7.5 7.5 Intervalos de confianza: concepto

7.5 Intervalos de confianza

📝 Ejemplo:

Con $n = 25 $ el intervalo para $\mu $ es más estrecho que con $n = 9 $, porque el error estándar $S_c/\sqrt{n} $ disminuye.

En cambio, pedir un $99 $ por ciento de confianza en lugar de un $95 $ ensancha el intervalo: más seguridad exige más amplitud.

De la estimación puntual a la estimación por intervalos

📝 Ejemplo:

En esta sección pasaremos de dar un único valor a dar un rango:

si la media muestral de $25 $ observaciones es $50 $, en lugar de estimar $\mu = 50 $ daremos un intervalo como $(48,2;\; 51,8) $ al $95 $ por ciento de confianza.

Un estimador puntual nos proporciona un único valor posible para un parámetro poblacional.

Sin embargo, una estimación difícilmente es exacta, y sería conveniente poder dar información de lo confiados que estamos en la estimación.

Con este objetivo, en lugar de dar un único posible valor para el parámetro, facilitaremos un rango de valores posibles del parámetro poblacional, al que se llama intervalo de confianza.

Nuestra estimación puntual es el valor más adecuado para el parámetro poblacional, por lo que tiene sentido que construyamos el intervalo de confianza en torno al valor de la estimación puntual.

El error estándar, una medida de la incertidumbre asociada con el estimador puntual, nos da una indicación de cómo de grande debería ser el intervalo de confianza.

Las técnicas que abordan este tipo de situaciones se encuadran dentro de la estadística inferencial bajo el título de estimación confidencial, estimación por intervalos o regiones de confianza.

Definición formal de intervalo de confianza

📝 Ejemplo:

Estimar puntualmente $\hat{\mu} = 50 $ no dice nada sobre la precisión.

Añadir el intervalo $(48,2;\; 51,8) $ al $95 $ por ciento informa de que el verdadero valor de $\mu $ está, con alta confianza, entre esos dos extremos.

Sea X una variable aleatoria cuya distribución depende de un parámetro theta que desconocemos.

Sea $X_1, \dots, X_n $ una muestra aleatoria simple procedente de la población descrita por la variable X.

Fijado $\alpha \in (0,1) $, diremos que $IC(\theta, 1-\alpha) $ es un intervalo aleatorio al nivel de confianza $1-\alpha $ si

$$P[\theta \in IC(\theta, 1-\alpha)] \geq 1-\alpha $$

o, lo que es lo mismo,

$$P[\theta \notin IC(\theta, 1-\alpha)] < \alpha $$

Conviene observar que $IC(\theta, 1-\alpha) $ es un conjunto aleatorio que depende de la muestra elegida.

Por tanto, para cada muestra obtendremos un intervalo numérico diferente.

Una vez seleccionada una muestra y calculado, con esa muestra, el intervalo aleatorio correspondiente, obtendremos dos valores numéricos: extremo inferior y extremo superior.

Al intervalo determinado por estos extremos le llamaremos intervalo de confianza y también lo notaremos por $IC(\theta, 1-\alpha) $, aunque conviene tener presente la diferente naturaleza del intervalo aleatorio y del intervalo de confianza: el primero es aleatorio porque sus extremos son estadísticos, y el segundo es un intervalo de números fijos ya realizado.

Interpretación correcta del nivel de confianza

📝 Ejemplo:

Fijado $\alpha = 0,05 $, un intervalo $IC(\mu; 0,95) $ es aleatorio: $P[\mu \in IC(\mu; 0,95)] = 0,95 $

Sus extremos dependen de la muestra y cambian de una muestra a otra.

Si elegimos un nivel de confianza, por ejemplo de $1-\alpha = 0,95 $, y encontramos los intervalos de confianza al 95 por ciento que se correspondan con todas y cada una de las muestras de tamaño n que podríamos extraer de esa población, lo que sabemos es que al menos el 95 por ciento de todos esos intervalos encontrados contienen el verdadero valor del parámetro y, como mucho, un 5 por ciento no lo contienen.

Pero nosotros solo tenemos uno de esos intervalos.

La interpretación frecuentista es, por tanto, una afirmación sobre el procedimiento de construcción de intervalos a largo plazo, no una probabilidad sobre el intervalo concreto ya calculado: una vez realizado, el parámetro está o no está dentro, aunque no sepamos cuál de las dos cosas ocurre.

En la práctica se suele tomar $1-\alpha = 0,90 $, $0,95 $ o $0,99 $

El método de la cantidad pivotal

📝 Ejemplo:

Si se construyeran los intervalos al $95 $ por ciento para $100 $ muestras distintas, unos $95 $ de ellos contendrían al verdadero $\mu $ y unos $5 $ no.

Con un solo intervalo no sabemos si es de los que aciertan, pero el procedimiento acierta el $95 $ por ciento de las veces.

Para construir intervalos de confianza se utiliza el método de la cantidad pivotal.

Una cantidad pivotal es una función $Q = Q(X_1, \dots, X_n, \theta) $ de la muestra y del parámetro cuya distribución de probabilidad es completamente conocida y no depende de ningún parámetro desconocido.

El procedimiento general consta de tres pasos.

Primero, se elige una cantidad pivotal Q adecuada para el parámetro de interés.

Segundo, se determinan dos constantes a y b, que dependen solo del nivel de confianza, tales que $P(a \leq Q \leq b) = 1-\alpha $

Tercero, se despeja el parámetro theta de la doble desigualdad, obteniendo un intervalo aleatorio cuyos extremos dependen de la muestra.

Al sustituir los datos se obtiene el intervalo de confianza numérico.

Relación entre amplitud, tamaño muestral y nivel de confianza

📝 Ejemplo:

Para la media de una población normal con $\sigma $ desconocida, la cantidad pivotal es $$T = \frac{\bar{X} - \mu}{S_c/\sqrt{n}}\sim t_{n-1} $$: su distribución es conocida y no depende de parámetros desconocidos.

Despejando $\mu $ entre dos cuantiles de la $t_{n-1} $ se obtiene el intervalo.

La amplitud del intervalo, el tamaño muestral y el nivel de confianza son tres factores que están interrelacionados.

Para un nivel de confianza fijado, a mayor tamaño muestral, menor amplitud del intervalo, porque el error estándar disminuye con n y la estimación es más precisa.

Fijado el tamaño muestral, considerar mayor nivel de confianza supone que el intervalo obtenido tiene mayor amplitud, porque para estar más seguros de atrapar al parámetro hay que dar un rango más amplio.

Esta tensión entre precisión y confianza es inherente a la estimación por intervalos: no se puede tener a la vez un intervalo muy estrecho y una confianza muy alta sin aumentar el tamaño de la muestra.

📝 Ejemplo 1: Sea X₁, …, X_n una muestra aleatoria simple de una población N(μ, σ²) con sigma conocido

Construye por el método de la cantidad pivotal un intervalo de confianza para mu al nivel $1-\alpha $ y aplícalo a una muestra de tamaño $36 $ con media muestral $50 $ y sigma igual a $6 $, al 95 por ciento de confianza.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por elegir la cantidad pivotal adecuada.

A continuación determinaremos las constantes que dejan la probabilidad uno menos alfa en el centro.

Para terminar despejaremos el parámetro mu de la doble desigualdad y aplicaremos la fórmula a los datos numéricos.

👉 PASO 1

Elección de la cantidad pivotal.

Sabemos que la media muestral tipificada con varianza conocida sigue una normal estándar:

$$Q = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1) $$

Esta cantidad depende de la muestra y del parámetro mu, y su distribución no depende de ningún parámetro desconocido, luego es una cantidad pivotal válida para mu.

👉 PASO 2

Determinación de las constantes.

Buscamos dos constantes simétricas, $-z $ y $z $, tales que la probabilidad central sea $1-\alpha $:

$$P(-z \leq Q \leq z) = 1-\alpha $$

Por simetría de la normal estándar, cada cola debe tener probabilidad $\frac{\alpha}{2} $, de modo que $z = Z_{1-\frac{\alpha}{2}} $, el cuantil que deja a su izquierda una probabilidad de $1-\frac{\alpha}{2} $

Los valores más usados son $Z_{0,95} = 1,645 $ para el 90 por ciento, $Z_{0,975} = 1,96 $ para el 95 por ciento y $Z_{0,995} = 2,576 $ para el 99 por ciento.

👉 PASO 3

Despeje del parámetro y fórmula del intervalo.

Partimos de la doble desigualdad:

$$-Z_{1-\frac{\alpha}{2}} \leq \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\leq Z_{1-\frac{\alpha}{2}} $$

Multiplicamos por el error estándar $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $, que es positivo:

$$-Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \bar{X} - \mu \leq Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$

Restamos $\bar{X} $ y cambiamos el signo, invirtiendo las desigualdades:

$$\bar{X} - Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq \bar{X} + Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$

Obtenemos así el intervalo aleatorio al nivel $1-\alpha $:

$$IC(\mu; 1-\alpha) = \left(\bar{X} \mp Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) $$

centrado en la estimación puntual $\bar{X} $ con semi amplitud igual al cuantil por el error estándar.

👉 PASO 4

Aplicación numérica.

Con $n = 36 $, $\bar{X} = 50 $, $\sigma = 6 $ y nivel del $95 $ por ciento, el cuantil es $Z_{0,975} = 1,96 $

El error estándar es $\frac{6}{\sqrt{36}}= \frac{6}{6} = 1 $

La semi amplitud es $1,96 \cdot 1 = 1,96 $, luego:

$$IC(\mu; 0,95) = (50 - 1,96; \; 50 + 1,96) = (48,04; \; 51,96) $$

Interpretación: con el procedimiento usado, el $95 $ por ciento de las muestras de tamaño $36 $ producirían intervalos que contienen a la verdadera media poblacional, y el intervalo concreto obtenido con esta muestra es de cuarenta y ocho coma cero cuatro a cincuenta y uno coma noventa y seis.

📝 Ejemplo 2: Efecto del tamaño muestral sobre la amplitud del intervalo

Con media muestral $\bar{X} = 50 $, desviación típica poblacional $\sigma = 6 $ conocida y nivel de confianza del $95 $ por ciento, comparamos el intervalo de confianza para $\mu $ con tamaños muestrales $n = 36 $ y $n = 144 $

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por construir el intervalo con treinta y seis observaciones, ya calculado en el ejemplo anterior.

A continuación repetiremos el cálculo con ciento cuarenta y cuatro observaciones, observando cómo cambia el error estándar.

Para terminar compararemos las amplitudes y extraeremos la relación general entre tamaño muestral y precisión.

👉 PASO 1

Intervalo con treinta y seis observaciones.

Del ejemplo 1, con $n = 36 $ el error estándar es $\frac{6}{\sqrt{36}}= 1 $ y el intervalo es $IC(\mu; 0,95) = (48,04; \; 51,96) $, de amplitud $51,96 - 48,04 = 3,92 $

👉 PASO 2

Intervalo con ciento cuarenta y cuatro observaciones.

Con $n = 144 $ el error estándar es $\frac{6}{\sqrt{144}}= \frac{6}{12} = 0,5 $

La semi amplitud es $1,96 \cdot 0,5 = 0,98 $, luego:

$$IC(\mu; 0,95) = (50 - 0,98; \; 50 + 0,98) = (49,02; \; 50,98) $$

de amplitud $1,96 $

👉 PASO 3

Comparación.

Al multiplicar el tamaño muestral por cuatro, de $36 $ a $144 $, la amplitud se ha dividido entre dos, de $3,92 $ a $1,96 $

Esto ilustra la regla general: la amplitud del intervalo decae como $1/\sqrt{n} $, de modo que para reducir la amplitud a la mitad hay que cuadruplicar la muestra.

✅ Conclusión

Con $n = 144 $ el intervalo es $(49,02; 50,98) $, la mitad de ancho que con $n = 36 $

La precisión tiene un precio en tamaño muestral que crece cuadráticamente.

📝 Ejemplo 3: Efecto del nivel de confianza sobre la amplitud del intervalo

Con $n = 36 $, $\bar{X} = 50 $ y $\sigma = 6 $ conocida, comparamos los intervalos de confianza para $\mu $ a los niveles del $90 $ por ciento y del $99 $ por ciento.

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por construir el intervalo al noventa por ciento, usando el cuantil correspondiente de la normal estándar.

A continuación construiremos el intervalo al noventa y nueve por ciento.

Para terminar compararemos las amplitudes e interpretaremos la tensión entre confianza y precisión.

👉 PASO 1

Intervalo al noventa por ciento.

El error estándar es $\frac{6}{\sqrt{36}}= 1 $ y el cuantil es $Z_{0,95} = 1,645 $

La semi amplitud es $1,645 $, luego:

$$IC(\mu; 0,90) = (50 - 1,645; \; 50 + 1,645) = (48,355; \; 51,645) $$

de amplitud $3,29 $

👉 PASO 2

Intervalo al noventa y nueve por ciento.

El cuantil es ahora $Z_{0,995} = 2,576 $, luego la semi amplitud es $2,576 $ y:

$$IC(\mu; 0,99) = (50 - 2,576; \; 50 + 2,576) = (47,424; \; 52,576) $$

de amplitud $5,152 $

👉 PASO 3

Comparación.

Al pasar del $90 $ por ciento al $99 $ por ciento de confianza, la amplitud crece de $3,29 $ a $5,152 $:

para estar más seguros de atrapar al parámetro hay que dar un rango más amplio.

Esta es la tensión inherente a la estimación por intervalos: con la misma muestra, más confianza exige menos precisión.

✅ Conclusión

Los intervalos son $(48,355; 51,645) $ al $90 $ por ciento y $(47,424; 52,576) $ al $99 $ por ciento.

La única forma de tener a la vez un intervalo estrecho y una confianza alta es aumentar el tamaño de la muestra.