 veces una moneda y se obtienen 215 caras.
Decide si puede mantenerse la hipótesis nula \(H_0: p = 0,5 \) con un nivel de significación del 5 por ciento.
Realizaremos un contraste de hipótesis bilateral para una proporción utilizando el teorema de De Moivre-Laplace.
Calcularemos el estadístico de contraste bajo la hipótesis nula, lo compararemos con el valor crítico de la normal estándar y calcularemos también el p-valor para tomar la decisión.
Hipótesis y estadístico del contraste.
Planteamos \(H_0: p = 0,5 \) frente a \(H_1: p \neq 0,5 \), con nivel de significación \(\alpha = 0,05 \)
La proporción muestral es \(\hat{p} = \frac{215}{400} = 0,5375 \)
Bajo \(H_0 \), el estadístico de contraste es $$z = \frac{\hat{p} - 0,5}{\sqrt{0,5 \cdot 0,5 / 400}}= \frac{0,0375}{0,025} = 1,5 $$
Valor crítico, p-valor y decisión.
Para un contraste bilateral con \(\alpha = 0,05 \), el valor crítico es \(z_{0,975} = 1,96 \)
Como \(|1,5| < 1,96 \), no se rechaza \(H_0 \)
El p-valor es \(2P(Z > 1,5) \approx 2 \cdot 0,0668 = 0,1336 \), mayor que 0,05, lo que confirma la decisión.
No hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula al 5 por ciento de significación; puede mantenerse que la moneda está equilibrada.