6.2 6.2 Distribución Chi-cuadrado
6.2 Distribución chi-cuadrado
Definición de la distribución chi-cuadrado
En esta sección construiremos la distribución chi-cuadrado sumando cuadrados de normales estándar:
si \(Z_1, Z_2 \) son independientes \(N(0, 1) \), entonces \(Y = Z_1^2 + Z_2^2 \sim \chi^2_2 \), con esperanza \(2 \) y varianza \(4 \)
Sean \(X_1, X_2, \ldots, X_n \) un total de \(n \) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas según una ley \(N(0, 1) \), y consideremos la variable aleatoria \(Y = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2 \)
A la distribución de la variable aleatoria \(Y \) se le denomina distribución chi-cuadrado con \(n \) grados de libertad, lo que se representa como \(Y \sim \chi^2_n \)
Observemos que, al ser una suma de cuadrados, la variable \(Y \) solo puede tomar valores no negativos.
Esperanza y varianza
Sean \(Z_1, Z_2, Z_3 \) independientes con distribución \(N(0, 1) \)
Entonces \(Y = Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 \sim \chi^2_3 \): la suma de tres cuadrados de normales estándar independientes.
Vamos a demostrar que la esperanza de esta distribución es \(n \), es decir, \(E[Y] = n \)
Recordemos la relación entre la varianza y el momento de orden dos: \(\mathrm{Var}[X_i] = E[X_i^2] - E[X_i]^2 \)
Como \(X_i \sim N(0, 1) \), tenemos que \(\mathrm{Var}[X_i] = 1 \) y que \(E[X_i] = 0 \)
Despejando de la relación anterior: $$E[X_i^2] = \mathrm{Var}[X_i] + E[X_i]^2 = 1 + 0^2 = 1 $$
Ahora aplicamos la linealidad de la esperanza a la suma que define a \(Y \): $$E[Y] = E\left[\sum_{i=1}^{n} X_i^2\right] = \sum_{i=1}^{n} E[X_i^2] = \sum_{i=1}^{n} 1 = n $$
Vamos a demostrar que la varianza de esta distribución es \(2n \), es decir, \(\mathrm{Var}[Y] = 2n \)
Como las variables \(X_1, X_2, \ldots, X_n \) son independientes, también lo son sus cuadrados, y la varianza de una suma de variables independientes es la suma de las varianzas: $$\mathrm{Var}[Y] = \sum_{i=1}^{n} \mathrm{Var}[X_i^2] $$
Ahora bien, \(\mathrm{Var}[X_i^2] = E[X_i^4] - E[X_i^2]^2 \)
Se puede demostrar (por integración por partes de la densidad normal) que el momento de orden cuatro de la normal estándar es \(E[X_i^4] = 3 \)
Sustituyendo el valor \(E[X_i^2] = 1 \) obtenido en el
paso anterior: \(\mathrm{Var}[X_i^2] = 3 - 1^2 = 2 \)
Por tanto, \(\mathrm{Var}[Y] = \sum_{i=1}^{n} 2 = 2n \)
Percentiles y puntos críticos
Si \(Y \sim \chi^2_5 \), entonces \(E[Y] = 5 \) y \(\mathrm{Var}[Y] = 2 \cdot 5 = 10 \)
Cada sumando \(Z_i^2 \) aporta esperanza \(1 \) y varianza \(2 \), y al ser independientes se suman.
Sea \(\alpha \in (0, 1) \)
Mediante \(\chi^2_{n,\alpha} \) representaremos a aquel \(x \in \mathbb{R} \) tal que $$\chi^2_{n,\alpha} = x \iff P(\chi^2_n \leq x) = \alpha $$
Es decir, el percentil de nivel \(\alpha \) es el valor que deja a su izquierda una probabilidad acumulada exactamente igual a \(\alpha \)
Estos valores están tabulados y los usaremos constantemente en estimación por intervalos y contrastes de hipótesis.
Para X ~ χ²₂₀, hallar el percentil o punto crítico de nivel α = 0,
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5.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar los grados de libertad y el nivel pedido.
A continuación buscaremos el valor en la tabla de la distribución chi-cuadrado.
Para terminar interpretaremos el resultado en términos de probabilidad acumulada.
Identificación de grados de libertad y nivel.
La variable sigue una ley chi-cuadrado con \(n = 20 \) grados de libertad, y el nivel pedido es \(\alpha = 0,95 \)
Buscamos por tanto \(\chi^2_{20,0,95} \)
Lectura en la tabla.
Entrando en la tabla de la distribución chi-cuadrado con \(20 \) grados de libertad en la columna de nivel \(0,95 \), obtenemos \(\chi^2_{20,0,95} = 31,410 \)
Interpretación probabilística.
Lo anterior significa que \(P[\chi^2_{20} \leq 31,410] = 0,95 \)
El valor \(31,410 \) deja a su izquierda el noventa y cinco por ciento de la probabilidad de la distribución.
Sean \(Z_1, Z_2, Z_3 \) tres variables aleatorias independientes con distribución \(N(0, 1) \)
Se define \(Y = Z_1^2 + Z_2^2 + Z_3^2 \)
Identifica la distribución de \(Y \) y calcula su esperanza y su varianza.
Para resolver este ejemplo empezaremos por reconocer la construcción de la definición: una suma de cuadrados de normales estándar independientes.
A continuación identificaremos los grados de libertad contando los sumandos.
Para terminar aplicaremos las fórmulas de la esperanza y la varianza de la chi-cuadrado.
Identificación de la distribución.
La variable \(Y \) es la suma de los cuadrados de \(3 \) variables independientes con ley \(N(0, 1) \), luego por definición \(Y \sim \chi^2_3 \)
Esperanza y varianza.
La esperanza de una chi-cuadrado es su número de grados de libertad y su varianza el doble:
La variable \(Y \) sigue una distribución \(\chi^2_3 \), con esperanza \(3 \) y varianza \(6 \)
Este es el mecanismo por el que aparece la chi-cuadrado en la práctica: siempre que se sumen cuadrados de cantidades tipificadas independientes.
Sean \(U \sim \chi^2_4 \) y \(V \sim \chi^2_6 \) dos variables aleatorias independientes.
Se define \(W = U + V \)
Identifica la distribución de \(W \) y calcula su esperanza y su varianza.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir cada chi-cuadrado como suma de cuadrados de normales estándar independientes, usando su definición.
A continuación concatenaremos ambas sumas en una sola.
Para terminar identificaremos la distribución resultante y calcularemos sus momentos.
Escritura como sumas de cuadrados.
Por definición, \(U \) es la suma de los cuadrados de \(4 \) variables \(N(0, 1) \) independientes, y \(V \) la de otros \(6 \)
Como \(U \) y \(V \) son independientes, las diez normales de partida son independientes entre sí, luego \(W = U + V \) es la suma de los cuadrados de \(4 + 6 = 10 \) normales estándar independientes.
Distribución y momentos de la suma.
Por tanto \(W \sim \chi^2_{10} \): la suma de chi-cuadrados independientes es otra chi-cuadrado cuyos grados de libertad son la suma de los grados.
Su esperanza y su varianza son:
que coinciden con \(E[U] + E[V] = 4 + 6 = 10 \) y \(\text{Var}(U) + \text{Var}(V) = 8 + 12 = 20 \), como exige la independencia.
La suma de chi-cuadrados independientes es chi-cuadrado con la suma de los grados de libertad: \(W \sim \chi^2_{10} \), con esperanza \(10 \) y varianza \(20 \)
Esta propiedad reproductiva es la que permite combinar información de varias muestras.
De una población normal con varianza \(\sigma^2 = 4 \) se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño \(n = 10 \) y se obtiene una cuasivarianza muestral \(S_c^2 = 4,2 \)
Calcula el valor del estadístico \(\frac{(n-1)S_c^2}{\sigma^2} \) e identifica su distribución.
Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar la distribución del estadístico reescalado de la cuasivarianza en el muestreo normal.
A continuación sustituiremos los valores muestrales y el valor hipotético de la varianza.
Para terminar compararemos el valor obtenido con la esperanza de la distribución para interpretar el resultado.
Distribución del estadístico.
En el muestreo de una población normal, $$\frac{(n-1)S_c^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} $$
Con \(n = 10 \), el estadístico sigue una \(\chi^2_9 \) si la varianza poblacional es realmente \(4 \)
Valor con los datos muestrales.
Sustituyendo:
Interpretación.
La esperanza de una \(\chi^2_9 \) es \(9 \), y el valor obtenido, \(9,45 \), está muy próximo a ella.
La cuasivarianza observada es, por tanto, perfectamente compatible con una varianza poblacional de \(4 \): no hay nada anómalo en la dispersión de la muestra.
El estadístico vale \(9,45 \) y sigue una \(\chi^2_9 \)
Este es el cálculo que está en la base del intervalo de confianza para la varianza y del contraste sobre la varianza que estudiaremos en el tema 7 y en el tema 9.