7.1 7.1 Concepto de estimador
7.1 Concepto de estimador
Como \(\hat{\lambda} = \bar{X} \) es una variable aleatoria, podemos estudiar su esperanza, \(E[\bar{X}] = \lambda \), y su varianza, \(\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\lambda}{n} \): así juzgaremos si es un buen estimador.
El problema de la estimación
En esta sección veremos la estimación puntual:
si el número de llamadas por hora sigue \(X \sim P(\lambda) \) con \(\lambda \) desconocida, usaremos la media muestral \(\hat{\lambda} = \bar{X} \) como estimador del parámetro.
Supongamos que queremos estudiar una población descrita por una variable aleatoria X.
A lo largo de este tema supondremos que el modelo de distribución es conocido, pero que desconocemos el valor de un número finito de parámetros, que denotaremos por $$\theta = (\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_k) $$
Por ejemplo, sabemos que X sigue una distribución exponencial de parámetro lambda, es decir, \(X \sim \text{Exp}(\lambda) \), pero desconocemos el valor de \(\theta = \lambda \)
Nótese que si el valor de theta fuese conocido, conoceríamos completamente el comportamiento de la variable en la población.
Por tanto, nuestro objetivo será estimar o aproximar theta lo mejor posible a partir de los datos que nos proporciona una muestra.
La muestra aleatoria simple
Sabemos que el tiempo entre llamadas sigue una distribución exponencial \(X \sim \text{Exp}(\lambda) \), pero desconocemos \(\lambda \)
El problema de la estimación consiste en aproximar ese parámetro \(\theta = \lambda \) a partir de los datos de una muestra.
Sea \(X_1, X_2, \dots, X_n \) una muestra aleatoria simple de la población descrita por X.
Esto significa que las n variables son independientes entre sí e idénticamente distribuidas con la misma distribución que la variable poblacional X.
Cada observación concreta de la muestra, \(x_1, x_2, \dots, x_n \), es un valor numérico ya realizado, sin aleatoriedad, mientras que \(X_1, X_2, \dots, X_n \) son variables aleatorias antes de extraer la muestra.
Definición de estimador
Se observan los números de llamadas en \(8 \) horas: \(x_1 = 3 \), \(x_2 = 5 \), \(x_3 = 4 \), \(x_4 = 2 \), \(x_5 = 6 \), \(x_6 = 3 \), \(x_7 = 4 \) y \(x_8 = 5 \)
Son valores numéricos ya realizados, sin aleatoriedad: una realización de la muestra \(X_1, \dots, X_8 \)
Se denomina estimador de un parámetro theta a cualquier estadístico que tenga por objetivo aproximar el valor de dicho parámetro.
Un estadístico es una función de la muestra, \(T = T(X_1, X_2, \dots, X_n) \), que depende únicamente de los datos muestrales y no contiene parámetros desconocidos.
Al estimador obtenido para el parámetro theta lo denotaremos por \(\hat{\theta} \)
Obsérvese que la definición no nos dice cómo construir el estimador, solo nos dice qué es: cualquier función de la muestra propuesta para aproximar a theta.
Estimador y estimación: dos conceptos distintos
Para estimar la media \(\lambda \) de una \(P(\lambda) \) se propone $$\hat{\lambda} = \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i $$
Es un estadístico: depende solo de la muestra y no contiene parámetros desconocidos, y su objetivo es aproximar \(\lambda \)
Para cada posible realización de la muestra, esto es, para cada posible muestra extraída, \((x_1, x_2, \dots, x_n) \), obtendríamos un valor numérico del estadístico, \(T(x_1, x_2, \dots, x_n) \), al que llamaremos estimación del parámetro.
La diferencia es esencial: el estimador \(\hat{\theta} \) no es un valor concreto sino una variable aleatoria, por ser un estadístico, ya que depende de la muestra y la elección de esta es un proceso aleatorio.
Una vez que la muestra ha sido elegida, se denomina estimación al valor numérico que toma el estadístico sobre esa muestra concreta.
Dicho de otro modo, el estimador es la receta y la estimación es el número que sale al aplicar la receta a unos datos.
Consecuencias de que el estimador sea una variable aleatoria
El estimador \(\hat{\lambda} = \bar{X} \) es una variable aleatoria: cambia de una muestra a otra.
La estimación es el número concreto que se obtiene con los datos observados; por ejemplo, con la muestra anterior, \(\hat{\lambda} = \bar{x} = \frac{32}{8} = 4 \) llamadas por hora.
Debido a que un estimador es una variable aleatoria podremos conocer, en algunos casos, su función de distribución, y ello nos permitirá determinar sus propiedades: su esperanza nos dirá si el estimador está centrado en el parámetro, su varianza nos dirá lo concentrado que está en torno a su centro, y su comportamiento cuando el tamaño muestral crece nos dirá si converge al verdadero valor.
Estas son precisamente las propiedades de insesgadez, eficiencia y consistencia que estudiaremos en la sección 7.
2.
Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño diez y se obtienen los valores \(3 \), \(5 \), \(2 \), \(4 \), \(6 \), \(3 \), \(4 \), \(5 \), \(2 \) y \(6 \)
Se propone como estimador de lambda la media muestral, \(\hat{\lambda} = \bar{X} \)
Calcula la estimación de lambda para esta muestra.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar el parámetro de interés y el estimador propuesto.
A continuación sumaremos los valores de la muestra y calcularemos su media aritmética.
Para terminar interpretaremos el número obtenido como estimación del parámetro lambda.
Identificación del parámetro y del estimador.
El parámetro desconocido es lambda, la media del número de llamadas por hora de la distribución de Poisson.
El estimador propuesto es la media muestral, $$\hat{\lambda} = \bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_{10}}{10} $$
Este estimador es una variable aleatoria:
si extrajésemos otra muestra distinta obtendríamos otra media distinta.
Suma de los valores de la muestra.
Sumamos los diez valores observados:
El total de llamadas observadas en las diez horas es de cuarenta.
Cálculo de la estimación.
Dividimos la suma entre el tamaño muestral para obtener el valor numérico del estimador sobre esta muestra concreta:
La estimación del parámetro lambda es cuatro llamadas por hora.
Este número es la estimación, mientras que \(\bar{X} \), la media muestral como función de la muestra, es el estimador.
Sabiendo que la esperanza de una exponencial es \(E[X] = \frac{1}{\lambda} \), propón un estimador razonable para lambda y calcula la estimación correspondiente a la muestra de tiempos entre llegadas, en minutos, \(0,5 \), \(1,2 \), \(0,8 \), \(2,1 \) y \(1,4 \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por usar la relación entre la esperanza y el parámetro para proponer un estimador.
A continuación calcularemos la media de la muestra concreta.
Para terminar obtendremos la estimación numérica de lambda e interpretaremos su significado.
Propuesta del estimador.
Como \(E[X] = \frac{1}{\lambda} \), despejando lambda obtenemos \(\lambda = \frac{1}{E[X]} \)
Si sustituimos la esperanza poblacional, que es desconocida, por su análogo muestral, la media \(\bar{X} \), obtenemos el estimador propuesto:
Este estimador es una función de la muestra, luego es un estadístico, y por tanto una variable aleatoria.
Cálculo de la media muestral.
Sumamos los cinco tiempos observados:
Dividimos entre el tamaño muestral:
El tiempo medio entre llegadas en esta muestra es de uno coma dos minutos.
Cálculo de la estimación de lambda.
Aplicamos el estimador propuesto a la media obtenida:
La estimación del parámetro lambda es cero coma ochocientos treinta y tres llegadas por minuto.
Obsérvese de nuevo la distinción: \(\frac{1}{\bar{X}} \) es el estimador, y cero coma ochocientos treinta y tres es la estimación obtenida con esta muestra.
Sea \(X \sim \text{Be}(p) \) con \(p \) desconocido, y sea \(X_1, \dots, X_{20} \) una muestra aleatoria simple de dicha población.
De las expresiones \(\bar{X} \), \(\bar{X} - p \) y \(\max\{X_1, \dots, X_{20}\} \), decide cuáles son estadísticos y cuáles pueden proponerse como estimadores de \(p \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar la definición de estadístico: una función de la muestra que no contiene parámetros desconocidos.
A continuación examinaremos cada expresión.
Para terminar decidiremos cuáles pueden ser estimadores de \(p \)
La media muestral.
La expresión \(\bar{X} = \frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20} X_i \) depende únicamente de los datos de la muestra y no contiene ningún parámetro desconocido: es un estadístico.
Además tiene por objetivo aproximar a \(p \), luego puede proponerse como estimador de \(p \)
La media muestral menos el parámetro.
La expresión \(\bar{X} - p \) contiene el parámetro desconocido \(p \), luego no es un estadístico: su valor no puede calcularse solo con los datos.
Por tanto no puede ser un estimador de \(p \), aunque sea una variable aleatoria.
El máximo de la muestra.
La expresión \(\max\{X_1, \dots, X_{20}\} \) depende solo de los datos: es un estadístico.
Sin embargo, como las observaciones son ceros y unos, el máximo solo puede valer \(0 \) o \(1 \), de modo que sería un estimador pésimo de \(p \)
Ser estadístico es necesario para ser estimador, pero no garantiza que el estimador sea bueno:
para eso están las propiedades de la sección 7.
2.
\(\bar{X} \) y \(\max\{X_i\} \) son estadísticos, mientras que \(\bar{X} - p \) no lo es por contener el parámetro desconocido.
Solo los estadísticos pueden proponerse como estimadores, y entre ellos hay que elegir usando las propiedades de insesgadez, eficiencia y consistencia.